四川省南江中学2026-2027学年高三上期10月阶段性测试数学试题

高三（上）10月阶段性考试数学参考答案 选择题： 题号 1 2 3 6 7 6 9 10 11 答案 D C C B A C B A AD ACD BCD 填空题：2； 4; 15.解：方法一：f'(x)=3x2+2a+b 1分 因为f(x)在x= 2与x=1时都取得极值 =0 44 +b=0 所以 3即 3 3 4分 f(1)=0 1+2a+b=0 解得a=-2b=2 1 6分 方法二：f'(x)=3x2+2ax+b 1分 因为f(四在x=-2 x=1时都取得极值 所以x=一 与x=1是方程3x2+2ax+b=0的两根 3分 2 +1= 2 由韦达定理得 2 解得 b 6分 x1 b=-2 (2)由(1)得f"(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1) 7分 当x<号或>1时.了0：当号x<1时.了e)<0 所以f)在(，孕，←子)上单增，在（子）上单减 10分 因为f(x)在区间(-cc2),(c>0)上单调，且-c<0,c2>0, 所以 -C23,解得：0<c、 3 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12分 c2≤1 故c的取值范围为0,3。 .13分 16.(I)方法一：因为PA⊥平面ABCD,而ADC平面ABCD,所以PA⊥AD,1分 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB, 第页 而ABC平面PAB,所以AD⊥AB. 3分 因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,所以AD//BC, .5分 又ADE平面PBC,BCC平面PBC,所以AD/I平面PBC. 7分 方法二：以A为原点，以AB、ADAP分别为K人二轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),P(0,0,2）,B(5,0,0),C(3,1,0),设D(0,a,0) 2分 m.BC=0,「y=0 设平面PBC的法向量=(x,y,),由 得 m-Bp=0-V3x+2z=0 取x=1,得平面PBC的一个法向量m=(2,0,3)。 4分 AD=(0,a,0)(也可直接用AD的一个方向向量为(0,1,0)去证明) 所以AD·m=2x0+0×a+3×0=0,即AD⊥m 6分 又ADE平面PBC,所以ADII平面PBC. 7分 (2)方法一：以A为原点，以AB、ADAP分别为太人二轴建立空间直角坐标系， A(00,0),P(0,0,2),B(N3,0,0),C(3,1,0),因为AD=1,则D(0,1,0) 9分 设平面ACP的法向量乃=(x三)，由 「m4C=0∫V3x+片=0 一 得 ·AP=0221=0 取￥=1，得平面ACP的一个法向量乃=1，-V3,0) …11分 n.Dc=0m「3x,=0 设平面CPD的法向量n=(x2,y,-3),由 得 i-Dp=0-为，+2z2=0 取32=1，得平面BCC1D,的一个法向量乃=(0,2,1). 13分 m方-25_15 所以c0s<i,i>= 同2×√5 5 因为二面角A-CP-D为锐角 所以二面角A-CP-D的余弦值为西 15分 方法二：如图所示，过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F，,连接DF, 因为PA⊥平面ABCD,且DEC平面ABCD,所以PA⊥DE, 又因为DE⊥AC,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以DE⊥平面PAC, 叙页 因为CPC平面PAC,所以DE⊥CP, P 又因为EF⊥CP,EFODE=E,EF,DEC平面DEF, 所以CP⊥平面DEF, D 所以∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 12分 因为AD=1,则CD=5,DB=5,CB 2 2 3 而△EFC为等腰直角三角形，所以EF= 2W21 EF,则co8∠DFE-M5 tam∠Dbz=DE-V6 所以，二面角A-CP-D的余弦值为 5 15分 17.解：(1)x=-2py经过点(2，-1)，则4=2P,即p=2 2分 所以抛物线C的方程x2=-4y, 3分 准线方程为y=1: 4分 (2)证明：由题意知直线1的斜率存在，焦点坐标为(0，-1)， 设直线方程为y=x-1,设M(x,y1),N(x2,y), 5分 [y=c-1 由 x2=-4y 得：x2+4-4=0. 故x+x3=-4k,xx3=-4 .7分 KoM=占=4支，直线OM的方程为y=-支x, 4 4 与y=-1联立可得：4(4，-少，同理可得(4，-少 9分 方法一：设Q(0,n)是y轴上一点，O1=(4,1-m,O死=(4,1-0 10分 24:QB=16+0+m2_16+0+m=r+2n-3 4 12分 令QA.QB=0,即n2+2n-3=0,解得n=-3或n=1 14分 以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0,1) 15分 方法二：设以AB为直径的圆上任意一点P(x,y), 第页 由AP.B距=0得圆的方程为(K-4x-4)+0y+I0y+》=0 11分 令x=0得 16+y+1)2=0,16+0+1)2=0 x 一4 解得y=-3或y=1 .14分 所以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0，)： 15分 方法三：易知以AB为直径的圆的圆心坐标为： 2+2,-),圆的半径为： 2 2 xx 且： 2+22+-2,22-2xs+x)-45=2+1, xx2 x 则圆的方程为：(x-2k)+(y+1)=4(k2+1, 12分 令x=0整理可得：y2+2y-3=0,解得：1=-3，y2=1, 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0,1). 15分 a4q2-4=6 18.(1)设等比数列{a}的公比为q,根据题意可得 a49-49=12' Ja1=2 解 {g=2所以a=2"(neN). 3分 2+1-2n (21+1)-(2”+11 1 262+12*+7可2+120+1 2m+12n+1+1 .5分 则数列{cn}的前n项和Tn为Tn=C+c2++c 7分 因为neN,所以2+1>0，从面2+20，故买，<行 1 8分 又因为买随若n的增大而增大，当n=1时，工=32十3515 1111.2 所以1，≥7=2 15 综上， 2s工<得证. 15 3 10分 (3)在a,与a+1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，这个等差数列的公差为d, 斜页 由等差数列通项公式知aH=a+(n-1)d, 11分 将a=2代入得2=2”+n+1d,解得d,=2兰 1n+1 从而a=2”’ …13分 Γn+1 前原和为以子子 1 则数列 d 2①， 2+2+++n+1 2,3,4 22②， 14分 .11 用O武减去2式得与M,=1+(分+2++ 1)-n+l 2 2, 1-m =1+4 n+1 1- 247 2 =1+11n+1 22n 247 3n+3 22m1, 16分 所以M,=3-+3 ,故数列 d 前n项的和M,=3-”+3 2 17分 19(1)由题意，得h(x)=f(x)-g(x)=e-ax2-x-1. 记p(x)=h(x)=e-2ar-1,定义域为(0，+o),则p(y)=e*-2a. 1分 ①当2a≤1，即a≤时，p(x)=e-2a>e'-2a=1-2a20, 此时p(x)在(0，+o)上单调递增： 2分 @当2a>1,即a>分时，令p(x)=0,得x=ln2a, 且p'(x)=e-2a在(0，+o)上单调递增， 当x∈(0，h2a)时，p'(x)<0;当x∈(ln2a,+o)时p'(x)<0上单调递增. 则p(x)在(0，h2a)上单调递减，在(ln2a,+o)上单调递增. 4分 综上所述，当a≤)时，h()在(0，+o)上单调递增： 当a>2时，h(y在(0，h2m上单调递减，在（血2a+o)上单调递增.…5分 1 第页 (2)方法一：由(1)知，当a≤时，M()在(0，+o)上单调递增，所以h(x)>h(0)=0. 所以h(x)在(0，+o)上单调递增，则h(x)>h(O)=0,符合题意. .7分 当a>号时，（在(Qh2上单调速减，则N(y<(0)=0. 所以h(x)在(0，n2a)上单调递减，h(x)<h(0)=0,不符合题意. 9分 综上所运，实数口的取值范围为（一一。 10分 方法二：由(1)知，h(0)=0,h(0)=0,W"(0)=1-2a,则对任意x>0,h(x)>0恒 收立的个必要条件是0)=1-2a≥0，即as号 .6分 下面证明当a<时，对任意x>0,h(x)>0恒成立. 2 ①当a≤2时，h(在(0，+o)上单调递增，所以h(x)>H(O)=0. 所以h(x)在(0，+o)上单调递增，则h(x)>h(0)=0,符合题意。 8分 ②当a>时，k(9在(Qn2a)上单润递减，则N()<N(0)=0. 所以h(x)在(0，ln2a上单调递减，h(x)<h(0)=0,不符合题意. 9分 综上所述，实数a的取值范围为(-n,力， .10分 方法三：由h(x)>0,(x>0)得a<9 e*-x-1 x 令r)=e--1,>0, 7'6=e-10r-2xe-x-D_e-10x-2e*-x-卫e'k-2)+x+2 6分 x4 x x3 令u(x)=e(x-2)+x+2,x>0,则t(x)=e(x-1)+1, 7分 又u"(x)=xe>0,则t'(x)在(0，+o)单调递增，u'(x)>t(0)=0 所以u(x)在(0，+o)单调递增 8分 又由这必达法则知，r0-士号月 e-1 ex I 9分 所以as放实数a的取值范国为(-，]。 10分 郭页 3)方法-：设数到秘的前n项和为Z=山a+)0-。 4 所以a2时a=文-无-n(a++字0-台-m+字0-之=hn0- n n4n(n+1) 又=l时6=2+满足上式，所以6.=a+月+4n+D 1 8 12分 故只需证>n0+凸)+，1 1 n4n(n+1） 令x=,则只需证x>1+)+, 4+),即证ha+0+40+0<0.reol4分 x2 令m(x)=ln(+x)+ 4r+)x∈(0,1， 则m=12x+Dt1=3,2<0,所以m)在(01上单调递减 1+x4(x+1)2 4(x+1)2 16分 以)<0-0，n1+用+reo创成立 所以对任意工装致a,部有感>he+小叶- 17分 ..··"一十+十<】入卓士y日一三出（)一 11 ..12分 则8头2动2“小wD） 13分 下用指0时有n0+-号a-1-x-子 1x-0,且4o)-h0+0)0+9-0 则(x=1十x 1+x 所以u(x)>0在(0，+o)上恒成立 14分 1 1 1 所以1n1+ 2k(k+1) 2k(k+1)8k2k+1)2· 1 11 1 111 又k欣+衣k+1:且欣+D<k(k+1kk+1: 第7页 ug4+日4 含w含dl 因为容dD宫ad多s m并}兼-司 l6分 所以s>aa)ha表) 所以对点正警数a,廊有文>a+司 .17分 郭页 南江中学高三10月阶段性考试数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 出题人：张桂华 审题人：李政扬 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号．答案写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合且，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C．2 D．1 4．下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 6．已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．是定义域上的减函数 C．的值域是 D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 10．已知，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．，则周期为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设函数，则_________． 13．若直线是曲线的一条切线，则_________. 14．已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知：在与时都取得极值. (1) 求的值； (2) 若在区间，上单调，求的取值范围 ． 16．如图，四棱锥中，底面，，，． (1) 证明：平面； (2) 若，求二面角的余弦值． 17．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． (1) 求抛物线C的方程及其准线方程； (2) 设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 18．已知数列是等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 19．已知函数，，． (1)讨论在上的单调性． (2)若任意都有恒成立，求实数的取值范围． (3)已知数列满足，其前项和为，证明：对任意正整数，都有． 高三数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $