精品解析：湖北省十堰市茅箭区教联体2026-2027学年九年级上学期第一次学情调研数学试卷

2026~2027学年茅箭中学教联体九年级第一次学情调研 数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时（ ） A. 加10 B. 减10 C. 加25 D. 减25 4. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为（） A. B. C. D. 5. 用求根公式解方程时，，的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴 C. 顶点 D. 当，随增大而增大 7. 已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则；⑤若与直线的两交点横坐标分别为，，且，则，．其中正确的有（ ）个． A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向上且经过的抛物线的解析式___________． 12. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 13. 若，为二次函数的图象上的两点，则，的大小关系是________． 14. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 15. 约公元前300年，数学家欧几里得在《几何原本》中给出了形如的方程的图解法：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于线段_________的长． 三．解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2）． 17. 已知抛物线的顶点为，求b，c的值． 18. 为响应国家号召，幸福村准备打造一个集休闲娱乐为一体的农业生态园．如图，为了方便游客采摘蔬菜，李大爷准备在长，宽的矩形蔬菜园内修建一横两纵共三条等宽的小路（小路分别与矩形蔬菜园的长和宽平行），若种植蔬菜的总面积为，求小路的宽． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 20. 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到年，家庭年人均纯收入达到了元． （1）求该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么年该贫困户是否能脱贫？ 21. 如图，在中，，，，点从点向点匀速运动，点从点向点匀速运动，连接，已知点，均以的速度同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，的面积为． （1）写出与之间的函数关系式； （2）当为何值时，的面积取得最大值？最大值为多少？ 22. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，直接写出二次函数中的取值范围； （3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究开封汴绣的销售利润问题 素材 汴绣流行于河南开封一带，因产生于北宋都城汴京开封而得名，历史悠久，素有“国宝”之称． 素材 一种汴绣制品的成本价为元/件．经销商销售汴绣时发现：日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务 （1）求与之间的函数关系式； 任务 （2）若该经销商要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 任务 （3）设该经销商的日销售利润为元，市场规定，该汴绣制品每日获利不得高于成本价的，则销售单价为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）若点是抛物线上的一点，使得，请求出点的坐标． （3）点在抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年茅箭中学教联体九年级第一次学情调研 数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从方程类型、未知数个数、未知数最高次数三个角度逐一判断各选项． 【详解】解：A、方程含2个未知数，不符合； B、方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合； C、方程分母含未知数，不是整式方程，不符合； D、方程中未知数最高次数为3，不符合． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数是顶点式即可得出结论． 【详解】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为． 3. 用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时（ ） A. 加10 B. 减10 C. 加25 D. 减25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法．方程两边都加上一次项系数一半的平方，本题中将一次项看成，这样就可以知道配方项为从而为求解本题． 【详解】解： ，即 故用配方法解方程时，方程两边应同时加上25， 故选：C 4. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得；再向上平移1个单位，得． 5. 用求根公式解方程时，，的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】将方程化为一般形式即可得到a，b，c的值． 【详解】解：∵， ∴， 则，，． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 6. 二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴 C. 顶点 D. 当，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数中，，对称轴为直线，顶点坐标为． ∵， ∴抛物线开口向下，A错误； 对称轴为直线，B错误； 顶点坐标为，C正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，D错误． 7. 已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式， 一次函数的性质，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 9. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的最大值时自变量的值即可得． 【详解】解：∵汽车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值， ∵，其中， ∴当时，取得最大值，即汽车刹车后停下来． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则；⑤若与直线的两交点横坐标分别为，，且，则，．其中正确的有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断  的符号及相关代数式的值；利用函数的最小值性质判断不等式；利用对称性及函数值范围判断交点位置． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则 ． 对称轴为直线 ，即 ，得 ．  ， ． ∵抛物线与  轴交点在  轴下方，则 ．  ，故①正确； ， ，故②错误；  抛物线与  轴有两个不同的交点，  ，即 ，故③正确；  当  时，函数  取得最小值 ，   对于任意实数 ，都有 ， 即 ，故④正确；   抛物线的对称轴为直线 ，且经过点 ，   抛物线与  轴的另一个交点为 ．   直线  在  轴上方，且抛物线开口向上，   直线与抛物线的两个交点分别在点  的左侧和点  的右侧，  ，，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①③④⑤，共 4 个． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向上且经过的抛物线的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，开口向上，则；反之，．图象经过点，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 故符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 13. 若，为二次函数的图象上的两点，则，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据对称轴左侧的增减性结合两点横坐标比较纵坐标大小． 【详解】解：对二次函数配方得，二次项系数为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而减小， ∵，点，都在对称轴左侧 ∴． 14. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴． 15. 约公元前300年，数学家欧几里得在《几何原本》中给出了形如的方程的图解法：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于线段_________的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先利用配方法求出方程的解，再根据勾股定理求出，由，可得的长，从而得出答案． 【详解】解：移项，得． 用求根公式求得． 在中，， 由勾股定理可得， ， 的长就是该方程的一个正实数根． 故答案为：． 三．解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 17. 已知抛物线的顶点为，求b，c的值． 【答案】， 【解析】 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，再结合顶点为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴． 18. 为响应国家号召，幸福村准备打造一个集休闲娱乐为一体的农业生态园．如图，为了方便游客采摘蔬菜，李大爷准备在长，宽的矩形蔬菜园内修建一横两纵共三条等宽的小路（小路分别与矩形蔬菜园的长和宽平行），若种植蔬菜的总面积为，求小路的宽． 【答案】小路的宽为 【解析】 【分析】如图所示，种植蔬菜的面积等于去掉小路后剩余矩形区域的面积，设小路的宽为，故剩余种植区域的长为，宽为，由此列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， 因式分解，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 小路的宽为． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 20. 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到年，家庭年人均纯收入达到了元． （1）求该贫困户年到年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么年该贫困户是否能脱贫？ 【答案】（1）该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为. （2）2026年该贫困户能脱贫. 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据两年的人均纯收入关系列一元二次方程求解； （2）计算2026年的人均纯收入，与4800元比较判断． 【小问1详解】 解：设该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x， 根据题意，得 ， ， 解得，， ∵ 年平均增长率大于0， ∴不符合题意，舍去 所以，该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：2026年家庭年人均纯收入为（元）， ∵， ∴2026年该贫困户能脱贫． 21. 如图，在中，，，，点从点向点匀速运动，点从点向点匀速运动，连接，已知点，均以的速度同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，的面积为． （1）写出与之间的函数关系式； （2）当为何值时，的面积取得最大值？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）当时，的面积有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式可得出与之间的函数关系式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，即可求出结果． 【小问1详解】 解：，， ，， 点，均以的速度同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动， ， ； 【小问2详解】 解：整理， 可得：， 当时，的面积有最大值，最大值为． 22. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，直接写出二次函数中的取值范围； （3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用轴上的点的纵坐标为，轴上的点的横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点式和待定系数法求出抛物线的表达式； （2）求出对称轴和开口方向，得到增减性，再求出对应的端点值即可得到答案； （3）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点，求出直线与对称轴的交点即可得到点的坐标. 【小问1详解】 解：对于，当时，；当时，， ． 抛物线的顶点为， ． 又抛物线经过点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为， 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 又∵顶点为， ∴当时， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 在中，当时， ∴点P的坐标为． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究开封汴绣的销售利润问题 素材 汴绣流行于河南开封一带，因产生于北宋都城汴京开封而得名，历史悠久，素有“国宝”之称． 素材 一种汴绣制品的成本价为元/件．经销商销售汴绣时发现：日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务 （1）求与之间的函数关系式； 任务 （2）若该经销商要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 任务 （3）设该经销商的日销售利润为元，市场规定，该汴绣制品每日获利不得高于成本价的，则销售单价为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应定为元或元 （3）当销售单价为元，日销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）根据“单件利润乘以销售量等于总利润”列出一元二次方程，解方程，结合实际意义，确定销售单价； （3）根据“单件利润乘以销售量等于总利润”列出，结合自变量的取值范围和二次函数的开口方向和对称轴、增减性，确定当时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【小问1详解】 解：设， 将点、代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴销售单价应定为元或元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得， ∵每日获利不得高于成本价的， ∴， 解得， 又∵成本为元/件， ∴， ∵， ∴开口向下， 在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴当时，日销售利润最大，最大利润是元． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）若点是抛物线上的一点，使得，请求出点的坐标． （3）点在抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 解：点的坐标为， 如下图所示，过点作，并延长使，此时是的垂直平分线， ， ， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 点、， ， ， ， ， 点在直线上， 设点的坐标为， 则有， 整理可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 坐标为的点是点，故不符合题意，舍去． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据三角形的面积公式可知，过点作交抛物线于点，则，用待定系数法求出的解析式，即可求出的解析式，把直线的解析式和二次函数的解析式联立得到方程组，方程组的解即为点的坐标；把沿折叠，可得，则有，过点作，根据直线的解析式即可求出直线的解析式，联立直线的解析式和二次函数的解析式得到方程组，方程组无解，所以此种情况不存在； （3）过点作，并延长使，此时是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知此时，利用三角形的面积公式求出的长度，又因为点在直线上，设点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出点的坐标，根据平面直角坐标系中线段中点的公式列方程组求出点的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线的解析式和二次函数的解析式即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 点的坐标为， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 把点、的坐标代入抛物线中， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作交抛物线于点，则， 则直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 解得：， 方程组的解为，， 点的坐标为或； 如下图所示，把沿折叠，可得，则有， 点、， ， 点的坐标是， 过点作， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， ， 方程组无解， 此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $