精品解析：四川省内江市威远中学校2025-2026学年高三上学期11月阶段性考试数学试题

威远中学高2026届高三上期数学11月月考 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则 A. B. 2 C. 5 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算，再根据模的概念求出． 【详解】由已知，， 所以， 故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 2. 已知复数，且是纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘方运算法则得到，然后根据纯虚数的定义列方程得到，最后求复数的模即可. 【详解】，因为为纯虚数，所以，解得，所以. 故选：A. 3. 已知各项均为正数的等比数列满足：，则（ ） A. 60 B. 32 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由两个等式求得，再利用等比数列部分和的特征，将拆项分组求和. 【详解】设等比数列的公比为.由， 可得，因，解得. 则 . 故选：A. 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知的定义域为，利用定义法判断出为奇函数，排除B、D选项，且当时，令，求出零点，再代入特殊值求得，可排除C选项，从而得出答案. 【详解】解：由题可知，，则的定义域为， 则， 可得为奇函数，则图象关于原点对称，故可排除B、D， 当时，令，即，解得： 即的图象与轴非负半轴的交点的横坐标从左到右依次为： 由于，而， 而由选项C的图象中，可知当时，，不符合题意， 故可排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，通过利用定义法判断函数的奇偶性，以及根据零点和特殊值法进行排除，考查运算能力. 5. 某学校为促进学生全面发展，开设“雅趣象棋”“舞动社团”“国粹武术”“太极健身”“足球天下”“形象礼仪”6门兴趣课供学生进行选修，已知甲和乙各自选修了3门课，则恰有2门选修课两人均未选修的情况有（ ） A. 180种 B. 160种 C. 120种 D. 100种 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列组合的知识可得答案. 【详解】有2门选修课两人均未选修，即两人均在剩余的4门兴趣课中选修了3门课，且这4门课均被选上，这意味着两人有2门公共课，各有1门独占课， 所以不同的选法有种． 故选：A. 6. 意大利著名画家达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》被海内外众多学者津津乐道.画中女子的脸上那一抹神秘的微笑，数百年来让无数观赏者为之入迷，许多人都想揭开这微笑背后的秘密.事实上，《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇可近似地看作一段圆弧.在某次艺术展上正好展出了达·芬奇的《蒙娜丽莎》，一位艺术爱好者对其进行了测绘.他在女子嘴角处分别作圆弧的切线，两条切线相交于点，连接两点，测量得到的数据大致如下：.试根据测量得到的结果，推算《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角大概为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求解，画出图象可知圆心角为，然后判断即可. 【详解】在三角形中，由余弦定理得：， 如图《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角为， 所以， ，在四个选项中最接近， 故选：B 7. 已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律化简给定等式，并建立不等式求解即得最大值. 【详解】依题意，， 由，得， 即，当且仅当同向共线时取等号， 于是，解得， 所以的最大值为. 故选：B 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性比较大小. 【详解】因为，，， 则， 设，则，， 可得， 因为函数，均在内单调递减， 则在上单调递减，可得， 可知函数在上单调递减， 且，所以，即， 故选：C. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数在上的最小值是 C. 函数和函数是同一函数 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法结合集合的包含关系可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；利用函数相等的定义可判断C选项；利用不等式的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由得，解得或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件，A对； 对于B选项，当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此函数在上的最小值是，B错； 对于C选项，函数和函数的定义域均为， 因为，，这两个函数的对应关系不相同， 故函数和函数不是同一函数，C错； 对于D选项，因为，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：AD. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的面积是 D. 若，则外接圆半径是 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知比例关系易得，应用正弦边角关系判断A；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得，再由面积公式求面积判断C；利用正弦定理求外接圆半径判断D. 【详解】令，则，，可得， 所以，由正弦边角关系易知：，A对； 若，则，故，，则， 所以，C错； 由，结合C可得，B错； 由，则，而，故外接圆半径是，D对. 故选：AD. 11. 已知函数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时，方程有且只有3个不同实根 C. 的值域为 D. 若对于任意的，都有成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：取特殊函数值否定结论； 对于B：当时，解方程得到和是方程的根.利用零点存在定理证明在上有且只有一个零点.即可证明. 对于C：根据单调性求出的值域. 对于D：对x分类讨论： 、和三种情况，利用分离参数法分别求出k得到范围，取交集即可. 【详解】对于A：. 因为，， 所以，所以. 所以在上不是增函数. 故A错误； 对于B：当时，方程可化为：或. 由可解得：. 对于，显然代入方程成立，所以是方程的根. 当时，记. . 所以令，解得：；令，解得：； 所以在上单增，在上单减. 所以.所以在上没有零点； 而在上单减，且，， 所以在上有且只有一个零点. 综上所述：当时，方程有且只有3个不同实根. 故B正确； 对于C：对于. 当时，.，所以； 当时，.. 令，解得：；令，解得：； 所以在上单减，在上单增. 所以； 故的值域为成立. 故C正确. 对于D：对于任意的，都有成立， 所以及恒成立. 若恒成立，则有. 令，只需. 令，则.则. 所以，即. 若恒成立， 当，无论k取何值，不等式均成立，所以. 当，则有. 令，只需. . 记，则，所以在上单减，所以，即，所以在上单减，所以 所以. 综上所述：. 故D正确. 故选：BCD 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围； （4）利用导数处理恒（能）成立问题. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 已知集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，即可求解. 【详解】由集合， 得，则， 故答案为： 13 若直线与曲线相切，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则，解得. 故答案为：1. 14. 对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】因为,定义域为,以长度为变化区间的正弦类型的曲线,且当时,后面每个周期都是前一个周期振幅的,根据相应性质判断命题即可求得答案. 【详解】对于①,如图: 任取 当, 当,, ,,恒成立 故①正确. 对于②, , 故②错误. 对于③,的零点的个数问题,分别画出和的图像 如图: 和图像由三个交点 的零点的个数为:. 故③正确. 对于④,设, , 令 在, 可得: 当时,,,, 若任意,不等式恒成立, 即,可得 求证:当,,化简可得: 设函数,则 当时,单调递增,可得 即: 综上所述,对任意,不等式恒成立. 故④正确. 故答案为:①③④. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,分段函数的性质和函数的零点.对于含参数不等式恒成立问题可转化为求函数的最值问题,然后再构造辅助函数,利用函数的最值即可求出结果,考查了推理能力与计算能力. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的单调区间； 【答案】（1） （2）单调递增区间上；单调递减区间. 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简可得，结合正弦函数性质即可求解； （2）利用正弦型函数整体代换法即可求得，，从而可求解. 【小问1详解】 依题意,， 所以. 【小问2详解】 依题意，令，，解得，， 所以的单调递增区间为，， 设，，， 当时，，得， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，， 当时，，此时 所以当时，的单调递增区间为；单调递减区间为. 16. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切实数，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式即可求解； (2)结合（1）的结论可得：，利用裂项相消求出，进而得到不等式，解之即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，解得，则， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， ， 则， ， 所以，解得或， 所以取值范围为． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）求角B； （2）为的外接圆，P为外一点，过P点作的切线，切点分别为E，F，求的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的性质，运用正弦定理边角互化，结合已知条件及诱导公式计算求出角； （2）根据三角形外切圆的性质及切线性质，通过边角关系得出三角形相似，进而得出三角形边的比例关系，结合已知条件得出相关边的表达式，通过向量加减法运算得出向量乘积的表达式，最后利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 ，， 又，， ， ，， ，，又，． 【小问2详解】 且，为的外接圆， 圆的半径为， 如图所示，设，连接与交于点，过外一点作的切线，切点分别为，， ，， ，， 又， ，则， 故， 又，， ， ， 当且仅当，当时等号成立， 的最小值为． 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： -3 1 5 9 数学期望 （3），理由如下： 当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． 【小问3详解】 略 19. 试回答下面问题： （1），均有成立，求实数的取值范围． （2）已知函数，设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． （3）设，，其中a，．设，若对任意给定的，在区间上总存在，使成立，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）不妨设，先把原式化简为在上恒成立，设，只需证明在上单调递减，即在上恒成立. （2）将变形为，即，不妨设，只需证，利用极值点偏移，构造函数,证明即可. （3）求出的导数，通过单调区间可得函数在上的值域为，由题意分析时，结合的导数得到在区间上不单调，所以，，再由导数求得的最小值，即可得到所求范围． 【小问1详解】 不妨设，则原式可转化为，均有恒成立, 设，则， 只需证明在上单调递减，即在上恒成立， 所以，即，则. 【小问2详解】 ． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故， 因为，可变形为， 即，不妨设， 易得，则，下证 先证， 构造函数， 则， 所以时，，函数单调递增，所以， 即当时，， 因为，所以， 又，函数在上单调递减，所以； 构造函数， 则， 易知时，函数单调递减， 又， 由零点存在定理，存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又时，， 故当时，，， 因为，所以， 又，函数在上单调递减，所以， 综上：，即. 【小问3详解】 ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 又因为，，， 所以，函数在上的值域为． 由题意，当取内的每一个值时， 在区间上存在，与该值对应． 时，，， 当时，，单调递减，不合题意， 当时，，， 由题意，在区间上不单调，所以，， 当时，，当时， ， 所以，当时，， 由题意，只需满足以下三个条件：， ，使． 易知函数在上递增，在上递减， 所以，当且仅当时取等号，即， 所以，所以成立. 由，所以满足， 所以当满足即时，符合题意， 故的取值范围为． 【点睛】思路点睛:（1）构造函数，利用导数求解函数最值从而求解出，（2）构造函数，结合极值点偏移求解.（3）利用单调性，结合导数求解，结合函数不单调求解参数的值，进而求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学高2026届高三上期数学11月月考 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则 A. B. 2 C. 5 D. 50 2. 已知复数，且是纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3. 已知各项均为正数的等比数列满足：，则（ ） A. 60 B. 32 C. 15 D. 20 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校为促进学生全面发展，开设“雅趣象棋”“舞动社团”“国粹武术”“太极健身”“足球天下”“形象礼仪”6门兴趣课供学生进行选修，已知甲和乙各自选修了3门课，则恰有2门选修课两人均未选修情况有（ ） A. 180种 B. 160种 C. 120种 D. 100种 6. 意大利著名画家达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》被海内外众多学者津津乐道.画中女子的脸上那一抹神秘的微笑，数百年来让无数观赏者为之入迷，许多人都想揭开这微笑背后的秘密.事实上，《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇可近似地看作一段圆弧.在某次艺术展上正好展出了达·芬奇的《蒙娜丽莎》，一位艺术爱好者对其进行了测绘.他在女子嘴角处分别作圆弧的切线，两条切线相交于点，连接两点，测量得到的数据大致如下：.试根据测量得到的结果，推算《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角大概为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（ ） A. B. C D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数在上的最小值是 C. 函数和函数是同一函数 D. 若，则 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的面积是 D. 若，则外接圆半径是 11. 已知函数，，，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时，方程有且只有3个不同实根 C. 的值域为 D. 若对于任意的，都有成立，则 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 已知集合，则______ 13. 若直线与曲线相切，则__________. 14. 对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的单调区间； 16 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切实数，都有，求实数的取值范围． 17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角B； （2）为的外接圆，P为外一点，过P点作的切线，切点分别为E，F，求的最小值 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 19. 试回答下面问题： （1），均有成立，求实数的取值范围． （2）已知函数，设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． （3）设，，其中a，．设，若对任意给定的，在区间上总存在，使成立，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $