精品解析：黑龙江省海林市朝鲜族中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期 高二数学第二次月考（选择性必修一、二） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 班级：______姓名：______ 一、单项选择题（每小题5分共40分） 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. -1 2. 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是(　　) A. x＋y＋3＝0 B. 3x－y－9＝0 C. x＋3y＝0 D. 4x－3y＋7＝0 3. 若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ） A. m＞5 B. m＜－4 C. m＜－4或m＞5 D. －4＜m＜5 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 在数列中，，点在直线上，则a3=（ ） A 5 B. 7 C. 9 D. 11 6. 已知数列满足，，则数列的前12项和为（ ） A. 108 B. 28 C. 62 D. 80 7. 两条直线，的交点P在圆的内部，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 8. 设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为( ) A. B. C. D. 1 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点的横坐标为 B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前三项依次为，，，则x的值为______． 13. 已知数列满足：，则通项________． 14. 设双曲线的半焦距为c，直线经过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_____. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 在等差数列中，，．求： （1）的值； （2）数列中正数项的个数． 16. 已知圆：，直线：. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）设直线过定点，为圆上任一点，求中点轨迹方程. 17. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知点双曲线上. （1）求双曲线渐近线方程; （2）设直线与双曲线交于不同两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 高二数学第二次月考（选择性必修一、二） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 班级：______姓名：______ 一、单项选择题（每小题5分共40分） 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】因，则，据此可得答案. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是(　　) A. x＋y＋3＝0 B. 3x－y－9＝0 C. x＋3y＝0 D. 4x－3y＋7＝0 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆的方程相减求解. 【详解】解：因为圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0， 两圆方程相减得x＋3y＝0， 因为两圆交于A，B两点， 所以直线AB的方程是x＋3y＝0， 故选：C 3. 若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ） A. m＞5 B. m＜－4 C. m＜－4或m＞5 D. －4＜m＜5 【答案】D 【解析】 【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围. 【详解】由题设，，可得. 故选：D 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 分析】根据等差数列前项和性质即可得到答案. 【详解】，解得. 故选：D. 5. 在数列中，，点在直线上，则a3=（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】证明数列是等差数列，利用等差数列通项公式求解. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 所以数列是公差为的等差数列，又，所以， 故选：A. 6. 已知数列满足，，则数列的前12项和为（ ） A. 108 B. 28 C. 62 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可. 【详解】设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以. 故选：D. 7. 两条直线，的交点P在圆的内部，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出交点的坐标，再根据点在圆的内部表示出点到圆心的距离小于半径，据此求解出的取值范围. 【详解】由解得.∵点P在圆的内部.∴，解得. 【点睛】本题考查直线的交点坐标求解以及根据点与圆的位置关系求解参数范围，难度一般.点与圆的位置关系注意转化为点到圆心的距离问题. 8. 设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为( ) A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等面积法表示出内切圆半径r的表达式，在利用韦达定理求的最大值即可. 【详解】由题知a＝2，c＝1，设，，设△内切圆半径为r， 则， ∴，即，∴. 设的方程为：，代入椭圆方程可得：(， ∵，∴， ∴， 设则， 时，该表达式对应的函数是减函数，∴时，取得最大值3，∴最大值为. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项取值验算可得正确答案. 【详解】当时，，故C不正确； 当时，，排除B； 当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确， 故选：AD. 10. 在三棱锥中，，则（ ） A B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 11. 已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点的横坐标为 B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确. 【详解】由双曲线方程知：，抛物线， 对于A，设，则，解得：，A正确； 对于B，抛物线准线方程为：，由得：， 准线被双曲线截得的线段长度为，B错误； 对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为， 又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径， 该圆的面积，C正确； 对于D，设和在准线上的投影分别为， 由抛物线定义知：， 则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合）， 又，， 周长的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前三项依次为，，，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项知识即可求解. 【详解】等差数列的前三项依次为，，， ，则. 故答案为：. 13. 已知数列满足：，则通项________． 【答案】 【解析】 【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 设双曲线的半焦距为c，直线经过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】利用给定条件得到关于的方程，结合因式分解法得到它们的关系，再结合条件并利用双曲线中基本量的性质求解即可. 【详解】因为直线经过，两点， 所以设直线方程为，化简得， 设原点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因为原点到直线的距离为，所以， 故，即， 得到，解得或， 因为，所以符合题意，此时， 故 故答案为：2 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 在等差数列中，，．求： （1）的值； （2）数列中正数项的个数． 【答案】（1）9 （2）12 【解析】 【分析】（1），可得答案； （2）先求出的通项公式，然后解出不等式，然后可得答案. 【小问1详解】 因为，，所以 【小问2详解】 由可得，所以数列中正数项的个数为12 16 已知圆：，直线：. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）设直线过定点，为圆上任一点，求中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相切，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【小问1详解】 由：可得：， 所以圆心，半径为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为：， 解得：， 所以当时，直线与圆相切. 【小问2详解】 由直线可得点坐标为 设点，圆上一点为， 因为为中点，故满足，变形得. 代入圆的方程得：， 化简得； 所以点的轨迹方程为. 17. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先得到，再把两侧同时取倒数并利用等差数列的定义证明即可. （2）先结合题意得到，再结合裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为2,公差为2的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 得到 . 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 已知点在双曲线上. （1）求双曲线的渐近线方程; （2）设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的性质求解， （2）由两点坐标表示，联立直线与双曲线方程，由韦达定理化简，再由列方程求解 【小问1详解】 将点代入方程，解得， 所以双曲线C的方程为，渐近线方程为； 【小问2详解】 联立，整理得，由题意， 得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得， 直线的方程为，令，得，即，同理可得， ， ， 所以的面积，即， 解得或，又且，所以k的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $