专题05 相似三角形的实际应用（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以5类实际应用题型为框架，系统构建“原理-路径-技巧”三层方法体系，强化相似三角形模型在测高、测距中的迁移应用，发展几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行光影子测高|1典例+3变式|全影/墙上影转化，A字比例构建|从“物高:影长=定值”原理，到影长分段处理的逻辑延伸| |标杆测高|1典例+3变式|“高出眼高部分”对应边，四步思维路径|三点共线构建A字型相似，眼高补偿的严谨推导| |平面镜反射测高|1典例+3变式|入射角=反射角，比例式直接应用|光的反射定律转化为相似三角形判定，物理原理数学化| |测距类|1典例+3变式|8字型相似，λ值优化转化|不可达距离通过比例线段转化为可测长度，体现转化思想| |方案设计与跨学科综合|1典例+3变式|三种方案对比，误差分析模板|融合物理（光反射）、工程（方案优化），培养模型观念与应用意识|

专题05 相似三角形的实际应用 （题型突破·举一反三） 题型01 平行光影子测高 题型02 标杆（目高）测高 题型03 平面镜反射测高 题型04 测距类 题型05 方案设计与跨学科综合 ▌题型01 平行光影子测高 基础知识：同一时刻、同一地点，物高：影长＝定值k。太阳光线→△ABO∽△A'B'O'（AA：直角＋光线夹角等）。 思维路径（全影）：测参照物高、影→测目标影→→求。 思维路径（影在墙上，高频变式）： 1. 如图树旁有楼，地面影长l、墙上影高 2. 算“若无楼，全影长应为（由物高影长比例反推等效）” 3. 直接构A字：过墙根作地平线，把墙上影高视为“少了一段地面影的树高”，列更直接。 关键技巧：“同一时刻”四字是前提，题不给就默认成立；若给“人影＝人身高”类特殊时刻（45°），可直接得k＝1简化。 易错提醒：影长是从物体底端量到影尖，不是从测点量；“部分影在墙”题里，墙上那段是高度不是影长，不能直接代公式，必须转成A字比例。 【典例1】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 【变式1-1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点、、在同一直线上）．已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高．（结果精确到） 【变式1-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）九年级（）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯点距地面米，小艺在距路灯的底部点米的点时，测得此时他的影子的长度为米．小艺沿方向行走米到点时，即米，此时的影子为 (1)求小艺的身高； (2)小艺在点时，影子的长度较原影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【变式1-3】（2026·河南平顶山·二模）小琴同学在星光篮球场散步，发现装在楼顶的大灯将篮球架和人的影子清晰地映在水平地面上，她想利用刚刚学过的测高的知识，推算出大灯的高，她首先利用自己的步长量得篮球架的影子m，然后从篮球架起步，沿射线AB向点F移动，当她头顶的影子恰好落在篮球架底部点处时，量得自己恰好走了（即m），她查阅资料得知篮球架的最高处到地面的距离，由此结合自己的身高，利用所学的知识推算出了大灯的高度，若小琴同学的身高为，请你写出推算大灯高度的过程（结果精确到）． ▌题型02 标杆（目高）测高 基础知识：三点共线（眼—标杆顶—目标顶）＋标杆⊥地、目标⊥地→构A字型相似。 核心比例（DF＝人杆距，DB＝人物距）。 思维路径（标准四步）： 1. 标已知：眼高、标杆高、人杆距a、人物距b 2. 过眼作水平线，把“高出眼的部分”当对应边：标杆高出眼＝－，目标高出眼＝AB－ 3. 列（A字，△DHF∽△DGC） 4. 解 关键技巧：“高出眼高的部分”作对应边是破题关键，直接拿比AB会错（因为眼高那段在两个三角形里都扣掉才对应）；若题给“直角三角板斜边水平、边DE与目标底共线”，本质也是标杆模型，把三角板当“微型标杆”处理。 易错提醒：人眼高度要单独加回（AB＝算出的“高出部分”＋眼高），漏加是最大丢分点；标杆可能需平移两次（蹲下再测一次，九上只认一次即可，两次是优化题）。 【典例2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边长度为a，垂直于水平线的一边长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体的水平距离为c，则物体的高度x是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， (1)若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； (2)把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 【变式2-3】（2026·河南驻马店·二模）《海岛算经》为魏晋时期数学家刘徽所著，是中国最早的一部测量数学专著．某校创新实践小组打算利用书中记载的方法测量公园里凉亭AB的高度．如图，先在水平地面上选取观测点E，G（点B，E，G在同一直线上），分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF与GH，两标杆之间的距离．从标杆EF后退1.5m处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，F，C三点在一条直线上；从标杆GH后退2m到D处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，H，D三点也在一条直线上（标杆EF，GH与凉亭AB在同一竖直平面内）．请根据以上测量数据，帮助创新实践小组求出凉亭AB的高度． ▌题型03 平面镜反射测高 基础知识：入射角＝反射角→光路构相似；核心比例（AB＝人高，BP＝人镜距，CD＝物高待求，DP＝镜物距）。 思维路径： 1. 标四量人高、人镜距、镜物距 2. 列 3. 解。 关键技巧：镜点位置是人镜距与镜物距的分界。 【典例3】（25-26九年级上·四川成都·期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学计划利用平面镜镜面反射的光学特性，测算望江公园崇丽阁的高度．如图，小红在地面E点和G点处分别安放平面镜，并在镜子上做一个标记，当她走到M点时，看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合；当她走到D点时，再次看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合．已知点B，E，D，G，M在同一直线上，且，测得，，，求崇丽阁的高． 【变式3-1】（23-24九年级上·福建漳州·期中）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【变式3-2】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，李明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知李明的眼睛离地面高度为，同时量得李明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为多少m？ 【变式3-3】（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） ▌题型04 测距类 基础知识：8字型＋两边成比例且夹角等（公共角∠ACB）→SAS判相似；测距核心思想“把不可达的AB转到可达的DE上”。 思维路径（池塘/河宽标准法）：​ 1. 选岸上一点C，连AC、BC 2. 延长AC到D使CD＝λ·CA，延长BC到E使CE＝λ·CB（λ取简单数如、、2） 3. 量DE→由△ABC∽△DEC得→ 关键技巧：λ选倒数好算的分数（、），让AB：DE成整数比。 【典例4】（25-26九年级下·山东淄博·期末）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【变式4-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）我们在对不同学科的深入学习过程中，会发现不同的学科之间有着千丝万缕的联系．夏夏同学在学习过光现象和图形的相似后进行了一个有趣的实验．如下图，地面上从左往右依次是墙、垂直于地面的木板和平面镜．点是手电筒的灯泡，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．通过测量，灯泡距离地面的高度为，木板的长度与墙到地面的距离相差4米，平面镜到木板的距离为，木板到墙面的距离为．求灯泡到平面镜的水平距离． 【变式4-3】（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑． 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． ▌题型05 方案设计与跨学科综合 基础知识：三种测高方案对比—— 1. 影子法：优点“只需尺＋时刻同步”，缺点“需晴天、需全影” 2. 标杆法：优点“阴天可用、室内可用”，缺点“需三人配合（持杆＋观测＋测距）” 3. 镜面法：优点“精度高”，缺点“需平面镜、地面硬（积水/镜）” 思维路径（方案设计题答题模板）： 1. 选方法＋写明所需工具（皮尺＋标杆/皮尺＋镜/皮尺＋晴天） 2. 画示意图，标测量量（哪些可测、哪些待求） 3. 列比例式，说明由三角形相似得 4. 误差分析：读数误差（皮尺拉不直、影长端点看不准）、模型误差（太阳非严格平行、镜面不平、眼高估读）、环境误差（云遮影变、风动标杆） 关键技巧：方案比较题的评分关键词——“是否需直达底部”（旗杆底下能站人vs古树四周围起来）、“是否需晴天”、“工具可得性”。古树围起来→不能用影（需全影）但标杆/镜可；楼前有塘→镜可（放对岸）、标杆需绕。 【典例5】（24-25九年级上·河南郑州·期中）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】小明准备运用数学知识测量出一棵杉树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：如图2，把镜子放在离杉树的点E处，然后小明沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，已知小明眼睛C距离地面D的距离（即）为，则杉树高约是多少米？ 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题提出】 （1）如图①，平分，延长至点，使得．若，，，求的长； 【问题解决】 （2）为开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块正方形生物基地，如图②，在正方形中，大门，分别在边，的中点处，沿，，修建三条灌溉水渠，水渠，交于点，在水渠与的交点处安装一个水流调节控制器，根据设计要求，的平分线交于点，沿修建了一条小路，过点作，交于点，沿修建一条特色小路，若米，求特色小路的长． 【变式5-2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： (1)像的长度为__________厘米； (2)已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题5相似三角形的实际应用 (题型突破举一反三) 目录 题型01平行光影子测高 题型02标杆（目高)测高 题型03平面镜反射测高 题型04测距类 题型05方案设计与跨学科综合 1题型01平行光影子测高 典例精析 【典例】 【答案】解：能算出水塔的高度，DE=20m;理由如下： 如图， :BC⊥AE,DE⊥AE, .BC∥DE .△ABCP△ADE, .AC BC AE DE AC BC 即AC+CEDE' BC=1.6m,AC=1m,CE=11.5m, 1/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.6 1+11.5DE 解得：DE=20 ∴.水塔的高度DE是20m 举一反三 【变式1-1】 【答案】解：如图，过点D作DG⊥AB交AB于点G,交EF于点H, 由题可知，四边形ACDG、HECD是矩形，EF=1.85m,则AG=HE=CD=1.3m,GD=CA=30m HD=CE=0.8 m .HF=EF-HE=1.85-13=0.55m, AB∥EF, .∴△BGDAFHD BG GD BG 30 FHD,即0.550.8，解得BG≈20.6 ∴.AB=AG+BG≈20.6+1.3=21.9m, 则楼高AB约为21.9m. 【变式1-2】 【答案】(1)解：：CA∥00， .∴ACAP△QOP, ..CAAP 20 OP, 即6.415+5 解得CA=1.6米， 答：小艺的身高为1.6米： (2)解：OA=15米，AB=8米， .0B=15-8=7米， .MB∥Q0. 2/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MB BN 00 ON' 1.6 BN 即6.4 BN+7: 解得v 3米， P-8N=5-7 8 3= (米)， 8 答：影子变短了，变短了3米. 【变式1-3】 【答案】解：设FG=x米， .ED∥GF ∴△BGF∽△BED, BF GF BFx BDED,即2=15， 即g AF AB+BF=7+4x 3 :BC∥GF, ∴.△AGF∽△ACB, .'.AF_GF, 7+ 4x 即 3=x, AB BC 7 3.9 解得x≈15】 答：大灯高度GF约为15米， 题型02标杆（目高）测高 典例精析 【典例2】【答案】A 举一反三 【变式2-1】【答案】10.7 3/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2-2】 【答案】(1)解：由题可知，CD=EF=lm,CG=0.8m,CE=14.4m,EH=2.4m, AB∥DC .△ABG~△DCG, AB BG DC CG' AB BC+0.8 1 0.8 ABIIFE」 .△ABH~△FEH, AB BH FE EH :B=8C+144+24 1 2.4 联立两式可知BC=7.2m,AB=10m, 故路灯AB的高度为l0m (2)CE=28.8m 【变式2-3】 【答案】解：EF⊥BD,CE=EF=l.5m, ∠ACB=45」 又：AB⊥BD, .AB=BC 设AB=BC=xm, 则BD=BC-CE+EG+DG=x-1.5+5+2=(x+5.5)m. AB⊥BD,HG⊥BD, .AB∥HG ∴.∠DHG=∠DAB,∠DGH=∠DBA .△ABD∽△HGD AB BD xx+5.5 HG=DG,即.5-2， 解得x=16.5 答：凉亭AB的高度为16.5m. 4/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03平面镜反射测高 典例精析 【典例3】 【答案】解：由题意得：∠AEB=∠FED,∠AGB=∠NGM, :AB⊥BE,FD⊥BE,NM⊥BE. .∠ABE=∠FDE=∠NMG=90°， ∴.△ABE△FDE,△ABG∽ANMG. FD DE MN MG ABBE AB BG' 1.51.5 1.53 AB-BE'AB 28+BE' 1.5 3 BE28+BE 解得：BE=28. 1.5_1.5 AB28' 解得：AB=28, ,崇丽阁的高AB为28m. 举一反 【变式3-1】 【答案】(I)解：由题意知BC⊥AB,DF⊥AD ∴.∠CBA=∠FDA=90°， 又∠CAB=∠FAD, .△CAB∽△FAD, AD DF ABBC· 由题意知AD=3m,AB=5m,BC=3.5cm,AD=3m, .3 DF 53.5 解得DF=2.lcm, 即小视力表中相应“E”的高是2.lcm 5/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图，如图，作CD⊥MN于点D,延长线交AB于点E, M ------E B B 由题意知，AB川INIA'B MNIA'B',CD⊥MN, .∠CDM=∠CEA=90° ∴CE⊥AB, :MN∥AB', ∴∠MNC=∠AB'C,∠NMC=∠B'AC. △MNC△A'B'C, MN CD A'B'CE' 由题意知CE=5m,DE=3m,AB'=AB=0.8m, .CD=CE-DE =2m, .MN 2 0.85’ ∴.MN=0.32m, ∴.镜长至少为0.32m 【变式3-2】 【答案】解：如图所示， E 由图可知，AB⊥BD,CD⊥DE,CF⊥BD, .∠ABC=∠CDE=90°， 根据镜面的反射性质，有∠ACF=∠ECF, :.90°-∠ACF=90°-∠ECF, 6/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠ACB=LECD, .AABC∽△EDC, AB BC DE CD' :李明的眼睛离地面高度为l.7m,同时量得李明与镜子的水平距离为l.5m,镜子与旗杆的水平距离为 12m, .AB=1.7m,BC=1.5m,CD=12m, .1.71.5 DE12' .DE=13.6m 答：旗杆高度为l3.6m. 【变式3-3】 【答案】(1)解：~成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， .B'N BN,AB=A'B', :FN∥BC, BF -BN-1. 则FCNB ..CF=FB', EF∥AB', .ACEFACA'B', EF CF 1 则rBCB2, .AB=x,EF=y, 21 1 x2,则y=2x, 即y与x之间的函数表达式为y=2x: (2)解：由成像原理作出看到部分人像的长度为70cm的图形，过点C'作BB的平行线分别交PN、AB 于点MM,如图所示： 7/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M N 图2 :CM∥OM'MM'=MC :C、Cw OC MM=1, 即CQ=QC」 .P'Q//A'C', AP'OACA'C, P'2C2_1 则CCC2 P0-54c-x0=35(cm）. 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 6 B 图2 由(1)可知，AB=A'B=180cm, :P'g'=PQ=90cm」 ∴.00'=P'g-P'0=90-35=55(cm), 即下移的距离为55cm: (3)解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为FV, 由(1)同理得FN=么-4 2 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为EN, 8/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A2 A C B B B2 B 由(1)同理得EN=么2 hs 2h-hs 2 最小的镜子长为： EF=EN-FN=2h,-么 21 题型04测距类 典例精析 【典例4】 【答案】(1)解：如图，延长BD,AC交于M, :AB LAC,EF⊥AC,DC⊥AC, .AB∥EF∥DC, ∴.CDM△ABM∽aEFM, CM CD EM EF AMAB'AM AB' CM 1 2+CM2 15+2+CMAB,15+2+CMAB, 2CM 2+CM 15+2+CM15+2+CM' 解得CM=2, 2 。1 15+2+2AB' AB=9.5, 答：雕塑顶部距离地面的高度AB为9.5m; 9/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：延长BH,AG交于T, B P S--- A M ,AB⊥AG,MN⊥AG,HG⊥AG, .AB∥MN∥HG ∴△HGT∽△NMT∽aBAT. MN MT HG TG ABAT AB AT' 1.7 MT 1 TG 9.5AT,9.5AT' .AT=9.5TG. .TM =1.7TG 设TG=xm,则AT=9.5xm,TM=1.7xm, .AG=8.5xm,MG=0.7xm, 过Q作OS L AB于S交MN于R, AS=RM=QG,SO=AG.RO=MG PR∥BS. .△OPRAOBS. PRRO :.BS sO' 1.6-0G_0.7x …9.5-0G8.5x’ 0G≈0.9 答：此时相机镜头距离地面的高度GQ约为0.9m 举一反三 【变式41】【答案】9.5 【变式42】 【答案】解：由题可知CF∥DE, ∴.△BCF∽△BDE」 10116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC CF 6 CF BD=DE,即6+8CF+4' .CF=3m, 由光在镜面反射中，入射角等于反射角可知，∠GBA=∠FBC, ,∠FCB=∠GAB=90°. .△AGB∽△CFB. AG AB 2.4=AB CFC8,即3=6， .AB=4.8m 答：灯泡到平面镜的水平距离为4.8m 【变式43】 【答案】解：[测高]如图，延长BD,AC交于M, B :AB⊥AC,EF⊥AC,DC⊥AC, .AB∥EF∥DC, ∴.△CDM∽aABM∽△EFM, CM CD EM EF AMAB'AM AB' CM 1 2+CM 2 ·14+2+CMAB'14+2+CMAB' 解得AB=9, 答：雕塑项部距离地面的高度AB为m; [应用]延长BH,AG交于T B 8----------- A .AB⊥AG,MN⊥AG,HG⊥AG, 11/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB∥MN∥HG .△HGT∽△NMT∽aBAT、 MN MT HG TGTG HG ·.AB=AT,ABAT,TMMN 1.7 MT 1 TGTG 1 .9=AT,9AT,TM1.7 ..AT=9TG. .TM=1.7TG, 设7TG=m,则AT=9m,TM=1.7xm, .AG=9x-x=8xm,MG=1.7x-x=0.7xm, 过O作OS L AB于S交MN于R, AS=RM=0G,SO=AG,RQ=MG. PR∥BS, .AOPRO△QBS PR RO …BsS0' 1.6-9G_0.7x .9-0G8x’ QG≈0.9 答：此时相机镜头距离地面的高度G0约为0.9m 题型05方案设计与跨学科综合 典例精析 【典例5】 【答案】解：根据题意得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB .△ABEACDE, BE AB 10 AB DE=CD,即2=1.5， 解得：AB=7.5m, 答：杉树高AB约是7.5m. 三举一反 12/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式5-1】 【答案】(1)解：BO平分∠ABC, ∴.∠ABO=∠CBO .:BC=CD=4, ∴.∠CBO=∠D ∴.∠ABO=∠D .∠AOB=∠COD, .△AOBC∽ACOD AB OA 1 CDOC,即 0C 解得0C=2 (2):四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=600,ABICD,∠BAD=∠ADC=90. .BD=√AB2+AD2=V6002+6002=600N2」 点E,F分别为边CD,AD的中点， .AF=DE=300 .BF=AE=V6002+3002=300W5. 在△ABF和△DAE中 AB=DA ∠BAF=∠ADE AF=DE .AABF≌ADAE(SAS)」 ∴.∠AFB=∠DEA :∠DEA+∠DAE=90°， .∠AFB+∠DAE=90° ∴.∠AGF=90° :∠AGF=∠BAF=90°，∠AFG=∠AFB, .△FAG∽△FBA AG AF FG BA BF FA 4G=B4AC_60x30-120N5,GP-4P.PH_30x3 2=60N5 BF 3005 BF 3005 13/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BG=BF-GF=240V5 :AB∥CD ∴.△DHE∽△BHA」 DH_EH_DE_3001 BH AH BA6002· H-号4=1005，DH-0=205,B-号8D=405, .GH=AE-AG-HE=80√5. 如图，过点M作M0⊥AE,MK⊥BF,垂足分别为P,K, F D G K H 平分 C.GM ∠BGH ..MK=MO :Mg⊥AE,MK⊥BF,∠AGF=90°， ∴.∠BKM=∠BGE=∠MQH=90° ∴.KM GH ∴.ABKM∽△MQH,△BKM∽△BHG. BM_BK_BKBK BG MH MO MK'MK GH BGBM_2405-3 GHMH8O√5 ÷BM=3BH=300N2】 Γ4 .DM=BD-BM=300√2. :MN∥HE .△DHE∽△DMW :HE-DH_20022 MNDM300√23 :.MN=3 HE=150J5 即特色小路MN的长为150W5米」 14116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式52】 【答案】(1)3.2 (2)①证明：光线AP平行于主光轴1， .AP⊥MN, ∠AP0=90° ∠0DA=90°， ∠AP0=∠ODA'=90°， MN∥AB', .∠AOP=LOA'D, .AOAP△A'OD: ②解：：AB∥MN∥AB,AP∥1， ∴四边形ACOP为平行四边形， .∠AP0=90°， 四边形ACOP为矩形， .AP=OC=32cm. 由①，知△OAPn△AOD, .P0-AP32_5 DA'OD 12.8 2' MN∥AB, .△POF∽△ADF, PO OF ADDF’ 5 OF 212.8-0F, 解得0F=4 , 64 所以凸透镜焦距OF的长为7厘米. 【变式5-3】 【答案】(1)解：AB∥CD」 △ECDAEBA, CD EC ABEB· 15/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=3米，BC=5.7米，CD=2米， EB=EC+BC=3+5.7=8.7米， 23 AB8.7 解得：AB=5.8米； (2)解：AB∥CD, ∴.△ECDP△EBA, CD_EC AB EB' 又CE=3米，CD=2米， 23 AB 3+BC 整理得：3+BCB, :AB∥EF, .△EFG∽△BAG, GE EF GB AB' 又CE=3米，EF=2米，GE=3.6, 2 3.6 AB3.6+3+BC, 2 3.6 4B3.6+mAB, 解得：AB=12」 即国旗杆的高度AB为12米 16116 专题05 相似三角形的实际应用 （题型突破·举一反三） 题型01 平行光影子测高 题型02 标杆（目高）测高 题型03 平面镜反射测高 题型04 测距类 题型05 方案设计与跨学科综合 ▌题型01 平行光影子测高 基础知识：同一时刻、同一地点，物高：影长＝定值k。太阳光线→△ABO∽△A'B'O'（AA：直角＋光线夹角等）。 思维路径（全影）：测参照物高、影→测目标影→→求。 思维路径（影在墙上，高频变式）： 1. 如图树旁有楼，地面影长l、墙上影高 2. 算“若无楼，全影长应为（由物高影长比例反推等效）” 3. 直接构A字：过墙根作地平线，把墙上影高视为“少了一段地面影的树高”，列更直接。 关键技巧：“同一时刻”四字是前提，题不给就默认成立；若给“人影＝人身高”类特殊时刻（45°），可直接得k＝1简化。 易错提醒：影长是从物体底端量到影尖，不是从测点量；“部分影在墙”题里，墙上那段是高度不是影长，不能直接代公式，必须转成A字比例。 【典例1】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 【答案】水塔的高度是 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意得，进而得，可得，最后，代入相关数据计算即可． 【详解】解：能算出水塔的高度，；理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得：， ∴水塔的高度是． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点、、在同一直线上）．已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作交于点，交于点，根据题意，易得，从而求出，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 由题可知，四边形、是矩形，，则，，， ， ， ， ，即，解得， ， 则楼高约为． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）九年级（）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯点距地面米，小艺在距路灯的底部点米的点时，测得此时他的影子的长度为米．小艺沿方向行走米到点时，即米，此时的影子为 (1)求小艺的身高； (2)小艺在点时，影子的长度较原影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)影子变短了，变短了米 【分析】（）由∽得，代入已知求出即可； （）由∽得，求出的长，再与比较即可求解； 本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， 即， 解得米， 答：小艺的身高为米； （2）解：∵米，米， 米， ， ， 即， 解得米， ∴（米）， 答：影子变短了，变短了米． 【变式1-3】（2026·河南平顶山·二模）小琴同学在星光篮球场散步，发现装在楼顶的大灯将篮球架和人的影子清晰地映在水平地面上，她想利用刚刚学过的测高的知识，推算出大灯的高，她首先利用自己的步长量得篮球架的影子m，然后从篮球架起步，沿射线AB向点F移动，当她头顶的影子恰好落在篮球架底部点处时，量得自己恰好走了（即m），她查阅资料得知篮球架的最高处到地面的距离，由此结合自己的身高，利用所学的知识推算出了大灯的高度，若小琴同学的身高为，请你写出推算大灯高度的过程（结果精确到）． 【答案】大灯高度约为米． 【分析】设米，先证明，则，即，然后证明，则，即，再求出的值即可． 【详解】解：设米， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：大灯高度约为米． ▌题型02 标杆（目高）测高 基础知识：三点共线（眼—标杆顶—目标顶）＋标杆⊥地、目标⊥地→构A字型相似。 核心比例（DF＝人杆距，DB＝人物距）。 思维路径（标准四步）： 1. 标已知：眼高、标杆高、人杆距a、人物距b 2. 过眼作水平线，把“高出眼的部分”当对应边：标杆高出眼＝－，目标高出眼＝AB－ 3. 列（A字，△DHF∽△DGC） 4. 解 关键技巧：“高出眼高的部分”作对应边是破题关键，直接拿比AB会错（因为眼高那段在两个三角形里都扣掉才对应）；若题给“直角三角板斜边水平、边DE与目标底共线”，本质也是标杆模型，把三角板当“微型标杆”处理。 易错提醒：人眼高度要单独加回（AB＝算出的“高出部分”＋眼高），漏加是最大丢分点；标杆可能需平移两次（蹲下再测一次，九上只认一次即可，两次是优化题）。 【典例2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边长度为a，垂直于水平线的一边长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体的水平距离为c，则物体的高度x是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，过E作于H，证得，推出，求出，因此，于是得到答案． 【详解】解：过E作于H， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-1】（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 【答案】10.7 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式，求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：作交于点， 由题意可知：四边形均为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即旗杆的高度是10.7米； 故答案为：10.7． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）项目学习： 在综合与实践活动中，某学习小组计划测量便民广场上照明路灯的高度，他们设计了如下方案，测量示意图如图： 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点处，此时测得标杆在地面上的影子长； 步骤2：将标杆沿着的方向移动到点处，此时测得标杆在地面上的影子长， (1)若测得标杆移动的距离，求路灯的高度； (2)把条件“将标杆沿着的方向移动到点处”改为“将标杆沿着的方向移动到点处”，其他条件不变，利用（1）的结果，请直接写出的长（不用说理）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判定和，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． （2）判定，从而利用相似三角形的性质列出等量关系，进而解方程就可求出答案． 本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的性质解方程是解题关键． 【详解】（1）解：由题可知，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 联立两式可知，， 故路灯的高度为． （2）解： 由题可得图，由题可知，，，， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 故的长为． 【变式2-3】（2026·河南驻马店·二模）《海岛算经》为魏晋时期数学家刘徽所著，是中国最早的一部测量数学专著．某校创新实践小组打算利用书中记载的方法测量公园里凉亭AB的高度．如图，先在水平地面上选取观测点E，G（点B，E，G在同一直线上），分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF与GH，两标杆之间的距离．从标杆EF后退1.5m处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，F，C三点在一条直线上；从标杆GH后退2m到D处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，H，D三点也在一条直线上（标杆EF，GH与凉亭AB在同一竖直平面内）．请根据以上测量数据，帮助创新实践小组求出凉亭AB的高度． 【答案】16.5m 【分析】证明，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：，， ． 又， ． 设， 则． ，， ． ∴ ． ，即， 解得． 答：凉亭的高度为16.5m． ▌题型03 平面镜反射测高 基础知识：入射角＝反射角→光路构相似；核心比例（AB＝人高，BP＝人镜距，CD＝物高待求，DP＝镜物距）。 思维路径： 1. 标四量人高、人镜距、镜物距 2. 列 3. 解。 关键技巧：镜点位置是人镜距与镜物距的分界。 【典例3】（25-26九年级上·四川成都·期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学计划利用平面镜镜面反射的光学特性，测算望江公园崇丽阁的高度．如图，小红在地面E点和G点处分别安放平面镜，并在镜子上做一个标记，当她走到M点时，看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合；当她走到D点时，再次看到崇丽阁顶部A点在镜中的像与镜子上的标记重合．已知点B，E，D，G，M在同一直线上，且，测得，，，求崇丽阁的高． 【答案】崇丽阁的高为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，，再根据垂直定义可得，然后证明，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴崇丽阁的高为． 【变式3-1】（23-24九年级上·福建漳州·期中）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 【变式3-2】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，李明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知李明的眼睛离地面高度为，同时量得李明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为多少m？ 【答案】旗杆高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直得到，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质，有， ∴， ， ， ， 李明的眼睛离地面高度为，同时量得李明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 答：旗杆高度为． 【变式3-3】（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3) 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． ▌题型04 测距类 基础知识：8字型＋两边成比例且夹角等（公共角∠ACB）→SAS判相似；测距核心思想“把不可达的AB转到可达的DE上”。 思维路径（池塘/河宽标准法）：​ 1. 选岸上一点C，连AC、BC 2. 延长AC到D使CD＝λ·CA，延长BC到E使CE＝λ·CB（λ取简单数如、、2） 3. 量DE→由△ABC∽△DEC得→ 关键技巧：λ选倒数好算的分数（、），让AB：DE成整数比。 【典例4】（25-26九年级下·山东淄博·期末）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 【变式4-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）我们在对不同学科的深入学习过程中，会发现不同的学科之间有着千丝万缕的联系．夏夏同学在学习过光现象和图形的相似后进行了一个有趣的实验．如下图，地面上从左往右依次是墙、垂直于地面的木板和平面镜．点是手电筒的灯泡，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．通过测量，灯泡距离地面的高度为，木板的长度与墙到地面的距离相差4米，平面镜到木板的距离为，木板到墙面的距离为．求灯泡到平面镜的水平距离． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，先证明，可得，求解，再证明，可得，从而可得结论. 【详解】解：由题可知， ∴， ∴，即， ∴， 由光在镜面反射中，入射角等于反射角可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：灯泡到平面镜的水平距离为． 【变式4-3】（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 打卡“晋泉之声”雕塑． 【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为；[应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． ▌题型05 方案设计与跨学科综合 基础知识：三种测高方案对比—— 1. 影子法：优点“只需尺＋时刻同步”，缺点“需晴天、需全影” 2. 标杆法：优点“阴天可用、室内可用”，缺点“需三人配合（持杆＋观测＋测距）” 3. 镜面法：优点“精度高”，缺点“需平面镜、地面硬（积水/镜）” 思维路径（方案设计题答题模板）： 1. 选方法＋写明所需工具（皮尺＋标杆/皮尺＋镜/皮尺＋晴天） 2. 画示意图，标测量量（哪些可测、哪些待求） 3. 列比例式，说明由三角形相似得 4. 误差分析：读数误差（皮尺拉不直、影长端点看不准）、模型误差（太阳非严格平行、镜面不平、眼高估读）、环境误差（云遮影变、风动标杆） 关键技巧：方案比较题的评分关键词——“是否需直达底部”（旗杆底下能站人vs古树四周围起来）、“是否需晴天”、“工具可得性”。古树围起来→不能用影（需全影）但标杆/镜可；楼前有塘→镜可（放对岸）、标杆需绕。 【典例5】（24-25九年级上·河南郑州·期中）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】小明准备运用数学知识测量出一棵杉树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：如图2，把镜子放在离杉树的点E处，然后小明沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，已知小明眼睛C距离地面D的距离（即）为，则杉树高约是多少米？ 【答案】杉树高约是 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得，则可证明，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴，即， 解得：， 答：杉树高约是． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题提出】 （1）如图①，平分，延长至点，使得．若，，，求的长； 【问题解决】 （2）为开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块正方形生物基地，如图②，在正方形中，大门，分别在边，的中点处，沿，，修建三条灌溉水渠，水渠，交于点，在水渠与的交点处安装一个水流调节控制器，根据设计要求，的平分线交于点，沿修建了一条小路，过点作，交于点，沿修建一条特色小路，若米，求特色小路的长． 【答案】（1）；（2）米 【分析】（1）通过角平分线和等腰三角形的性质找出相等的角，从而证明三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例求出线段长度． （2）如图，过点作，，垂足分别为，．先证，得出，再证，则．可得，，的长，再由，可得．可得，，，的长．再由，．可得 ，的长．再由．可得的长为． 【详解】解： 平分， ． ， ． ． ， ． ，即． 解得． （2）∵四边形是正方形， ，，． ． 点，分别为边，的中点， ． ． 在和中 ． ． ， ． ． ，， ． ． ，． ． ， ． ． ，，． ． 如图，过点作，，垂足分别为，． 平分， ． ，，， ． ． ，． ，． ． ． ， ． ． ． 即特色小路的长为米． 【点睛】本题主要运用角平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、正方形的性质以及全等三角形的判定和性质来求解．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 【变式5-2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： (1)像的长度为__________厘米； (2)已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意，根据相似三角形的判定与性质求解是关键． （1）先证明，再根据相似三角形的相似比等于对应高之比，列方程求解即可； （2）①先证明，再证明，即得结论； ②先证明四边形为矩形，得到，由得，再证明，得到，即可列方程求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 解得． 故答案为：． （2）①证明：光线AP平行于主光轴l， ， ， ， ， ， ， ； ②解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 由①，知， ， ， ， ， ， 解得， 所以凸透镜焦距OF的长为厘米． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 【答案】(1)路灯的高度为5.8米 (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． / 学科网（北京）股份有限公司 $