专题13 椭圆的简单几何性质讲义【8大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题13 椭圆的简单几何性质高频考点精讲 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 考点一　椭圆的焦距与长轴、短轴 考点二　利用椭圆的几何性质求标准方程 考点三　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考点四　利用椭圆的离心率求参数的取值范围 考点五　点、直线与椭圆的位置关系判断 考点六　直线与椭圆相切应用 考点七　直线与椭圆相交弦长问题 考点八　椭圆的中点弦与点差法 考点九　椭圆中的定点定值与最值问题 考点十　椭圆的实际应用问题 考点一　椭圆的焦距与长轴、短轴 1．（26-27高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，若椭圆的长轴为，焦距为，则椭圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】根据条件求，再求椭圆的标准方程. 【详解】由条件可知，，，则，，所以， 所以椭圆的标准方程为. 2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定椭圆标准方程的形式，再计算参数的值，代入即可得到椭圆方程. 【详解】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 3．（25-26高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 5．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，，进而结合求解即可得答案. 【详解】解：因为焦距为，即，所以， 又因为， 所以， 所以椭圆的标准方程为：． 故选：D 考点二　利用椭圆的几何性质求标准方程 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知椭圆焦点在轴上，设出直线方程并与椭圆联立，再由韦达定理以及中点坐标即可求得，可得椭圆方程为. 【详解】由题意可设椭圆的标准方程为， 则，所以，所以椭圆的标准方程为． 因为直线经过椭圆的上焦点，且直线的斜率存在， 所以设直线的方程为， 代入椭圆的方程，消去并整理得， 设，则， 又，所以可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：B． 7．（25-26高三·云南·阶段检测）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为．则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出椭圆方程，由题意可得，结合离心率以及的关系，可得出答案. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 则，解得，∴椭圆的标准方程为， 故选：C． 8．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别求出，再根据焦点所在的位置即可求出标准方程. 【详解】由题意，椭圆的焦距，长轴长， 则， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B. 考点三　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 9．（2026·河南·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量条件得到线段长度比例，设，结合椭圆定义写出，再在中使用余弦定理，求解关于的表达式；接着在中由余弦定理求出，再对再次使用余弦定理，建立关系式，进而求出离心率. 【详解】依题意，设，则. 在中，， 化简，得，故，或（舍去）. ， ， 在中，， 整理得. 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 11．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，椭圆的左焦点为，利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意可知，椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得， ，即，解得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 又因为， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 所以，解得，所以， 因此，. 故选：C. 12．（25-26高二上·江西上饶·期末）椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和的内切圆半径表示的面积，再结合点到直线的距离和线段表示的面积，列式可得关于的关系，再根据的取值范围可求离心率的取值范围. 【详解】如图： 因为的内切圆的面积是，所以的内切圆的半径为1. 结合椭圆的定义：. 由到直线：的距离为：，所以. 由， 又，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两种方法表示的面积，得到的关系，再求离心率的取值范围. 考点四　利用椭圆的离心率求参数的取值范围 13．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，，． 由离心率 得 ，故 ，即 ，解得 ． 14．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    15．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，，由，求得，进而得解. 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：C.    16．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 考点五　点、直线与椭圆的位置关系判断 17．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 18．（2026·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 19．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 20．（25-26高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性可判断. 【详解】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 考点六　直线与椭圆相切应用 21．（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 22．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为__________. 【答案】 【分析】根据条件，求出椭圆方程，设所求切线方程为，联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出，即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 又长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的方程为， 由题知切线斜率存在，设切线方程为， 由，消得到， 所以，整理得到， 解得，故所求的直线方程为，即， 故答案为：. 23．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 24．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程： (2)动直线：与椭圆相切，点，是直线上的两点，且，，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程可得到，，进而得到椭圆方程； （2）联立直线与椭圆的方程，消去，得到的二次方程，运用直线与椭圆相切的条件求出，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式即可得到所求值. 【详解】（1）由题意可得，， 将点代入椭圆方程得，解得，，， 椭圆方程为； （2）由可得， 直线与椭圆相切， ， 解得， 由对称性可取直线， 焦点， ，，， 四边形的面积为.    考点七　直线与椭圆相交弦长问题 25．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【答案】(1). (2)直线的方程为，弦长. 【分析】（1）由题意根据椭圆离心率求得，进而计算可求椭圆的方程； （2）由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积，进而建立等式计算求解即可. 【详解】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，， 因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，. 原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 26．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【答案】 【分析】先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长. 【详解】设左焦点为，又直线经过左焦点，则， 因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又， 所以，因此椭圆标准方程为，设， 联立方程，化简得，则， 根据弦长公式可得. 27．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）直线被椭圆所截得的弦长为，则实数t＝______． 【答案】 【详解】由，得， ， 所以. 设直线与椭圆的交点为， 则， 所以弦长， 整理得，， 解得. 28．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【答案】6 【分析】先根据离心率以及得到的倍数关系，然后化简椭圆方程并联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式结合弦长公式表示出，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，， 所以椭圆方程为，设， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 所以， 由，得， 由弦长公式得：， 所以解得，满足，所以. 考点八　椭圆的中点弦与点差法 29．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 30．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 31．（2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】设弦的中点E的坐标为，由题可得，，列式求出，进而求得答案. 【详解】设弦的中点E的坐标为，连接，. 因为，且为的中点，有， 又由椭圆中点弦的结论可得， 于是，，解得，. 于是直线l的方程为. 由于，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件. 所以直线l的方程为. 故答案为：. 32．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 考点九　椭圆中的定点定值与最值问题 33．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【答案】(1)椭圆方程为：，离心率：. (2)（i）面积最大值. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【分析】 (1) 利用椭圆定义和可求椭圆的标准方程，再利用离心率公式可求离心率. (2) （i）联立直线和椭圆方程利用韦达定理构建三角形的面积函数，再利用换元法和基本不等式可求面积最大值. （ii）通过代数式表示直线，再求出两点坐标，化简可得中点坐标. 【详解】（1） 由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）略 34．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过右焦点作直线交椭圆于，两点，若直线、的斜率分别为、（，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设过焦点的直线，联立椭圆得到韦达定理，把斜率比值变形，利用验证，得出为定值． 【详解】已知椭圆方程，则， 故，右焦点， 设直线方程为：，， 联立椭圆方程得，整理得 ，即， 由韦达定理得， 故， 的斜率：， 的斜率：， 35．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）已知椭圆 （>）的离心率为 A，B分别为椭圆C的上、下顶点，O为坐标原点，直线与椭圆C交于不同的两点P，Q. (1)设点M 为线段PQ的中点，证明：直线OM 与直线PQ的斜率之积为定值； (2)若时， ①求椭圆C的方程； ②证明：直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 【答案】(1) 设，则 则由 两式相减可得，即 ， 所以 为定值. (2)①； ②联立方程，消去，可得， 由，解得，则， 因直线BP的方程为，即 ， 直线AQ的方程为，即， 设直线BP与直线AQ的交点为，则联立， 由，解得 ， 将其代入①，可得 即. 故直线BP与直线AQ的交点在定直线上. 【分析】（1）设，利用点差法求得，再化简计算即得； （2）①利用条件建立关于的方程，求解即得椭圆方程；②将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，分别列出直线BP与直线AQ的方程，设，联立求得，回代入方程，利用韦达定理化简推出，即得结论. 【详解】（1）略 （2）①由题意可得，  解得，故椭圆方程为 . ②略 36．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) ，，离心率； (2) （i）；（ii）面积最大值为，此时点坐标为. 【分析】(1)由椭圆标准方程求得焦点坐标和离心率； (2)先根据直线与圆相切、不过第二象限确定直线方程，联立椭圆利用韦达定理求弦长，再通过辅助角公式求椭圆上点到直线的最大距离，进而得到面积最大值和对应点坐标. 【详解】（1）由椭圆得，故，，因此左焦点，右焦点，离心率. （2）（i）设直线的方程为，斜率不存在时直线与圆不相切，舍去. 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，即. 因直线不过第二象限，时纵截距为，经过第二象限，舍去，故，直线方程为. 联立，消去得。设，由韦达定理得. 弦长. （ii）设为椭圆上任意点，满足，到直线的距离. 令，则（为辅助角），取值范围为. 故最大值为，. 三角形面积，因此. 此时，联立椭圆方程解得，即. 【点睛】 考点十　椭圆的实际应用问题 37．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（   ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由题意求出椭圆方程及几何量，利用椭圆的定义、几何性质及函数单调性逐一判断四个结论. 【详解】对于①，由题意，半圆半径，则椭圆短半轴长，焦距，所以长半轴长， 则椭圆长轴长，故①正确； 对于②，因为三点共线，且在圆上，所以， 则， 设，则， 又在椭圆 上，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 对于③，设直线的方程为， 联立，得， 联立，得， 所以 ， 当时，；当时，， 所以的面积取值范围是，最小值不是，故③错误； 对于④，由，可知为椭圆的下焦点， 由椭圆的定义可知， 又， 所以的周长为，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④，故D正确. 38．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂．水公园的圆锥形翻水桶（如下图），母线长为，开口直径为．水桶转动过程中，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（如下图），椭圆的离心率等于______．    【答案】 【分析】依题意，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】母线长为，即，开口直径为，即， 如图，设是母线的中点，是中线，又也是中线， 设，则是重心，设的中点为，即椭圆的中心， 设，，，作平面平面，，，． 对椭圆如图建系，，故，， 根据平行四边形的性质，知，， 于是，，． 39．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的长轴长为 B．该椭圆的离心率为 C．恰好为椭圆的一个焦点 D．设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据太阳光平行投影的几何关系，求出影子椭圆的长半轴、短半轴；再利用椭圆的关系式计算半焦距；依次检验 A、B、C：判断长轴长度、计算离心率、验证H到椭圆中心距离等于半焦距，判断焦点位置。最后利用椭圆上点纵坐标的最大值，结合三角形面积与内切圆半径公式，推导内切圆半径最大值，完成 D 选项判断，选出全部正确选项即可. 【详解】由已知得：球直径，太阳光线与地面夹角为，影子为椭圆， 为椭圆长轴，球心到地面距离， 由平行投影得：椭圆长半轴 ，短半轴 ， 则焦半距：， 选项A：椭圆长轴长 ，A错误； 选项B：离心率，B正确； 选项C：为椭圆中心，，，， 则，所以， 点在长轴上，到椭圆中心距离等于半焦距，故是椭圆一个焦点，C正确； 选项D：设的内切圆半径为， 所以，化简：， 所以椭圆上点纵坐标最大值 ， 代入得：，D正确. 40．（26-27高二上·全国·课后作业）某火星探测器的运行轨道是以火星（其半径百千米）的中心为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为8百千米，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百千米．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百千米时进行变轨，其中，分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，则此时探测器与火星表面的距离为________百千米．（精确到1百千米） 【答案】 【分析】根据题意求出轨道方程为，设变轨时，探测器位于，则，结合轨道方程求出，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设轨道方程为，且． 因为，，所以，，所以， 所以轨道方程为． 设变轨时，探测器位于，则， 与联立，解得，， 所以． 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百千米． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 椭圆的简单几何性质高频考点精讲 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 考点一　椭圆的焦距与长轴、短轴 考点二　利用椭圆的几何性质求标准方程 考点三　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考点四　利用椭圆的离心率求参数的取值范围 考点五　点、直线与椭圆的位置关系判断 考点六　直线与椭圆相切应用 考点七　直线与椭圆相交弦长问题 考点八　椭圆的中点弦与点差法 考点九　椭圆中的定点定值与最值问题 考点十　椭圆的实际应用问题 考点一　椭圆的焦距与长轴、短轴 1．（26-27高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，若椭圆的长轴为，焦距为，则椭圆的标准方程为__________． 2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 5．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点二　利用椭圆的几何性质求标准方程 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·云南·阶段检测）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为．则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 考点三　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 9．（2026·河南·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江西上饶·期末）椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点四　利用椭圆的离心率求参数的取值范围 13．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 考点五　点、直线与椭圆的位置关系判断 17．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 18．（2026·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 20．（25-26高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 考点六　直线与椭圆相切应用 21．（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 22．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为__________. 23．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程： (2)动直线：与椭圆相切，点，是直线上的两点，且，，求四边形的面积. 考点七　直线与椭圆相交弦长问题 25．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 26．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 27．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）直线被椭圆所截得的弦长为，则实数t＝______． 28．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 考点八　椭圆的中点弦与点差法 29．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 30．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 31．（2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______. 32．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 考点九　椭圆中的定点定值与最值问题 33．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 34．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过右焦点作直线交椭圆于，两点，若直线、的斜率分别为、（，），则（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）已知椭圆 （>）的离心率为 A，B分别为椭圆C的上、下顶点，O为坐标原点，直线与椭圆C交于不同的两点P，Q. (1)设点M 为线段PQ的中点，证明：直线OM 与直线PQ的斜率之积为定值； (2)若时， ①求椭圆C的方程； ②证明：直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 36．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 考点十　椭圆的实际应用问题 37．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（   ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 38．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂．水公园的圆锥形翻水桶（如下图），母线长为，开口直径为．水桶转动过程中，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（如下图），椭圆的离心率等于______．    39．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的长轴长为 B．该椭圆的离心率为 C．恰好为椭圆的一个焦点 D．设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 40．（26-27高二上·全国·课后作业）某火星探测器的运行轨道是以火星（其半径百千米）的中心为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为8百千米，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百千米．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百千米时进行变轨，其中，分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，则此时探测器与火星表面的距离为________百千米．（精确到1百千米） 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $