第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质核心知识点，从标准方程出发，系统梳理范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质，延伸到等轴双曲线、直线与双曲线位置关系、弦长及中点弦问题，构建递进式学习支架。 资料含思维导图构建知识框架，知识梳理用表格对比性质，题型精讲设12类典例及变式，精练分基础、能力、综合层。通过对比培养数学眼光，推理题发展逻辑思维，课中助分层教学，课后利查漏补缺。

第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【即学即练1】（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 知识点02：等轴双曲线 （）称双曲线为等轴双曲线 ①离心率； ②两渐近线互相垂直，分别为； ③等轴双曲线的方程，； 【即学即练2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C．D． 知识点03：直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【即学即练3】（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 知识点04：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则通径长为： 知识点05：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程 【即学即练4】（多选）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）双曲线的渐近线方程有（   ） A． B． C． D． 知识点06：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【即学即练5】设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则______． 第三部分 题型精讲 题型01由双曲线的方程求几何性质 【典例1】（多选）（24-25高二下·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【典例2】（多选）（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【变式1】（多选）（25-26高二上·湖北荆州·期末）设双曲线，则（    ） A．的虚轴长为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 【变式2】（多选）（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【变式3】（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线，下列结论正确的是（   ） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．右焦点坐标为 D．焦点到渐近线距离为 题型02根据双曲线几何性质求其标准方程 【典例1】（福建省泉州市部分校2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C．D． 【典例2】（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C．D． 【变式2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C．D． 题型03双曲线的渐近线问题 【典例1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）双曲线的渐近线方程是______. 【变式1】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C．D． 【变式2】（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C．D． 【变式3】（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型04双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为________. 【变式1】（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【变式3】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）双曲线的离心率为__________． 题型05双曲线的离心率问题（最值或范围） 【典例1】（2026高三上·全国·专题练习）已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C．D． 【变式1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 题型06根据双曲线的离心率求参数 【典例1】（2026·湖北·一模）双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【典例2】已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为__________． 【变式1】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【变式3】（25-26高二下·上海奉贤·期末）曲线的离心率为，则______. 题型07直线与双曲线的位置关系 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【变式3】（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 题型08弦长问题 【典例1】（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【典例2】（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【变式1】（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【变式2】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 【变式3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 题型09三角形面积问题 【典例1】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【典例2】（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【变式1】（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【变式2】（22-23高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【变式3】（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 题型10中点弦和点差法 【典例1】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【典例2】（25-26高二上·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【变式1】（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【变式2】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式3】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题 【典例1】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【典例2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 【变式1】已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【变式2】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【变式3】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 题型12双曲线中的向量问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【典例2】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 【变式1】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【变式2】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C．D． 2．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·北京·开学考试）已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（26-27高三上·北京·开学考试）在下列双曲线中，离心率最大的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 7．（多选）（2026·浙江宁波·二模）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 8．（多选）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是（   ） A． B． C．D． 9．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为__________． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. B能力提升 1．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（     ） A．C的焦距为6 B．的面积为 C．C的渐近线方程为 D．双曲线是等轴双曲线 4．（2026高三上·全国·专题练习）如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 5．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． C综合素养 1．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 2．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. (1)若点在上，且，求； (2)设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 3．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 4．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由. 5．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【即学即练1】（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 【答案】 【详解】因为双曲线：的一条渐近线为，，故， 由得，， 因此，故双曲线的焦距为. 知识点02：等轴双曲线 （）称双曲线为等轴双曲线 ①离心率； ②两渐近线互相垂直，分别为； ③等轴双曲线的方程，； 【即学即练2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 知识点03：直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【即学即练3】（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，分两类讨论：平行于渐近线的直线，和与双曲线相切的直线，再统计总数． 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 知识点04：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则通径长为：. 知识点05：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程 【即学即练4】（多选）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）双曲线的渐近线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】双曲线化为标准方程为：， 所以双曲线的渐近线方程为：. 知识点06：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【即学即练5】设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则______． 【答案】 【分析】设，证明即可求解. 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 第三部分 题型精讲 题型01由双曲线的方程求几何性质 【典例1】（多选）（24-25高二下·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 【典例2】（多选）（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 【变式1】（多选）（25-26高二上·湖北荆州·期末）设双曲线，则（    ） A．的虚轴长为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 【答案】ABC 【分析】根据双曲线的几何性质计算虚轴长，焦距，离心率及渐近线判断各个选项. 【详解】由题意得，则， 虚轴长为，选项A正确； ，焦距为，选项B正确； 的离心率为，选项C正确； 渐近线为，选项D错误． 故选：ABC. 【变式2】（多选）（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可. 【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 【变式3】（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线，下列结论正确的是（   ） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．右焦点坐标为 D．焦点到渐近线距离为 【答案】ABCD 【分析】由双曲线方程确定参数值，进而依次求出离心率、渐近线、焦点判断各项的正误. 【详解】由知，，则离心率为，渐近线为，右焦点坐标为， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：ABCD 题型02根据双曲线几何性质求其标准方程 【典例1】（福建省泉州市部分校2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题）双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，所以，所以， 所以双曲线方程为. 【典例2】（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 【变式2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，渐近线方程， 焦点到的距离为，则， 则此双曲线的方程为 【变式3】（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为， 又双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线方程为，化为标准方程为. 题型03双曲线的渐近线问题 【典例1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】由题意得双曲线标准方程为， 即得， 所以双曲线的渐近线方程为. 【典例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）双曲线的渐近线方程是______. 【答案】 【分析】将双曲线方程化为标准形式确定焦点位置及的值，代入对应渐近线公式求解，也可直接令方程右侧常数为0化简得到结果 【详解】将双曲线方程化为标准形式： ， 可知该双曲线焦点在轴上，其中实半轴长，虚半轴长， 则焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为 . 【变式1】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准形式，确定双曲线中的，然后利用确定，进而根据双曲线标准方程得到双曲线的渐近线方程. 【详解】将转化为标准形式， 显然，由，所以，解得. 所以双曲线标准方程为. 所以该双曲线的渐近线方程为. 【变式2】（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． 【变式3】（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的标准方程为，则， 其渐近线方程为：． 题型04双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为, 将已知渐近线整理为斜截式,为,因此,即; 所以双曲线的离心率. 【典例2】（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程得到的取值，结合双曲线的关系推导离心率公式后代入计算即可. 【详解】焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，由题意得. 根据双曲线的基本性质，，离心率， 因此： ， 将代入得： . 【变式1】（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为， 所以，即. 所以双曲线的离心率. 【变式2】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 【变式3】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【详解】由题意可知，所以， 则，解得，因此双曲线的离心率. 题型05双曲线的离心率问题（最值或范围） 【典例1】（2026高三上·全国·专题练习）已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用内切圆半径 表示三个三角形面积，约去公共因子，将面积不等式转化为焦半径差与焦距的关系，由双曲线定义得 ，结合离心率定义及 求范围. 【详解】设的内切圆半径为，根据三角形面积公式可得 ，，. 代入题设不等式，约去公共项后可得 . 根据双曲线的定义，右支上的点恒满足， 而双曲线焦距，代入上式得， 即离心率. 双曲线的离心率本身满足，因此最终离心率的取值范围是. 【典例2】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. 【变式1】（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 【变式2】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 【答案】 【分析】根据题目条件和得到方程，求出离心率取值范围 【详解】，且，故， 两边同除以得，解得， 因为，所以离心率取值范围是. 题型06根据双曲线的离心率求参数 【典例1】（2026·湖北·一模）双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，解得. 【典例2】已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】首先根据（点O为坐标原点）的面积为2找到，再根据，找到，最后联立求解a的取值范围即可. 【详解】由题意可知：点F到渐近线的距离等于， 从而即， 又，所以， 则，又， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 【变式1】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，所以. 【变式2】（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 【变式3】（25-26高二下·上海奉贤·期末）曲线的离心率为，则______. 【答案】或 【分析】根据离心率确定方程为双曲线的方程，然后按照焦点位置分类讨论，进而利用离心率公式得到关于的方程，即可得答案； 【详解】因为可化为， 因为曲线的离心率为，所以曲线必然为双曲线， 所以当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则； 当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则，所以； 综上，或. 题型07直线与双曲线的位置关系 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【变式1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与双曲线方程联立，转化为方程没有实数根，求参数的取值范围. 【详解】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 【变式2】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 【变式3】（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意直线过点且双曲线的右顶点为， 又双曲线的渐近线方程为， 因此由题意，解得， 所以b的取值范围为. 题型08弦长问题 【典例1】（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 【典例2】（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，建立得方程求出，得解； （2）当直线的斜率为0时，显然不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式求出，进而求得，得解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    【变式1】（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 【变式2】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)依据渐近线方程和已知点得到和值，最后求得双曲线方程. (2)将直线代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，再用弦长公式求解. 【详解】（1）以及点代入中，可得， 所以双曲线为. （2）将代入，可得， 设，，则：，，依据弦长公式可得： ， ， 令，则方程变为：，解得或，即或， 由此可得或；原一元二次方程的判别式： ，即， 所有解均满足条件，最终：或. 【变式3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义计算即可得； （2）联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得. 【详解】（1）由双曲线定义可得该双曲线实轴长为，焦距为， 则虚轴长为，故双曲线的标准方程为； （2）联立，消去得， ， 设、，则，， 则 ， 则，故. 题型09三角形面积问题 【典例1】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 【典例2】（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【详解】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 【变式1】（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 【变式2】（22-23高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 【变式3】（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）或 【分析】（1）应用点在双曲线上列式计算求解双曲线方程； （2）（ⅰ）先设直线再联立结合根与系数关系及判别式列式计算求解；（ⅱ）应用面积及几何特征列式计算求解. 【详解】（1）因为是C上一点，所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以， 解得或，所以的取值范围为． （ⅱ）由图易知，， 则 ， 所以，解得或． 由（ⅰ）知，得，直线的方程为， 即或． 题型10中点弦和点差法 【典例1】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【详解】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 【典例2】（25-26高二上·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【详解】（1）设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 【变式1】（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）略 【变式2】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 【变式3】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设坐标为，利用直线，相交于，且它们的斜率之积为，即可确定出的轨迹方程； （2）设出与坐标，分别代入的轨迹方程，整理由根据为中点，求出直线斜率，即可确定出直线方程． 【详解】（1）设，直线，相交于， 且它们的斜率之积为，，化简得， 则动点的轨迹方程为； （2）由（1）得的轨迹方程为， 设点，，则有，， 得：， 整理得：， 为的中点，，， 直线的斜率， 直线的方程为，即，该直线与M的轨迹有两个交点，符合题意. 题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题 【典例1】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 【典例2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 此时且， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令，解得，即， 同理得， 因为O为的中点， 所以，即， 所以， 因为，， 所以， 整理得， 所以或， 若，即， 此时直线方程为，即， 则直线过点，不合题意； 若，此时直线方程为， 则直线恒过定点， 所以为定值， 因为为直角三角形，且为斜边． 所以当R为的中点时，． 【分析】（1）根据双曲线的离心率与实轴长列出方程组即可求解； （2）根据直线与圆E相切，得出，设，则，求得的最小值即可求解的最小值； （3）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得出韦达定理，再求得的坐标，由O为的中点，即可得出证明． 【详解】（1）因为双曲线C的离心率为，实轴长为， 所以，解得，， 则， 故双曲线C的方程为． （2） 因为圆E的方程为， 所以圆E的圆心，半径， 因为点S是双曲线C上的动点，T是圆E上的动点，直线与圆E相切， 所以， 此时， 设， 因为点S是双曲线C上的动点，所以 ，即 ， ， 当时，取得最小值，且， 则． （3） 略． 【变式1】已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)，，，， 由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：， 所以，根据已知条件有： ， 所以是定值. 【分析】（1）设，，直线，联立双曲线方程，得到两根之积小于即可求解； （2）对进行配凑得，代入计算即可. 【详解】（1）设，，直线， 由，消元得：， 整理得：. 因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点， 因为在轴上，且在双曲线的内部， 所以有：，，且， 则，解得：. （2）略. 【变式2】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 【变式3】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 题型12双曲线中的向量问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 【典例2】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 【答案】(1)焦距为4，离心率 (2) (3)且 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可求得焦距和离心率； （2）根据中点公式用表示出点的坐标，根据点在双曲线右支上，列方程求出，再由斜率公式即可解出； （3）设，，联立直线和双曲线方程可得，再根据，代入并化简，可得到的关系，然后由，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，，所以焦距. 离心率. （2）因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. （3），设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 【变式1】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立关于的关系式，联立求解即可； （2）根据直线与圆位置关系得出相应的关系式，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标表示，分式不等式的解法分析求解即可. 【详解】（1）由题意知双曲线的半焦距为：，① 又双曲线的渐近线方程为得：，② 由，③ 联立①②③解得：， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线的方程为：， 因为直线与圆相切，则有：， 又直线与双曲线交于两点， 联立直线与双曲线的方程得：， 消去整理得：， 由 ， 解得， 设，则， 由 ， 将代入上式得：， 化简得：，解得：， 即或， 所以的取值范围为：. 【变式2】（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据双曲线焦点坐标得，结合已知渐近线斜率得，再由双曲线关系求出、，即可得到双曲线的方程； （2）设出直线​的方程与点、的坐标，根据向量关系得到坐标间的倍数关系，将、坐标代入双曲线方程联立求解得到直线斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，可得， 由焦点坐标可知，而，即， 解得，所以， 所以的方程为． （2）设，，，而，， 则 由，得，解得,即得， 依题意，解得即， 又，所以直线的方程为，整理得． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，渐近线方程为，即，， 则，得 所以，则渐近线方程为. 2．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线方程可知一条渐近线方程为， 代入点可得，即， 所以双曲线的离心率为. 3．（26-27高三上·北京·开学考试）已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用焦点在轴上的双曲线渐近线方程列等式求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 由题意知，解得. 4．（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过渐近线方程确定，进而可求解. 【详解】 由题可知该双曲线中，解得， 又双曲线的一条渐近线为，因此， 又，得，所以实轴长为. 5．（26-27高三上·北京·开学考试）在下列双曲线中，离心率最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率公式即可求解． 【详解】对于A，离心率为； 对于B，离心率为； 对于C，离心率为； 对于D，离心率为； 因为， 所以离心率最大的是A． 6．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 7．（多选）（2026·浙江宁波·二模）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 【答案】BD 【详解】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． 8．（多选）（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合双曲线离心率计算公式逐项判断即可. 【详解】对于双曲线，， 所以，即， 对于A：，， 所以，即，正确； 对于B：，， 所以，即，错误； 对于C：，， 所以，即，正确； 对于D：，， 所以，即，正确； 故选：ACD 9．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】令，解得， 可知双曲线的渐近线方程为， 即，解得. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. B能力提升 1．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的第二定义来转化原式为，进而可得，再由曲线是双曲线可得所求值的范围. 【详解】由曲线，变形为​， 由方程两边非负且表示双曲线（有解），所以. 将看成点到定点的距离， 再将看成点到直线的距离，且定点不在直线上， 由圆锥曲线的第二定义可知，离心率，即. 因为曲线为双曲线，所以，即，解得. 因此实数的取值范围为. 2．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，．利用，分别求出两四边形在第一象限内顶点的坐标，再由两四边形面积相等得到，最后利用椭圆、双曲线离心率公式求． 【详解】设 则． 又因为，所以 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为． 由同时在两曲线上，得 即 解得 因此四边形的面积为 双曲线在第一象限的渐近线为 设该渐近线与椭圆在第一象限的交点为，则． 代入椭圆方程，得所以 因此四边形的面积为 由题意， 由于均为正数，所以 代入上式，得 得即 又因为所以 3．（多选）（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（     ） A．C的焦距为6 B．的面积为 C．C的渐近线方程为 D．双曲线是等轴双曲线 【答案】AB 【分析】首先利用双曲线的第一定义，结合，得到；对A选项利用余弦定理求得焦距即可；B选项已知三角形两边和夹角，利用求解即可；C选项，利用，，求出，于是得到渐近线方程即可；D选项，代入，可知，于是不是等轴双曲线. 【详解】由双曲线的标准方程，得. 由双曲线的定义结合可知. 又因为，所以. A选项，由余弦定理可知 于是. 所以，即焦距为6，A正确. B选项， 的面积为，所以B正确. C选项，因为，，所以， 所以渐近线方程为，C错误. D选项，代入，可得 . 因为，所以不是等轴双曲线，D错误. 4．（2026高三上·全国·专题练习）如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式及基本不等式得出，再根据同角三角函数的关系化简即可求解． 【详解】由题知，， 设为双曲线的左焦点，左顶点，， 则 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 整理得或（负值舍去）， 所以， 所以． 5．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 / 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. C综合素养 1．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 2．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. (1)若点在上，且，求； (2)设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)直线的斜率为或． 【分析】（1）由双曲线的焦点坐标、渐近线方程以及可求得，再结合双曲线的定义即可求得，此题需要注意点只会在双曲线的左支上； （2）设出直线的斜率，用点斜式写出直线的方程，将直线与双曲线联立解方程组，求出点，再根据对称性求出点，最后用两点间的距离公式结合即可解决问题． 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点为，，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以，所以，所以双曲线， 因为，所以点一定在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得，因此，即； （2） 因为过点的直线与的右支交于点（异于），所以直线的斜率必存在，可记为且， 所以直线的方程为，设， 由可得， 可得且，于是且， 代入直线的方程得，所以点， 因为关于的对称点为，所以，所以点， 又因为，所以， 整理得，解得或，均满足，故或， 所以直线的斜率为或． 3．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （3）结合（2）中的韦达定理，直线，双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； 【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. （3）略 4．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 存在， 【分析】（1）根据实轴长以及离心率公式求出，进而得双曲线方程. （2）先根据中点坐标公式及双曲线方程求得直线的方程，联立方程，根据韦达定理以及弦长公式求出，再求出到直线的距离，进而求出的面积. 【详解】（1）依题意：，则. 又因为，所以. 所以. 所以双曲线的方程为. （2）存在.如图，设. 因为为直线与双曲线的交点， 所以， 由得：. 即. 因为点是弦的中点，所以. 所以. 此时直线的方程为，即. 联立方程得，消去得：. 则， 所以存在直线，使得点是弦的中点. 则由韦达定理：. 所以. 点到直线的距离， 所以. 5．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用斜率公式计算即可得； （2）由题意可设，，联立直线与双曲线方程，可得与交点纵坐标有关的韦达定理，再利用面积公式表示出和的面积之差，计算即可得的值，即可得解. 【详解】（1）设，则，整理得， 即的方程为； （2）由题意可得直线斜率存在且小于， 可设，，则， 联立，消去得， 则，， 由，， 故， 由，故， 整理得，故， 由，故，即直线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $