精品解析：江苏泰州市靖江市城北实验学校 2026—2027 学年度第一学期 10 月份调研测试卷八年级数学

城北实验2026-2027学年度第一学期课堂练习 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，5，10 C. 5，6，9 D. 6，7，13 2. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 不需要添加 4. 的平分线上的一点，到的距离等于，是射线上的任意一点，则关于的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若使，则下列条件不成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，在长方形中（），点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（10小题，每小题3分，共30分） 7. 如图，，，那么与全等的理由是_________ 8. 如图，在中，是的平分线，交于点，垂足为，若，则的长为______． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，则______． 10. 若实数，满足，且，恰好是等腰三角形的两条边长，则的腰长为____________. 11. 如图，，，，，则________°． 12. 如图，的中线相交于点．若的面积为3，则四边形的面积为________． 13. 如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为____________． 14. 如图，平分，于点E，于点F，．若，则______． 15. 如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动_____ 时，． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，则下列说法正确的序号为______． ①；②；③若，则；④；⑤． 三、解答题（10小题，共102分） 17. 计算与化简： （1） （2） 18. 解答下列各题 （1）解方程组： （2）解不等式组并写出它的整数解． 19. 如图，与相交于点，，，求证：． 20. 如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 21. 如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，G，连接BE，BG．若的周长为20，，求AC的长． 22. 如图，点D在线段上，，， （1）求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：，①__________； 在和中，， （③___________） ④___________． 又DF平分， （⑤___________）． 23. 用一条细绳围成一个三角形， （1）若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数； （2）若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长； 24. 如图，在中，，是边的垂直平分线，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求的度数． 25. 【问题背景】 如图，在中，，和的平分线和相交于点 G． 【问题探究】 （1）的度数为 ； （2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 26. 八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【阅读理解】如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小聪同学是这样思考的：延长至点，使，连接，利用全等将边转化到，在中利用三角形的三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是：________；中线的取值范围是________． （2）【理解与应用】如图（2），在中，点是的中点，，，其中，连接，试探索与的数量关系，并说明理由． （3）【问题解决】如图（3），在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若，试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城北实验2026-2027学年度第一学期课堂练习 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，5，10 C. 5，6，9 D. 6，7，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，通过比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故选项不符合题意； C、，且其他组合如均成立，能构成三角形，故选项符合题意； D、，不能构成三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得，据此即可求解． 【详解】 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．熟记相关结论即可． 3. 如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 不需要添加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴不需要添加条件， 故选：D． 4. 的平分线上的一点，到的距离等于，是射线上的任意一点，则关于的说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据角平分线的性质可得点到的距离等于，再根据垂线段最短即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由角平分线的性质可得，点到的距离等于， 由根据垂线段最短可得，， 故选：． 5. 若使，则下列条件不成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，判定全等三角形的主要方法有、、 、，特别是不能判定三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、、、，利用即可证明三角形全等，故A选项不符合题意； B、、、，利用即可证明三角形全等，故B选项不符合题意； C、、、，由不能证明三角形全等，故C选项符合题意； D、、、，利用即可证明三角形全等，故D选项不符合题意． 故选C． 6. 如图，在长方形中（），点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握长方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 先根据已知条件判定，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴，故①结论正确； 由①知， ， ，故②结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③结论正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故④结论正确； 故选：D． 二、填空题（10小题，每小题3分，共30分） 7. 如图，，，那么与全等的理由是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 8. 如图，在中，是的平分线，交于点，垂足为，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是熟知性质及对应的模型．根据角平分线的性质求得，则可求出的长度． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴ ， ， 故答案为：． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，则______． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由线段垂直平分线的性质可得，，由此可得、的度数，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， ， ， 故答案为：54． 10. 若实数，满足，且，恰好是等腰三角形的两条边长，则的腰长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，恰好是等腰三角形的两条边长， 当为等腰三角形的腰时，，不能构成三角形 当为等腰三角形的底时，，三角形的腰长为， 故答案为：． 11. 如图，，，，，则________°． 【答案】64 【解析】 【分析】主要考查了查角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．由角平分线的判定可求得是的平分线，则可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴点P在的平分线上， 即平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案是：． 12. 如图，的中线相交于点．若的面积为3，则四边形的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，再表示出与，即可得解． 【详解】∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 故答案为3． 13. 如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等”； 利用垂直平分线的性质和已知的周长计算． 【详解】解：是的中垂线， ， 则， 又的周长为， 故， 直线上任意一点到、距离和最小为． 故答案为：． 14. 如图，平分，于点E，于点F，．若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等成为解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：3． 15. 如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动_____ 时，． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分当点在射线上移动时，，当点在射线上移动时，，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图， 当点在射线上移动时，， ∵点从点出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：； 当点在射线上移动时，， ∵点从点出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：； 综上所述，当点在射线上移动或时，， 故答案为：或 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，则下列说法正确的序号为______． ①；②；③若，则；④；⑤． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】根据三角形内角和可判断①；当为中线时，可判断②；延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质，可判断③；作的平分线交于点G，可得，证明，，可得，，可判断④；过G作，于点G，H，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，可判断⑤． 【详解】解：①在中，， ， ∵平分，平分， ，， ，故①正确； ②当为中线时，， 而平分，不一定是等边三角形或以为腰的等腰三角形，故②错误； ③如图，延长至G，使，连接， ， ， ， ， ，， 为角平分线， ， ， ， ， ，故③正确； ④如图，作作的平分线交于点G， 由①得：， ， ， ， ，， ，， ，， ，故④正确； ⑤过G作，于点G，H， 由④知，为的角平分线， ， ， ，， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键． 三、解答题（10小题，共102分） 17. 计算与化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解答下列各题 （1）解方程组： （2）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】（1） （2）不等式组的解集为，所有整数解为，， 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ①②，得：， 解得， 将代入①，得：， 解得， 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为、、0． 19. 如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明：在△AOC和△BOD中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 【答案】证明：∵点B， E， C， F在同一条直线上， ， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据，得到，证明，即可得证. 【详解】略 21. 如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，G，连接BE，BG．若的周长为20，，求AC的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴． ∵是边的垂直平分线， ∴． 的周长为20， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 22. 如图，点D在线段上，，， （1）求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：，①__________； 在和中，， （③___________） ④___________． 又DF平分， （⑤___________）． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求， （2），，，，三线合一． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据题干信息，结合平行线的性质和全等三角形的判定与性质、等角对等边逐步完善推理过程与推理依据即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 证明：，①； 在和中， ， （③） ④． 又DF平分， （⑤三线合一）． 23. 用一条细绳围成一个三角形， （1）若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数； （2）若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长； 【答案】（1）当角为顶角时，另两个角均为；当角为底角时，另两个角分别为和 （2）腰长为，底边长为 【解析】 【分析】（1）分角为顶角和底角两种情况讨论，即可作答； （2）设底边长为，则腰长为，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：分情况讨论： 当角为顶角时， 另两个角均为：； 当角为底角时，则另一个底角为， 此时顶角为：， 即另两个角分别为和， 综上：当角为顶角时，另两个角均为；当角为底角时，另两个角分别为和． 【小问2详解】 设底边长为，则腰长为， 根据题意有：， 解：，则， 即：腰长为，底边长为． 24. 如图，在中，，是边的垂直平分线，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）直接根据垂直平分线的性质求解； （2）根据垂直平分线的性质可知，从而，再根据角平分线的定义可知，根据直角三角形两锐角互余即可得出的度数． 【小问1详解】 解：∵是边的垂直平分线 ∴； 【小问2详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 【问题背景】 如图，在中，，和的平分线和相交于点 G． 【问题探究】 （1）的度数为 ； （2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形内角和定理求出答案； （2）利用三角形内角和定理证明，进而证明，由此可证明得到； （3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 26. 八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【阅读理解】如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小聪同学是这样思考的：延长至点，使，连接，利用全等将边转化到，在中利用三角形的三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是：________；中线的取值范围是________． （2）【理解与应用】如图（2），在中，点是的中点，，，其中，连接，试探索与的数量关系，并说明理由． （3）【问题解决】如图（3），在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若，试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）， （2） ，理由如下： 如图，延长至，使得，连接， ， 由（1）可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） ， 证明：如图，延长至，使得，连接、， ， 同（1）可得：， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由证明得出，再由三角形三边关系即可得解； （2）延长至，使得，连接，由（1）可得：，得出，，再证明，得出，即可得解； （3）延长至，使得，连接、，同（1）可得：得出，由线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：延长至点，使，连接， ， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $