18.5 第2课时 分式方程的实际应用 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

18.5 分式方程（第2课时：分式方程的实际应用） 教学设计 课题 18.5 分式方程（第2课时：分式方程的实际应用） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课（应用课） 教学目标 1. 能分析工程、行程、购买等实际问题中的等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程并求解； 2. 掌握列分式方程解应用题的一般步骤，尤其理解“双重检验”的必要性； 3. 在解决实际问题中发展模型观念与应用意识，体会数学与生活的联系。 教学重点 列分式方程解决实际问题的一般步骤。 教学难点 准确寻找实际问题中的等量关系；对解进行双重检验。 教学方法 问题驱动、例题变式、讲练结合 教学准备 多媒体课件、学习任务单 课后练习 完成教材 P158～160 习题 18.5 第 5、6、7、8 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、 复习回顾 情境导入 （约5分钟） 一、复习回顾，情境导入 1. 解分式方程的一般步骤是什么？（去分母→解整式方程→检验） 2. 为什么解分式方程必须检验？（去分母时可能产生使最简公分母为 0 的增根） 情境引入：数学来源于生活，又服务于生活。现实生活中的工程、行程、购买等问题，常常需要用分式方程来解决。今天我们就来学习列分式方程解应用题。 板书课题：18.5 分式方程（第2课时：分式方程的实际应用） 师生活动：学生口答解分式方程的步骤与检验必要性；教师点明本节任务——用分式方程解决实际问题。 回忆解分式方程的步骤，明确“检验”的必要性；进入本节应用主题。 由解分式方程过渡到用分式方程，承上启下；强调检验既是解方程的要求，也是实际问题的需要。 二、 探究新知 （一） 工程问题 （约10分钟） 二、探究新知 （一）工程问题 例1 某工程队修建一条长 1200 m 的道路。由于采用了新的施工方式，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 2 天完成任务。求原计划每天修路多少米？ 分析： 设原计划每天修路 x m，则实际每天修路 (1+20%)x＝1.2x m； 原计划用时 1200/x 天，实际用时 1200/(1.2x) 天； 等量关系：原计划用时 − 实际用时 ＝ 2 天。 解：设原计划每天修路 x m。 依题意，得 1200/x − 1200/(1.2x) ＝ 2。 方程两边同乘 1.2x，得 1440 − 1200 ＝ 2.4x，解得 x ＝ 100。 检验：当 x＝100 时，1.2x＝120≠0，所以 x＝100 是原方程的根，且符合实际意义。 答：原计划每天修路 100 m。 师生活动：教师引导学生逐句分析题意，列表梳理“原计划/实际”的工作量、效率、时间三量；强调双重检验：既是方程的根，又要符合实际。 在教师引导下分析题意，设未知数、找等量关系、列方程并完整求解，体会双重检验。 以最典型的工程问题为载体，示范“审—设—列—解—验—答”完整流程；列表格帮助学生建立三量关系模型。 二、 探究新知 （二） 行程问题 （约8分钟） （二）行程问题 例2 A、B 两地相距 135 km。一辆汽车从 A 地出发前往 B 地，实际行驶速度比原计划提高了 1/4，结果提前半小时到达 B 地。求原计划的行驶速度。 分析： 设原计划速度为 x km/h，则实际速度为 (1+1/4)x＝1.25x km/h； 原计划用时 135/x h，实际用时 135/(1.25x) h； 等量关系：原计划用时 − 实际用时 ＝ 0.5 h。 解：设原计划速度为 x km/h。 依题意，得 135/x − 135/(1.25x) ＝ 0.5。 方程两边同乘 1.25x，得 168.75 − 135 ＝ 0.625x，解得 x ＝ 54。 检验：当 x＝54 时，1.25x＝67.5≠0，所以 x＝54 是原方程的根，且符合实际。 答：原计划行驶速度为 54 km/h。 师生活动：学生独立完成设元与列方程，一名学生板演；教师提醒“提前半小时”要统一单位（0.5 h）。 独立分析行程问题的路程、速度、时间三量关系，列方程并求解。 由工程问题迁移到行程问题，让学生体会“三量关系”模型的一致性；强调单位统一与实际检验。 二、 探究新知 （三） 购买问题 （约10分钟） （三）购买问题 例3 学校用 8000 元购买一批某种篮球。由于商场促销，每个篮球单价降价 20 元，这样用同样多的钱比原来多买了 5 个。求这种篮球原来的单价。 分析： 设原来每个篮球 x 元，则降价后每个 (x−20) 元； 原来可买 8000/x 个，降价后可买 8000/(x−20) 个； 等量关系：降价后个数 − 原来个数 ＝ 5。 解：设原来每个篮球 x 元。 依题意，得 8000/(x−20) − 8000/x ＝ 5。 方程两边同乘 x(x−20)，得 8000x − 8000(x−20) ＝ 5x(x−20)； 整理，得 x²−20x−32000 ＝ 0，解得 x₁＝200，x₂＝−180。 检验：x＝200 时 x(x−20)≠0；x＝−180 虽然是方程的根，但单价不能为负数，不合题意，舍去。 答：这种篮球原来的单价为 200 元。 师生活动：学生独立完成；教师重点讲评“两个根为何舍一个”——分式方程的根还要符合实际意义（单价为正），这是双重检验的第二层。 列方程求解，对比两个根，理解“符合实际意义”这一检验要求。 购买问题自然产生两个根，突出“双重检验”中第二层实际意义检验，弥补学生只验分母不为 0 的思维盲区。 二、 探究新知 （四） 归纳步骤 （约4分钟） （四）归纳列分式方程解应用题的一般步骤 结合三个例题，师生共同归纳六字步骤： 1. 审：审题，找已知量、未知量和等量关系； 2. 设：设未知数（带单位）； 3. 列：根据等量关系列出分式方程； 4. 解：解分式方程； 5. 验：双重检验——① 是否为原方程的根（使最简公分母不为 0）；② 是否符合实际意义； 6. 答：写出答案（带单位）。 口诀：一乘二解三检验，四写答案五回头。 参与归纳，记录六步解题流程与双重检验要求。 由三个例题抽象出一般步骤，让学生形成可迁移的解题范式；口诀帮助记忆。 三、 当堂练习 （约8分钟） 三、当堂练习 1. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同。设原计划每天生产 x 台，则可列方程 ________。 答案：600/(x+50) ＝ 450/x。 2. 八年级学生去距学校 10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车速度是骑车速度的 2 倍，求骑车学生的速度。 解：设骑车速度为 x km/h，则汽车速度为 2x km/h；20 min＝1/3 h。 依题意 10/x − 10/(2x) ＝ 1/3，解得 x＝15。检验符合。答：骑车速度为 15 km/h。 3. 某商店用 2000 元购进一批玩具，全部售完后又用 6000 元购进同种玩具，第二次单价比第一次贵了 10 元，所购数量是第一次的 2 倍。求第一次进价。 （课后思考，下节课讲评。） 师生活动：第 1 题口答列方程；第 2 题学生板演完整解题过程；教师讲评单位换算与双重检验。 限时完成，口答与板演结合，独立列方程并求解。 练习覆盖工程、行程、购买三类典型问题，第 2 题设置 20 min 单位换算陷阱，强化规范。 四、 课堂小结 布置作业 （约5分钟） 四、课堂小结，布置作业 教师引导学生回顾： 1. 列分式方程解应用题分哪六步？ 2. “双重检验”指什么？为什么实际问题比纯解方程多一层检验？ 3. 工程、行程、购买三类问题分别抓哪三量关系？ 布置作业： 必做题：教材 P158～160 习题 18.5 第 5、6、7 题； 选做题：自编一道可用分式方程解决的生活问题，与同伴交换解答。 围绕三个问题梳理本节主线，记录作业。 回收“步骤—检验—模型”三条主线；分层作业兼顾巩固与建模能力拓展。 板书设计 18.5 分式方程（第2课时：实际应用） 一、三类问题模型： 工程：工作量＝效率×时间 行程：路程＝速度×时间 购买：总价＝单价×数量 二、六步解题：审→设→列→解→验→答 三、双重检验： ① 是原方程的根（分母≠0）； ② 符合实际意义（速度、单价、长度为正） 学生板演区 教学反思 1. 成功之处： 本节课以工程、行程、购买三类典型实际问题为载体，引导学生用“三量关系”模型分析题意，再抽象出“审—设—列—解—验—答”六步解题流程。例3 购买问题自然产生一正一负两个根，让学生在对比中真正理解“双重检验”的第二层——符合实际意义，避免了把检验等同于“代入公分母”的片面认识。 2. 不足之处： (1) 部分学生找不准等量关系，尤其是“提前 2 天”“多买 5 个”这类比较关系，列方程时左右两边写反； (2) 行程题中 20 min 未换算为 1/3 h 就直接列方程，单位不统一； (3) 去分母时漏乘不含分母的项，或符号出错，导致整式方程列对但解错； (4) 部分学生解出 x＝−180 后不检验实际意义，直接写“单价 −180 元”。 3. 改进措施： (1) 用线段图或表格辅助分析“谁比谁多/少、谁比谁提前”，让等量关系可视化； (2) 强调先统一单位再设元，单位不统一是列方程的硬伤； (3) 板演去分母过程，要求学生口述每一项同乘了什么，避免漏乘； (4) 固定要求学生在求出根后先自问“这个结果符合生活常识吗”，把实际检验变成自觉习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $