精品解析：湖北省十堰市茅箭区北京路中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年九年级第一次月考数学试题（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，10题，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 9 D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 8. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ） A. 3步 B. 6步 C. 9步 D. 12步 10. 如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，6题，共18分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 12. 计算的结果是__________． 13. 二次函数y＝（m+1）x2的图象开口向下，则m_____． 14. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 15. 我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________． 三、解答题（9题） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线分别交于点，交于点． （1）填空：直线是的___________； （2）求证：． 19. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x1，x2是方程的两根，且x12+x22=12，求m的值． 20. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 21. 为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 22. 在一个三角点阵中，从上向下数，第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……我们知道前行的点数和公式为 （1）已知某三角点阵前行的点数和是210，求的值． （2）若将三角点阵中各行的点数依次换为，探究前行的点数和规律：并判断这个三角点阵前行的点数和能否是495，若能，求出；若不能，请说明理由． 23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 24. 平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； （3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级第一次月考数学试题（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，10题，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是理解一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，对选项逐个判断即可，一元二次方程为只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程． 【详解】解：A．是一元二次方程，符合题意； B．不是一元二次方程，不符合题意； C．当时，方程化为，未知数x次数不为2，不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有分式，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A 2. 关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把x=3代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是3 m=9 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个相等的实数根， 故选A． 4. 下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为. 【详解】解：A. ，结果为，非， B. ，结果为，非， C. ，结果为，符合题意， D. ，结果为，非； 故选：C 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为，即可求解． 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为， ∴， 故选：D． 6. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：A． 7. 、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．分别求出三个点到对称轴的距离，以及开口方向，即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为y轴， ∴点到对称轴的距离为4， 点到对称轴的距离为1， 点到对称轴的距离为2， ∵， ∴该函数开口向下， ∵， ∴， 故选：C． 8. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A、D不正确； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0， 但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B． 故选C． 9. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ） A. 3步 B. 6步 C. 9步 D. 12步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意，此时； 当时，，不符合题意，舍去． ∴长比宽多6步． 故选B． 10. 如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，二次函数图象的识别，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，过点A作于T，连接，可证明是等边三角形，得到，，再证明是等边三角形，得到，证明，得到，则可证明是等边三角形，进而可求出，当时，，则，当时，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于T，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故选：C． 二、填空题（每题3分，6题，共18分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴． 【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ， ∵以y轴为对称轴， ∴对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式应满足，如 （其中）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算的结果是__________． 【答案】1 【解析】 【详解】分析：利用同分母分式的减法法则计算，分子整理后分解因式，约分即可得到结果． 详解：原式 故答案为1. 点睛：本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 13. 二次函数y＝（m+1）x2的图象开口向下，则m_____． 【答案】＜﹣1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得出m+1＜0，求出即可． 【详解】解：∵二次函数y＝（m+1）x2的图象开口向下， ∴m+1＜0， 解得：m＜﹣1， 故答案是：＜﹣1． 【点睛】考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，能根据二次函数的性质得出不等式是解此题的关键． 14. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将二次函数解析式化为顶点式，再根据抛物线的开口方向、顶点坐标即可得出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，米， 故答案为：37． 15. 我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可． 【详解】解：将关联数为代入函数得到： ， ∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数）， ∴y=0，即， 因式分解得， 又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点， 即 ∴m=1， ∴， 与x轴交点即y=0解得x=1或x=2， 即坐标为或， 与y轴交点即x=0解得y=2， 即坐标为， ∴这个函数图象上整交点的坐标为或或； 故答案为：或或． 【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多． 三、解答题（9题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．先将给定的方程化为一般形式，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， ，，， ， ， ，． 18. 如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线分别交于点，交于点． （1）填空：直线是的___________； （2）求证：． 【答案】（1）垂直平分线 （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可得直线是的垂直平分线； （2）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，再由（1）可得，据此证明，得到，则可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x1，x2是方程的两根，且x12+x22=12，求m的值． 【答案】（1）m≤0；（2）m的值是-2． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得到不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，代入计算即可得到m的值. 【详解】（1）依题意得(2m)2-4(m2+m)≥0， ∴m≤0； （2）依题意得x1+x2=-2m，x1x2=m2+m， ∵x12+x22=12， ∴(x1+x2)2-2x1x2=12， ∴(-2m)2-2(m2+m)=12， ∴m2-m-6=0， ∴m1=-2，m2=3(不合题意，舍去)， ∴m的值是-2. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，根与系数的两个关系式： ， ，正确计算解决问题. 20. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 【答案】每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．设每个粽子的定价为元时，由于每天的利润为800元，根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元． 根据题意，得， 解得，， 售价不能超过进价的2倍， ．即， ， 答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 21. 为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 【答案】水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m． 【解析】 【分析】如图，建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式；求得时的值可得答案． 【详解】如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系， 由题意知，抛物线的顶点P的坐标为(1,3.6)、点A(0,2)， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6， 将点A(0,2)代入，得：a+3.6＝2， 解得：a＝﹣1.6， 则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6， 当y＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0， 解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5， ∴BC＝2.5， 答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解． 22. 在一个三角点阵中，从上向下数，第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……我们知道前行的点数和公式为 （1）已知某三角点阵前行的点数和是210，求的值． （2）若将三角点阵中各行的点数依次换为，探究前行的点数和规律：并判断这个三角点阵前行的点数和能否是495，若能，求出；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：由题意得：， 假设这个三角点阵前行的点数和是，则可列出方程， 解得， 不是整数，所以不是整数，而为行数，是正整数， 这个三角点阵前行的点数和不能是． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，准确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）根据规律即可得，解得的值即可； （2）根据，解得，可知不是整数，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得，（舍去）， 的值为； 【小问2详解】 略 23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD （2）结论成立，AE＝BD，AE⊥BD． 理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．     ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠OHB＝90°， 即AE⊥BD． （3）满足条件的AD的值为17或7 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （2）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （3）作CH⊥AD于H，利用等腰直角三角形的性质求出CH＝DE＝5，利用勾股定理求出AH＝12，然后分射线AD在直线AC的下方和上方两种情况求解． 【小问1详解】 如图1中，延长AE交BD于H． ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH， ∴∠BEH+∠EBH＝90°， ∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD， 故答案为AE＝BD，AE⊥BD． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H． ∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE， ∴EH＝DH，CH＝DE＝5， 在Rt△ACH中， ∵AC＝13，CH＝5， ∴AH＝＝12， ∴AD＝AH+DH＝12+5＝17． ②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD于H． 同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7， 综上所述，满足条件的AD的值为17或7． 【点睛】本题考查几何变换，解决问题的思路是从特殊到一般，注意解决后面问题参照前面的思路方法是解决问题的关键． 24. 平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； （3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）存在，，，，； （3）存在点M使最小， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标； （2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可； （3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可． 【小问1详解】 解：将代入， 即， 解得， ， 令，， 令，， 解得， ； 【小问2详解】 解：存在点P，使是直角三角形， ，对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ①当时，， ， 解得； ②当，， ， 解得； ③当，， ， 解得或， 综上所述，或或或； 【小问3详解】 解：存在 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， 由对称性可知，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， 联立方程组， 解得． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $