3.2.2 双曲线的简单几何性质12题型分类讲义(讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本高中数学讲义聚焦双曲线的简单几何性质，系统梳理标准方程、范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等核心知识，衔接等轴双曲线、直线与双曲线位置关系及弦长公式，构建从基础到综合的学习支架。 资料以12题型分类为特色，涵盖方程与性质互化、渐近线与离心率求解、直线与双曲线综合应用等，结合高考真题实例，培养学生数学思维与运算能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.2双曲线的简单几何性质12题型分类 一、双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 二、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 三、直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 四、弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. （一） 双曲线的标准方程与几何性质 1．由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧：渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 题型1：由双曲线的方程研究几何性质 1．（2026高二·山西·期中）已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 2．（2026高二·全国·课堂例题）下列有关双曲线与的说法正确的是（    ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 3．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．【多选】（2026高二·内蒙古·期末）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 题型2：由双曲线的性质求双曲线的标准方程 5．（2026高二·上海·阶段检测）已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为___________. 6．（2026高二·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 7．（2026高二·河南南阳·期中）设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 9．（2026高二·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． （二） 求双曲线的渐近线与离心率 双曲线的渐近线、离心率： 双曲线的方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 a,b,c的关系 c2＝a2＋b2 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型3：双曲线的渐近线问题 10．（2026高一·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 11．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 12．（2026·北京东城·模拟预测）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 13．（2026高二·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 题型4：求双曲线的离心率 19．（2026高二·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·江西·期末）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 22．（2026高二·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 23．（2026·江西·模拟预测）设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 题型5：求双曲线的离心率的取值范围 24．（2026高二·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 26．（2026高二·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 27．（2026高二·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 题型6：根据双曲线的离心率求参 28．（2026高二·上海奉贤·期末）曲线的离心率为，则______. 29．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 31．（2026高三·湖南邵阳·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 （三） 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 题型7：直线与双曲线的位置关系 32．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条． 33．（2026·北京石景山·模拟预测）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 34．（2026高二·全国·专题练习）若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 35．（2026高二·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 36．（2026·重庆·模拟预测）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 37．（2026高二·湖北武汉·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______. 38．（2026高二·安徽滁州·期末）若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________. 题型8：求相交弦长 39．（2026高二·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 40．（2026·北京·模拟预测）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 41．（2026高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 42．【多选】（2026·河北邢台·模拟预测）已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（    ） A． B． C． D． 43．（2026·甘肃金昌·模拟预测）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 44．（26-27高三·云南昆明·阶段检测）已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 45．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 46．（2026高二·湖北孝感·期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. （四） 双曲线的中点弦与点差法 1、 双曲线的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过双曲线上－＝1(a>b>0)两点、，其中中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型9：双曲线的中点弦问题 47．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 48．（2026高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 49．（2026·天津河东·模拟预测）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 50．（2026·新疆·模拟预测）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 51．（2026高二·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 52．（2026高二·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. （五） 双曲线的综合问题 双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 题型10：双曲线的定点、定值问题 53．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 54．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 55．已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 56．（2026高二·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 57．（26-27高三·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 58．（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 59．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 60．已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 61．（2026·河北保定·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型11：双曲线的向量问题 62．（2026高三·云南怒江·开学考试）已知双曲线，点，，直线交双曲线于，两点，若，，则（    ） A． B． C． D． 63．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 题型12：双曲线的实际应用 64．（2026高二·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 65．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 66．（2026高二·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 67．（2026高二·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 1．（2026高二·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2026高二·安徽安庆·期末）已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 6．（2026高二·山东东营·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．【多选】（2026高二·广东深圳·期中）已知双曲线，则下列选项正确的是（    ） A．渐近线方程 B．顶点坐标 C．离心率 D．焦距为3 8．（2026高二·河南开封·阶段检测）已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·全国·专题练习）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 10．（2026高二·广西河池·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高二·广西贵港·期末）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2 12．（2026高二·上海浦东新·阶段检测）设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·甘肃天水·阶段检测）设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 15．【多选】（2026高二·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 16．【多选】（2026高二·贵州铜仁·期末）已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 17．【多选】（2026高二·云南玉溪·期末）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为   18．（2026高二·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 19．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为________. 20．（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围______________． 21．（2026高二·全国·课后作业）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数________． 22．（2026高二·广西北海·期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有__________条． 23．（2026高二·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为________. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 25．（2026·山东聊城·模拟预测）已知双曲线的一个焦点是，一条渐近线方程是. (1)求双曲线的方程； (2)斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点为线段的中点，点，若以为直径的圆过点，求直线的方程. 26．（2026高二·陕西宝鸡·期末）设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.2双曲线的简单几何性质12题型分类 一、双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 二、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 三、直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 四、弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. （一） 双曲线的标准方程与几何性质 1．由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧：渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 题型1：由双曲线的方程研究几何性质 1．（2026高二·山西·期中）已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 2．（2026高二·全国·课堂例题）下列有关双曲线与的说法正确的是（    ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 【答案】B 【分析】求出两双曲线的顶点坐标、渐近线方程、焦点坐标以及离心率，可出结论. 【详解】对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 因此，这两个双曲线有相同的渐近线， 故选：B. 3．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，结合三者关系，求解即可. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又 且,由基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立，又，所以, 化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即, 解得,综上所述，. 4．【多选】（2026高二·内蒙古·期末）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 【答案】BC 【详解】因为，可得， 则，，， 可得实轴长为，不为定值，故A错误； 焦点在轴上，故B正确； 离心率为，为定值，故C正确； 渐近线方程为，故D错误. 题型2：由双曲线的性质求双曲线的标准方程 5．（2026高二·上海·阶段检测）已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为___________. 【答案】 【分析】根据焦点可得，由虚轴可得，即可求解. 【详解】由题意可知双曲线的焦点在轴上，且半焦距. 设双曲线的标准方程为，则，所以， 所以，因此的标准方程为. 故答案为： 6．（2026高二·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 7．（2026高二·河南南阳·期中）设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】由题意知，整理得，解得. 故选：B 8．（26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 9．（2026高二·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中且即可求解. 【详解】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上， 故令得，即. 又因为且，所以， 所以双曲线方程为，即. 故选：B （二） 求双曲线的渐近线与离心率 双曲线的渐近线、离心率： 双曲线的方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 a,b,c的关系 c2＝a2＋b2 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型3：双曲线的渐近线问题 10．（2026高一·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 11．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 【答案】 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，与直线方程联立，结合弦长公式及韦达定理求解即可. 【详解】已知两条渐近线为，，即. 可设双曲线的方程为. 联立，整理得. ，则. 设方程的两根为，，则，， 代入弦长公式得， 即，，解得. 故双曲线方程为，即. 12．（2026·北京东城·模拟预测）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 13．（2026高二·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 14．（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 15．（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 16．（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据双曲线定义求出的长度，结合已知的，先在中利用余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理建立与的等量关系，最后借助双曲线中的关系求出的值，即可得到渐近线方程. 【详解】∵ 点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，可得. 又∵ ，∴ 代入得. 设，∵ 点也在双曲线的右支上，同理可得. ∵ 直线过且与双曲线右支交于两点，故在线段上， ∴ ，即，为等腰三角形. 在中，由余弦定理得： ， 将，，代入上式： ， 整理得， ∵ ，，∴ 解得，即，. 在中，再次应用余弦定理： ， 其中，代入已知值： ， 计算得， 化简得. 又∵ 双曲线满足，代入得， 整理得，即. ∵ 双曲线的渐近线方程为，代入得：， 整理为标准直线方程形式得，故选D. 17．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 18．（2026高二·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【答案】或/或 【分析】利用对称性构造直角三角形，结合双曲线的定义和勾股定理列方程，即可求解出，进而得到渐近线的斜率. 【详解】设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，易得， 因为，所以，如图，令， 则，又， 在中，，即， 化简得（*）； 在中，，即， 化简得，将其代入（*），化简得，即， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 题型4：求双曲线的离心率 19．（2026高二·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 20．（2026高二·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 21．（2026高二·江西·期末）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由渐近线与相切，得，所以， 所以的离心率. 22．（2026高二·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【详解】过 平行于轴的直线，代入双曲线方程得，，因此弦长， 而，所以， 不妨取,，则， 所以，故，即， 而，所以，而，所以， 所以. 23．（2026·江西·模拟预测）设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设直线的方程为，求得，由，求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 不妨设直线的方程为， 令，可得，即， 因为，可得， 可得，解得，所以的离心率为. 题型5：求双曲线的离心率的取值范围 24．（2026高二·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 25．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 【答案】 【分析】根据题目条件和得到方程，求出离心率取值范围 【详解】，且，故， 两边同除以得，解得， 因为，所以离心率取值范围是. 26．（2026高二·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 27．（2026高二·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 题型6：根据双曲线的离心率求参 28．（2026高二·上海奉贤·期末）曲线的离心率为，则______. 【答案】或 【分析】根据离心率确定方程为双曲线的方程，然后按照焦点位置分类讨论，进而利用离心率公式得到关于的方程，即可得答案； 【详解】因为可化为， 因为曲线的离心率为，所以曲线必然为双曲线， 所以当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则； 当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则，所以； 综上，或. 29．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线，即，， 由该双曲线的离心率为，得，所以. 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由 可知，则，， 又，所以．由可知， 则由 ，解得． 31．（2026高三·湖南邵阳·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，所以. （三） 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 题型7：直线与双曲线的位置关系 32．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条． 【答案】4 【分析】结合图形，将直线分成斜率不存在和存在两种情况考虑，在斜率存在时，再考虑所得方程的二次项系数为0的情况，最后结合根的判别式为0考虑相切的情况即得. 【详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程， 整理得：， 当时，即时，代入方程解得或， 即直线与双曲线只有1个交点为； 直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意； 当时，由，解得， 此时直线与双曲线相切于点，符合题意. 综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条. 故答案为：4. 33．（2026·北京石景山·模拟预测）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 34．（2026高二·全国·专题练习）若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 【答案】C 【分析】根据题意设切线方程，得到相切的条件，根据条件分析时，点，此时不存在与双曲线相切的直线，时，根据切线过渐近线上的点确定切线的唯一性即可判断ABC，与渐近线平行或与双曲线相切的直线与双曲线都是只有一个交点即可判断D. 【详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切）， 则设切线方程为， 则， ， 所以， 当时，，解得与题设矛盾， 即当点时，过点的直线不存在与双曲线相切， 当时， ， 又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点， 则，解得， 所以， 又，所以， 则， 所以每一个点，的值只有一个， 所以至多存在一条过点的直线与该双曲线相切，故C正确，B错误； 对于D，易知当点不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点， 与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D错误； 故选：C. 35．（2026高二·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 36．（2026·重庆·模拟预测）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】A 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，验证直线是否满足题意，在直线的斜率存在时，可知直线与双曲线的渐近线平行，由此可得出结论. 【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点. ①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意； ②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点. 若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意. 综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条. 故选：A. 37．（2026高二·湖北武汉·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】联立方程得到，讨论，两种情况，计算得到答案. 【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：, 当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 当时，<0，即或，无公共点. 综上所述：或. 故答案为： 38．（2026高二·安徽滁州·期末）若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】把两个交点问题转化为直线和双曲线联立方程组判别式大于零及两根和为负两根积为正，求解即可. 【详解】联立方程得,① 若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根. 所以 解得. 故答案为：. 题型8：求相交弦长 39．（2026高二·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. 40．（2026·北京·模拟预测）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【答案】B 【分析】先考虑斜率不存在的情况弦长的值；再考虑斜率存在时，联立方程，根据斜率的取值情况判断有几种情况． 【详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 41．（2026高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 42．【多选】（2026·河北邢台·模拟预测）已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】双曲线关于轴、轴和原点对称 若两直线关于轴、轴或原点对称，那么它们被双曲线截得的弦长相等. 对于A，直线与直线关于轴对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故A正确； 对于B，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故B错误； 对于C，直线与直线关于原点对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故C正确； 对于D，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故D错误. 43．（2026·甘肃金昌·模拟预测）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式列式求得，求得双曲线的标准方程，将直线与双曲线方程联立，结合弦长公式求得答案. 【详解】设，渐近线的方程为， 则到的距离，到的距离， 所以，又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 由，得， 设，则， ，所以， 所以. 44．（26-27高三·云南昆明·阶段检测）已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 【答案】(1)设，，， 因为点，在双曲线上， 则， 即：，. ∴点在直线上，得证. (2) 【分析】（1）根据点差法即可求解； （2）先求出直线方程，与双曲线联立，然后根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，最后由面积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）直线的方程是l：， 与双曲线方程联立得：， 所以，. ， 点到直线的距离， 所以.    45．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形面积为4，建立，两点坐标之间的等量关系；设中点的坐标，利用中点坐标公式将点坐标用，两点坐标表示，即可求出点的轨迹的方程； （2）联立方程组，分别根据弦长公式表示出，再根据点到直线的距离公式求出距离，根据面积为建立等量关系即可求出. 【详解】（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 46．（2026高二·湖北孝感·期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线渐近线相同设出双曲线方程，代入点求解即可. （2）依题意求出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离公式求出的高，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意设所求双曲线的方程为， 代入点得，解得， 所以双曲线的方程为，即． （2）由（1）知，，， 由题意得直线的方程为，即． 设，， 联立，整理得， ， 则，， 则， 点到直线：的距离． 所以． （四） 双曲线的中点弦与点差法 1、 双曲线的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过双曲线上－＝1(a>b>0)两点、，其中中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型9：双曲线的中点弦问题 47．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【答案】 （或） 3（答案不唯一） 【详解】对于双曲线：，有， 其渐近线方程为； 设，则， 两式相减得，即， 线段的中点为，则， 若，则中点为双曲线顶点，此时直线AB的方程为，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故， 则，即得，即得直线的斜率为， 可得直线的，联立， 得， 则， 化简得，解得或， 故实数的一个取值可为3. 48．（2026高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 49．（2026·天津河东·模拟预测）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点差法即可求解． 【详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率， 设，代入双曲线方程得， 两式相减得，， 所以， 因为弦中点为，所以， 当时，， 当时，， 又因为点在第一象限，所以， 所以． 50．（2026·新疆·模拟预测）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 51．（2026高二·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 【答案】 【分析】设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，，则，，， 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减得，则， ，故双曲线的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故答案为：. 52．（2026高二·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 【答案】/0.5 【分析】利用点差法即可求得答案. 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. （五） 双曲线的综合问题 双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 题型10：双曲线的定点、定值问题 53．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明：设，则， 联立 消去整理得，所以， 所以， 又直线的斜率，所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 【分析】（1）根据双曲线和椭圆的焦点相同以及离心率之比为3这两个条件列方程求出的值即可确定双曲线的方程. （2）联立直线和双曲线方程组，结合韦达定理求出直线的方程，进而确定定点坐标. 【详解】（1）由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. （2）略 54．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)方法一:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，， 所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或3. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. 方法二:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 又，即， 整理得， 即， 所以， 整理得，解得或， 当，， 此时， 所以， 所以，此时的方程为，所以恒过定点. 【分析】（1）由渐近线方程和双曲线所过的点即可列方程求得解； （2）联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出弦长，再求出点到直线的距离即可计算面积； （3）方法一:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出，再由题设得到，再代入韦达求出t即可求解； 方法二:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，将韦达定理代入题设求出t即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的方程为. （2）由题意，直线的方程为，即. 设，，由，得， 所以，. 则， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. （3）略 55．已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明：如图，由题得，设，，的方程为， 联立得，消去并化简得， 则，，即， 且，. 因为，所以， 即， 化简得， 解得或，且均满足. 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 【分析】（1）根据双曲线的性质，结合已知条件求出，进而求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和判别式构造方程，进而求出直线方程，证明结论． 【详解】（1）因为双曲线：的一条渐近线为：， 所以，即. 又因为右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 所以双曲线的方程为． （2）略 56．（2026高二·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 57．（26-27高三·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 【答案】(1) (2)是定值，定值为. 【分析】（1）设点．把已知用坐标表示后化简可得； （2）若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．设点，，由垂直得关系，从而用表示出点坐标，代入曲线的方程求出，切线斜率不存在时，同样求出，从而计算数量积可得. 【详解】（1）设点．由题意，，，的斜率分别为，， 代入，得，     整理得． 这是焦点在轴上的双曲线，其顶点为，即点，． 因此曲线的方程为． （2）显然， 法一：若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．     设点，． 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得．     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法二：设点，因为，则可令点． 因为切线与单位圆相切，故到直线的距离为， 在中，面积， 即，     化简得．①     又在双曲线上，可得，②     ①②，得，     所以为定值．     法三：设点，，若切线斜率存在，设直线的方程为， 由与圆相切得．     联立得， 由韦达定理，得，，     由且点在直线上，设， 代入垂直条件并结合，推导得，     平方得， 代入韦达定理及化简可得，     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法四：显然切线的斜率不为，设切线， 由与圆相切得．     设点，， 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得，解得（显然，负值舍去）．     所以为定值． 58．（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 此时且， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令，解得，即， 同理得， 因为O为的中点， 所以，即， 所以， 因为，， 所以， 整理得， 所以或， 若，即， 此时直线方程为，即， 则直线过点，不合题意； 若，此时直线方程为， 则直线恒过定点， 所以为定值， 因为为直角三角形，且为斜边． 所以当R为的中点时，． 【分析】（1）根据双曲线的离心率与实轴长列出方程组即可求解； （2）根据直线与圆E相切，得出，设，则，求得的最小值即可求解的最小值； （3）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得出韦达定理，再求得的坐标，由O为的中点，即可得出证明． 【详解】（1）因为双曲线C的离心率为，实轴长为， 所以，解得，， 则， 故双曲线C的方程为． （2） 因为圆E的方程为， 所以圆E的圆心，半径， 因为点S是双曲线C上的动点，T是圆E上的动点，直线与圆E相切， 所以， 此时， 设， 因为点S是双曲线C上的动点，所以 ，即 ， ， 当时，取得最小值，且， 则． （3） 略． 59．已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据双曲线的性质及定义写出对应参数，即可得； （2）（i）设直线，联立双曲线方程得，讨论、，分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值；（ii）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理，结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m. 【详解】（1）由题意，点P的轨迹为双曲线，且， 所以，则点P的轨迹方程C为； （2）（i）由题设，设直线，联立双曲线，得， 所以， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 当，交点为；当，交点为； 当，此时，则， 当，切点为；当，切点为； 综上，或. （ii）由题设直线， 联立双曲线方程，得，则， 故，所以①， 设，则，， 由 又，， 为定值， 所以，此时为定值. 60．已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程. （2）①求出直线的方程，与双曲线方程联立并求出弦长，进而求出三角形面积；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求解. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由点在双曲线上，得， 由离心率为，得，又，联立解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线，设， ①直线斜率为，由直线l过点及，得直线的方程为， 代入双曲线，得， ，， 所以． 又点到的距离为， 的面积为． ②设，当直线不垂直于轴时，设，， 代入双曲线，得， ，，， 因此 ， 当且仅当，即时，为常数，为常数， 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值. 61．（2026·河北保定·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题设求出双曲线，及双曲线的渐近线方程为，结合可得，设直线l的方程为，进而求得，设，联立直线l与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可. 【详解】由题意，得，即，则， 所以双曲线，且双曲线的渐近线方程为， 由，得，设直线l的方程为， 联立，解得，即， 联立，消去得， 设，则①，， 因为，所以， 而，， 则，即， 结合①得，， 则， 即， 则，即，又，则. 题型11：双曲线的向量问题 62．（2026高三·云南怒江·开学考试）已知双曲线，点，，直线交双曲线于，两点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，因为， 所以，解得， 即，代入双曲线的方程并整理得0. 同理，由，得到， 因此，是一元二次方程的两根， 则. 63．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设点，利用点到直线的距离公式求出的值，利用三角恒等变换、诱导公式可求得的值，最后利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即，    设点，则， 设点在直线、的射影点分别为、， 则，，所以，， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且， 则，所以，， 因为，故， 所以，， 由平面向量数量积的定义可得. 故选：A. 题型12：双曲线的实际应用 64．（2026高二·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 65．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】利用双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线方程，再求出塔顶的纵坐标，从而计算塔高． 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 66．（2026高二·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【分析】由双曲线的性质即可求解. 【详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 67．（2026高二·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论. 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 1．（2026高二·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 2．（2026高二·安徽安庆·期末）已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】使用双曲线的离心率计算公式求解. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为：. 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，渐近线方程， 焦点到的距离为，则， 则此双曲线的方程为 4．（2026高二·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可. 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，， 渐近线的斜率的绝对值为，所以， 因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 6．（2026高二·山东东营·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】双曲线渐近线，即， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 则圆心到渐近线的距离，解得， 则双曲线方程为，故，，则， 故双曲线C的离心率为. 7．【多选】（2026高二·广东深圳·期中）已知双曲线，则下列选项正确的是（    ） A．渐近线方程 B．顶点坐标 C．离心率 D．焦距为3 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程求出，然后逐个分析判断即可 【详解】双曲线，焦点在轴上，其中， 所以渐近线方程，故A正确； 离心率为，故C正确； 顶点坐标为，故B错误； 焦距为，故D错误， 故选：AC. 8．（2026高二·河南开封·阶段检测）已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出渐近线方程为，利用点到直线距离公式列出方程，求出，结合，得到渐近线方程. 【详解】根据题意，可设一条渐近线为， 取，， 所以，解得：，因为， 故， 因此双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 9．（2026高二·全国·专题练习）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到，再根据，即可求解双曲线渐近线的斜率. 【详解】作于点，如图所示，    因为，所以为的中点， 由双曲线的定义知|，所以， 故，因为，所以， 即，得，所以，得， 故双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B 10．（2026高二·广西河池·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2a，计算渐近线即可. 【详解】    因为线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点 所以， 则渐近线方程为． 故选:B． 11．【多选】（2026高二·广西贵港·期末）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2 【答案】BD 【分析】根据题意，由为等腰直角三角形，列出方程求得及，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】如图所示，设双曲线的左顶点为， 因为以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得为等腰直角三角形， 又因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，可得， 所以，因为，所以，解得， 所以双曲线的离心率为，所以D正确； 由，可得双曲线的渐近线方程为，所以B正确． 故选：BD.    12．（2026高二·上海浦东新·阶段检测）设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线与圆切于点，则， 又，所以，    所以为的中点，而为中点，于是，有， 且，则，令双曲线焦距为，由， 得，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A 13．（2026高二·甘肃天水·阶段检测）设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求得焦点到渐近线的距离为，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，结合和离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，渐近线方程为， 如图所示，则焦点到渐近线的距离为， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 又由，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A.    14．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式研究即可. 【详解】联立，消去得， 当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点； 当时，，解得或. 故选：C. 15．【多选】（2026高二·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 16．【多选】（2026高二·贵州铜仁·期末）已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】如图， 由题意可知，可得，，，∴，故A正确． 由渐近线方程为，可得，故B正确． 点到两条渐近线的距离分别为，，∴，故C错误． ∵，∴，∴由面积公式可得的面积为，故D正确． 17．【多选】（2026高二·云南玉溪·期末）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【分析】先由焦距得的值，结合三角形面积求得点的纵坐标，再由直线的斜率求得点的横坐标，利用双曲线定义及的关系求得的值，再逐一验证各选项即可. 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即.    ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. 18．（2026高二·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 19．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式列式求解的值，即可求出直线的方程，令即可得出答案. 【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为， 而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为， 与双曲线方程联立，化简可得， 由，得或． 设，，则，， 则，所以， ，解得：（舍去）或， 所以直线的方程为，令，可得. 故点P的坐标为. 故答案为：. 20．（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的范围______________． 【答案】 【分析】将直线与双曲线方程联立，直线与双曲线的交点分别在两支上等价于联立方程有两个异号的根. 【详解】联立双曲线、直线方程，消去整理得， 由题意，设方程的两根为，则，解得． 故答案为：    21．（2026高二·全国·课后作业）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数________． 【答案】或 【分析】由消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得. 【详解】由消去y，整理得， 当时，由得； 又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立． 故答案为：或    22．（2026高二·广西北海·期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有__________条． 【答案】4 【分析】分情况讨论直线有斜率和无斜率，联立直线与双曲线的方程，根据方程根的个数即可求解直线的条数. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点． 当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点； 当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条． 故答案为：4 23．（2026高二·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【分析】根据垂直得到直线的斜率为，根据中位线平行得到，确定，得到渐近线方程. 【详解】根据对称性，不妨设与渐近线垂直，则直线的斜率为， 为的中点，为中点，，则，即， 整理得到，故渐近线方程为. 故答案为：. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【答案】(1) (2) 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）略 25．（2026·山东聊城·模拟预测）已知双曲线的一个焦点是，一条渐近线方程是. (1)求双曲线的方程； (2)斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点为线段的中点，点，若以为直径的圆过点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，联立方程组求出，利用即可. 【详解】（1）由题意得，，，，解得， 则双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，， 联立，得，此时， 由韦达定理得，所以，即. 因为以为直径的圆过点，所以，即， 因为，所以，得， 所以直线的方程为， 26．（2026高二·陕西宝鸡·期末）设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程； （2）联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为， 可得，整理得， 即曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，，可得，， 所以， 又由点到直线的距离， 所以的面积. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $