精品解析：四川内江市威远中学2026-2027学年高三上学期第二次学情检测数学试题

威远中学校2027届高三上第二次学情检测 数学 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】，所以. 2. 已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为角的始边在的非负半轴，终边经过点，则， 可得，， 所以. 3. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 4. 命题：，命题：，若命题的必要不充分条件是，则的取值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合充分条件和必要条件的判定方法，转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】由命题：，命题：，设集合 因为命题的必要不充分条件是，可得是的真子集，所以， 结合选项，可得的取值可以为. 5. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为即所以， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值，最小值为. 6. 已知数列的前项和为，，，则=（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数列的递推公式判断出数列为周期数列，再根据数列的周期性求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：D. 7. 已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数在上递增，指数函数在 上递增，左段在处的函数值右段在处的函数值. 【详解】，开口向下，对称轴为， 因为在递增，所以对称轴,解得, 因为单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以, 解得,即， 则实数的取值范围是，即实数的取值范围是，即. 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将“函数图像绕原点逆时针旋转后仍为函数图像”的几何条件转化为代数条件：原函数与任意斜率为的直线至多有一个交点，进一步转化为构造的函数至多一个零点，即在上单调，由此得到导数恒成立的约束，再通过参变分离求函数最值即可求解的取值范围. 【详解】函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象，根据函数定义可知，旋转后任意垂直于轴的直线与曲线至多有1个交点. 将该条件等价转化为：原函数的图象上任意两点连线的倾斜角不能等于， 即对任意实数，直线与的图象至多有1个交点. 令，则上述条件等价于在上至多有1个零点. 若同时存在增区间和减区间，则必然存在极值， 当取值合适时会出现2个及以上零点，因此需在上单调. ， 若，则当时，，当时，，若能使恒成立，则满足要求； 若，则当时，，当时，，不可能单调. 综上，只能单调递增，即对任意恒成立. ，即恒成立. ∵ ，参变分离得 ，对任意恒成立，只需. 令，. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ∴ 在处取得最大值，. ∴ ，即的取值范围为，故选C. 【点睛】方法归纳：涉及函数图像旋转后仍为函数图像的问题，核心是利用函数的定义（一个自变量对应唯一函数值），将旋转条件转化为原函数切线斜率的取值范围约束，再通过导数、参变分离、函数最值求解参数范围. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 幂函数（为常数），则（ ）. A. 当时，是奇函数 B. 的图象过定点 C. 当时，的值域为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 10. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据，赋值令，即可得结果；对于B，根据是奇函数及可得，即可得结果；对于C，根据可得，即可得结果；对于D，分析可知4为的周期，结合周期性即可求解. 【详解】对于选项A，令，可得，故A不正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为，所以. 则. 即，所以的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D，因为，， 令，可得. 令，可得， 又因为，则. 可知4为的周期，可得，即. 因为，所以，故D正确. 11. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求得函数的极值，进而结合题意求得，再根据得，根据极值点与零点关系得，再依次讨论各选项即可. 【详解】由已知， 令，解得或， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 又函数有三个不同的零点，，， 所以的极大值，且的极小值， 解得， 因为函数有三个不同的零点，，，其中， 所以，， 所以， 对于A，，故正确； 对于B，若存在实数，使得，，成等差数列， 则，解得，满足，故正确； 对于C，根据三次函数零点与极值点的关系，有，即， 所以，故错误； 对于D，因为，， 所以，， 因为， 所以，故正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】的通项为， 令，解得， 故常数项为． 13. 已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，根据题意，结合，即可求解. 【详解】由，可得， 因为函数为奇函数，且当时，， 可得， 即当时，. 14. 已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的性质确定的取值范围，再结合二次方程根的分布条件求解的取值范围. 【详解】令，则等价于二次方程， 函数有个不同零点，等价于方程有个不同实根， 当时，，是开口向下的抛物线， 最大值为，且： 时，在 上有2个根， 时，在 上有2个根， 时，在 上有1个根， 当时，，不妨将在轴下方的部分翻折到轴上方， 时，恒有2个根，综上： 若，则，共个根， 若，则共 个根， 要得到个不同的，需要二次方程两个根 都落在区间内， 此时每个对应个，总个数为，设， 要让两个根都在上，需满足：判别式， ， ， ， 取交集得 . 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： （1）估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； （2）设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】（1）第一四分位数为 ，中位数为 ； （2）（ⅰ）；（ⅱ），． 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【小问1详解】 由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； 【小问2详解】 由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 若，，所以， 则，， 则. 17. 已知数列满足，且 . （1）证明：数列为等比数列；并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） ∴为等比数列 （2） 【解析】 【小问1详解】 ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 故. 【小问2详解】 ，， . 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）3个 【解析】 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问3详解】 由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 19. 若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个“函数”． （1）已知函数在区间上是一个“函数”，求； （2）判断函数在区间上是否为一个“函数”并说明理由； （3）证明：. 【答案】（1） （2）函数在区间上是一个“函数”.理由如下： 要证在区间上是一个“函数”， 需证时，，证明如下： 令，，则， 令，则， 即在上单调递增，且， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，，则， 令，则， 或时，， 即在、上单调递增； 时，，即在上单调递减； 又，，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即， 综上，，故结论得证； （3）当，则，由（2）知且， 故， 所以，即有， 令，则，有， 所以 ，得证. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义，可得，恒成立，由此可求的值. （2）问题转化为时，.分别设，，，利用导数分析函数的单调性，证明时，，即可. （3）利用（2）的结论，先得到，再令，可得，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由在区间上是一个“函数”， 所以任意，恒成立，即， 令，，则，， 要使恒成立，则，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2027届高三上第二次学情检测 数学 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 命题：，命题：，若命题的必要不充分条件是，则的取值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知数列的前项和为，，，则=（  ） A. B. C. D. 7. 已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 幂函数（为常数），则（ ）. A. 当时，是奇函数 B. 的图象过定点 C. 当时，的值域为 D. 若，则 10. 若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 11. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 13. 已知函数为奇函数，当时，，则时，_________； 14. 已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： （1）估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； （2）设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 16. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 17. 已知数列满足，且 . （1）证明：数列为等比数列；并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 19. 若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个“函数”． （1）已知函数在区间上是一个“函数”，求； （2）判断函数在区间上是否为一个“函数”并说明理由； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $