精品解析：湖北武汉市华中科技大学附属中学2026-2027学年上学期九年级10月月考数学试卷

10月数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数．选项A是含有分式的函数，选项B和C是一次函数，只有选项D符合定义． 【详解】解：A、，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是一次函数，故选项B不符合题意； C、，是一次函数，故选项C不符合题意； D、是二次函数，故选项D符合题意． 故选：D． 2. 用求根公式解一元二次方程时，其中a，b，c的值分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将方程化为的形式，再确定系数 ， ， 的值即可得到答案． 【详解】解：把原方程化为一般式得， ∴， ， ， 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：中，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及平移规律，关键是掌握抛物线()的相关性质：的正负决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为；平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，此抛物线中， ∴对称轴是直线，B选项错误； ∵抛物线的顶点坐标为，此抛物线中，， ∴顶点坐标是，C选项正确； 抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线为，与不符，D选项错误； 故选：C． 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 6. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 … A. 1＜x＜1.1 B. 1.1＜x＜1.2 C. 1.2＜x＜1.3 D. 1.3＜x＜1.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y=0时相应的自变量的取值范围即可． 【详解】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49. 当x＝1.2时，y＝0.04 于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2 故选B 【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误，不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项错误，不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项正确，符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 8. 已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据赵爽的几何解法，确定大正方形的边长与的关系，结合面积求解即可． 【详解】解：由方程得． 根据题意，构造面积为的正方形，四周构造四个面积为的矩形．矩形的长为，则宽为．补图得到大正方形，其边长为． ∵大正方形的面积为， ∴． ∵为正数， ∴， ∴． 10. 如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或， 则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与只有一个交点时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．由题意得，代入到方程求出k的值即可． 【详解】解：代入到方程得，， 解得：． 故答案为：． 12. 某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键． 根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】一元二次方程要求二次项系数 ，两个不相等的实数根等价于 ，联立求交集，即可求解． 【详解】解：∵ 方程 是关于 的一元二次方程， ∴ ． 又∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ，化简得 ， ∴ ． ∴ 的取值范围是 且 ． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将看作整体，用换元法解一元二次方程，再根据方程是否存在实数根舍去不合题意的解，得到结果． 【详解】解：设，原方程可化为， ， 因式分解得， 解得，， 当时，方程为， 整理得， ∵， ∴该方程无实数根，舍去， 当时，方程， 整理得， ∵，该方程有实数根 ∴． 15. 如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为_______米． 【答案】48 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：48． 16. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数；⑤若点、在抛物线上，且，，则．其中结论正确的序号为_____． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④，根据点、在对称轴的两侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，可判断⑤． 【详解】解：根据题意得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴交x轴于正半轴， ∴，对称轴为直线， ∴， ∴，，故①错误；②正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴当时，，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值，最大值为， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴点、在对称轴的两侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故⑤正确． 故答案为：②④⑤ 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程运用配方法解答即可； （2）方程整理后运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 解得：，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 19. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为______； （2）当时，则的取值范围为_______；若方程有实数根，则的取值范围是______； （3）当时，求变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据图象知，方程的两个根为； 【小问2详解】 解：根据图象知，当时，则的取值范围为； ∵， ∴顶点坐标为， 若方程有实数根， ∴的图象与直线有交点， ∴； 【小问3详解】 解：抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 当时，，当时，，当时，， 当时，该二次函数的函数值的取值范围是． 20. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则________； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值； 【答案】（1）2 （2）0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、“倍根方程”的定义，熟练掌握根与系数的关系，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）设方程的两个根为，，根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （2）求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解． 【小问1详解】 解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根和系数的关系得，，， 即，， 则方程的两个根为和， 因此， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解方程，得，， 由于方程是“倍根方程”， 若，即， 解得，即， 若，即， 解得，即， 当时，； 当时，； 综上所述，代数式的值为． 21. 如图，抛物线与直线交于点和点． （1）求出和的值； （2）直接写出点的坐标________，并结合图象写出不等式的解集________； （3）连接，点为抛物线上一动点，满足，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）；或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）因为点同时在抛物线和直线上，所以将点坐标分别代入两个函数表达式，即可求解和的值． （2）得到抛物线和直线的解析式后，联立两个解析式组成方程组，求解方程组即可得到点的坐标；如果要解不等式，那么只需观察图象中抛物线在直线上方部分对应的的取值范围，即可得到解集． （3）因为，若点在直线下方，点P与点O重合，可得点的坐标；若点在直线上方 ，设直线交y轴于D，作点O关于直线的对称点C，作射线交抛物线于点P，连接，此时满足，根据轴对称的性质和等腰直角三角形的判定和性质可得，求得点的坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线解析式，解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵点同时在抛物线和直线上， ∴将分别代入两个函数解析式： 代入抛物线，得， 解得； 代入直线，得， 解得． 【小问2详解】 解：联立抛物线和直线的解析式，得， 整理得， 解得（对应点），， 将代入直线解析式，得， ∴点坐标为． 不等式的几何意义是抛物线图象在直线上方时对应的的范围， 结合两个交点横坐标和，以及抛物线开口向上的特征， 可得解集为或． 【小问3详解】 解：分两种符合角相等的情况讨论： 第一种：点在直线下方， ∵， ∴点P与点O重合， ∴； 第二种：点在直线上方 ． 设直线交y轴于D，作点O关于直线的对称点C，作射线交抛物线于点P，连接， 则，且此时满足， 对， 令，则，解得； 令，则． ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴， 联立， 得， 解得或（舍去）， ∴， ∴. 综上，符合条件的点为和． 22. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当售价为______元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为______． 【答案】（1）该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为． （2）①每件应降价元． ②；元． 【解析】 【分析】（1）根据月平均增长率表示出4月销量，列一元二次方程求解． （2）①根据线下日利润的等量关系列方程，结合尽快减少库存的条件选取合适的解． ②分别表示线上与线下的日利润，得到总利润关于售价的二次函数，结合二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为． ∵2月份销量为10万件， ∴4月份销量为万件． ∵4月份销量为万件， ∴． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为． 【小问2详解】 ①设每件应降价元．∵每件进价15元，原售价35元， ∴降价后每件利润为元 ∵售价每降低1元，日销量增加10件， ∴降价后日销量为件． ∵线下日销售利润达到1800元， ∴． 整理得． 解得，． ∵要尽快减少库存， ∴需日销量更大，即降价幅度更大， ．答：每件应降价元． ②设每件售价为元，线上和线下的日利润总和为元．线下每件利润为元， 日销量为件，线下日利润为元．线上每件利润为元，日销量为100件，线上日利润为元． ∴（）． ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值．最大值为． 答：当售价为元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为元． 23. 如图，中，的边分别交直线于点D、E（D在E的左边），； （1）如图1，若，当点D与点B重合时，的面积为 ． （2）若和长度分别是方程的两根，请在图2中画出图形并求面积． （3）如图3，若，D、E分别在点C的两侧，，求出的长． 【答案】（1） （2）15或 （3） 【解析】 【分析】对于（1），先根据等腰三角形的性质得，再画出图形求出，然后根据勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（2），先根据一元二次方程根与系数的关系可得，作，根据等腰三角形的性质得，进而求出，然后根据面积公式可得答案；当点D，E在点C两侧时，过点A作，使，连接，过点A作，先证明，可得，进而得，再说明，可得，接下来设则，再根据勾股定理得，求出方程的解，最后根据得出答案； 对于（3），作且使，连接，再根据“角边角”证明，即可证明，可得，然后说明是等边三角形，可得，接下来作，并求出，即可根据直角三角形的性质求出,再根据勾股定理求出，接着求出，最后根据得出答案. 【小问1详解】 解：∵， ∴. 当点D与点B重合时，如图， 则， ∴平分， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当点D，E在线段上时， ∵和是长度分别为方程的两个根， ∴. 过点A作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D，E在点C两侧时，过点A作，使，连接，过点A作， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设则， 根据勾股定理，得， 即， 解得（舍）， ∴， ∴. 当点D，E在点B两侧时，答案相同. 综上所述：的面积是或15； 【小问3详解】 解：如图，作且使，连接， ∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 过点E作于点H， 则， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，作出辅助线构造全等三角形是解题关键. 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式； （2）设出M点的坐标，利用 即可进行解答； （3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合． 【小问1详解】 解：设此抛物线的函数解析式为：， 将，，三点代入函数解析式得： ， 解得， 所以此函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上， ∴点的坐标为：， ∴ ∵， 当时，有最大值为：． 答：时，有最大值． 【小问3详解】 解：设． 当为边时，根据平行四边形的性质知，且， ∴的横坐标等于的横坐标． 又∵直线的解析式为，则． 由，得， 解得，，．（不合题意，舍去） 如图，当为对角线时，知与应该重合，． 四边形为平行四边形则，横坐标为4， 代入得出为． 由此可得或或或． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，理解相关知识是解答关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用求根公式解一元二次方程时，其中a，b，c的值分别是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 … A. 1＜x＜1.1 B. 1.1＜x＜1.2 C. 1.2＜x＜1.3 D. 1.3＜x＜1.4 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为________． 12. 某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 14. 已知，则________． 15. 如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为_______米． 16. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数；⑤若点、在抛物线上，且，，则．其中结论正确的序号为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为______； （2）当时，则的取值范围为_______；若方程有实数根，则的取值范围是______； （3）当时，求变量的取值范围． 20. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则________； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值； 21. 如图，抛物线与直线交于点和点． （1）求出和的值； （2）直接写出点的坐标________，并结合图象写出不等式的解集________； （3）连接，点为抛物线上一动点，满足，求出点的坐标． 22. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当售价为______元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为______． 23. 如图，中，的边分别交直线于点D、E（D在E的左边），； （1）如图1，若，当点D与点B重合时，的面积为 ． （2）若和长度分别是方程的两根，请在图2中画出图形并求面积． （3）如图3，若，D、E分别在点C的两侧，，求出的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $