精品解析：山西太原市第四中学2026-2027学年高二上学期10月素质测试数学试题

2026-2027学年10月高二年级素质测试 数学 2026.10 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册（1.1~2.2）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间四边形，是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线在轴上的截距是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 4. 已知，若向量共面，则=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A. 1 B. C. D. 6. 已知直线过原点且与直线垂直，求直线一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知四面体中，分别为的中点，则异面直线所成的夹角为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1或-2 C. 若，，则直线不经过第二象限 D. 点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量，且过点，则直线的点斜式方程为___________. 13. 已知向量的夹角为，，，则________． 14. 如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 已知点，直线. （1）求过点且与直线垂直的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线方程. 17. 已知直线经过点. （1）若在两坐标轴上截距和为零，求的一般式方程； （2）设的斜率，与两坐标轴的交点分别为、，当的面积最小时，求的斜截式方程. 18. 如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点， （1）求证：MN平面PAD； （2）求PD与平面PMC所成角的正弦值. 19. 已知正三棱柱中， ，点为的中点，点在线段上. （Ⅰ）当时，求证 ； （Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年10月高二年级素质测试 数学 2026.10 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册（1.1~2.2）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 已知空间四边形，是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，是的中点，，. 3. 直线在轴上的截距是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用在轴上的截距定义可知，只需令即可求得结果. 【详解】令得，故直线在轴上的截距是-1 故选：A 4. 已知，若向量共面，则=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共面则存在使，结合向量对应坐标列方程组求参数即可. 【详解】向量共面，则存在使， ∴，解得. 故选：B 5. 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即，解得． 考点：两向量垂直坐标满足的条件． 6. 已知直线过原点且与直线垂直，求直线一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直关系求出直线的方程，从而确定其方向向量. 【详解】由题可知，直线过原点与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为=0， 故其中一个方向向量. 故选：D 7. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条一般式直线平行的判定条件，分别验证充分性、求解必要性，注意区分直线平行与重合． 【详解】当时，直线，直线， 此时，所以直线，当时，， 得，解得，所以“”是“直线与直线平行”的充要条件. 8. 已知四面体中，分别为的中点，则异面直线所成的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点,,所以或其补角是异面直线所成的夹角，然后计算出、、后在三角形中，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】如图所示：连，取的中点，连、，则， 所以或其补角是异面直线所成的夹角， 因为，为的中点， 所以，又，所以， 同理， 所以，， 在三角形中，， 所以， 所以异面直线所成的夹角为. 故选：C 【点睛】本题考查了求异面直线所成的夹角，考查了余弦定理，解题关键是通过作平行线，转化为两条相交直线所成的锐角或直角，属于基础题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别讨论直线过原点和不过原点的情况，即可得到答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，故直线方程为； 当直线不过原点时，设方程为， 代入点可得，解得， 故方程为．故所求直线方程为或． 故选：AC 10. 如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为3，则 与不垂直，故A错误； ，故B正确； ，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1或-2 C. 若，，则直线不经过第二象限 D. 点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据定点的性质即可求解A，根据两直线平行满足的系数等量关系，即可求解B，将直线方程化成斜截式，即可求解C,根据斜率公式即可求解D. 【详解】对于A，，故直线恒过定点，故A正确； 对于B，两直线与平行，则（，解得或-2，当时，两直线与满足要求，当时，两直线与满足要求，综上，或-2，故B正确； 对于C，若，，则直线变形为，直线斜率，与轴截距为，则直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确； 对于D，直线，直线经过定点，画出坐标系如图所示，其中，，则要想直线与线段相交，则直线斜率或，解得或，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量，且过点，则直线的点斜式方程为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，再写出点斜式方程即可. 【详解】因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为 所以直线方程为， 故答案为：. 13. 已知向量的夹角为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可. 【详解】因为向量的夹角为，，， 则， 可得， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出、的坐标，利用条结合垂直关系的向量表示列方程得到两个参数之间的关系式，写出长度的平方关于参数的表达式，结合参数的取值范围，利用二次函数的性质求取值范围. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因为和分别为和的中点，所以， 因为和分别为线段和上的动点（不包括端点）， 设，， 则， 因为，所以，即，即， 则，可得， 当时，，当时，， 所以线段长度的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 16. 已知点，直线. （1）求过点且与直线垂直的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设与直线垂直的直线方程为，代入点的坐标，求出，即可得到过点且与直线垂直的直线方程； （2）设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，求出，即可得到过点且与直线平行的直线方程. 【小问1详解】 设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线垂直的直线方程为. 【小问2详解】 设与直线平行的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线平行的直线方程为：. 17. 已知直线经过点. （1）若在两坐标轴上截距和为零，求的一般式方程； （2）设的斜率，与两坐标轴的交点分别为、，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据点斜式写出直线方程， 进而根据截距之和为0即可列方程求解斜率得解， （2）由面积公式，结合基本不等式即可求解最值得解. 【小问1详解】 由题意可知;的斜率存在且不为0，设斜率为，则的点斜式方程为 ，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得或， 所以的方程为或，即或. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的斜截式方程为. 18. 如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点， （1）求证：MN平面PAD； （2）求PD与平面PMC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，N分别为PC的中点，则，， 又因为为矩形，则，M分别为AB的中点，则， 故，所以四边形AMNQ为平行四边形， 所以，因为平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）取PD中点Q，连接AQ，QN，说明四边形AMNQ为平行四边形，然后证明MN平面PAD； （2）建立空间直角坐标系，求出平面PMC法向量，设PD与平面PMC所成角为θ，然后利用空间角的向量求法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系如图， 因为， 所以， ，． 设平面PMC法向量为：， 则，令，则． 设PD与平面PMC所成角为，， 则. 即PD与平面PMC所成角的正弦值为. 19. 已知正三棱柱中， ，点为的中点，点在线段上. （Ⅰ）当时，求证 ； （Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在点,当时，二面角等于. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）证明：连接，由为正三棱柱为正三角形， 又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.由丄平面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为 ，平面的一个法向量为． 试题解析：（Ⅰ）证明：连接， 因为为正三棱柱，所以为正三角形， 又因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 所以在中，， 在中，，所以，即. 又， 所以丄平面，面，所以. （Ⅱ）假设存在点满足条件，设. 取的中点，连接，则丄平面， 所以， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 同理，平面的一个法向量为， 则，取， ∴. ∴，解得， 故存在点,当时，二面角等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $