综合实践 二进制的秘密 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《综合实践 二进制的秘密》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册　（综合与实践活动·教材P42~P43） 一、知识梳理 本课是综合与实践活动“二进制的秘密”（教材P42~P43），核心内容是认识二进制记数法、理解“满二进一”、掌握二进制数与十进制数的互化。先把“什么是二进制、怎样计数、怎样读写、怎样计数单位、怎样互化”这几件事弄明白，再体会不同进制记数的共同本质。主要知识如下表。 要点 具体内容 二进制记数法的意义 日常生活中常用“十进制记数法”记数；计算机传输信息时，需要把各种输入信息转化为二进制数进行处理。二进制记数法就是只用0和1两个数字、按照“满二进一”的规则来记数的方法。 二进制数的数字 二进制数都是由0、1这两个数字组成的；十进制数的0和1在二进制数中也是0和1。 进位规则 二进制数按照“满二进一”的规则计数：同一个数位上满2就要向前一位进1。十进制数中的2，在二进制数中表示为“10”。 读法与写法 为了与十进制数加以区别，二进制数中的“10”读作“一零”，写作（10）（2）。括号右下角的小2表示这个数是二进制数；读的时候一位一位地读，不能读成“十”。 二进制数的计数单位 二进制数的计数单位分别是（1）（2）、（10）（2）、（100）（2）、（1000）（2）……它们在十进制数中分别是1，2，4，8……，从左往右每个计数单位都是前一个的2倍。 二进制数改写成十进制数 一个二进制数可以写成不同计数单位的和，进而改写成十进制数。如（10101）（2）＝（10000）（2）×1＋（1000）（2）×0＋（100）（2）×1＋（10）（2）×0＋（1）（2）×1＝16×1＋8×0＋4×1＋2×0＋1×1＝21。 0~9的二进制数对照 十进制数0~9对应的二进制数依次是：0、1、10、11、100、101、110、111、1000、1001。 同类延伸（五进制、八进制） 五进制数满五进一，计数单位在十进制数中是1，5，25，125……；八进制数满八进一，计数单位在十进制数中是1，8，64，512……。不同的记数法都要表示出计数单位和计数单位的个数，同一个数可以用不同的进制表示。 二、算理剖析 “满二进一”到底是什么意思？为什么十进制数2写成二进制是“10”？把下面几个“为什么”弄明白，互化和改写就不会靠死记。 ① 为什么二进制数只有0和1两个数字？因为它的进位规则是“满二进一”。在同一个数位上，数字每满2就要向前一位进1，所以这个数位上可能出现的数字只到1；一出现2，就立刻“进一”变成前面数位上多1颗，本位归0。这就好比十进制“满十进一”，每一位上的数字只到9一样。 ② 为什么十进制数2在二进制中写作“10”？在计数器上数位一依次拨1颗表示1；再添1颗，数位一就有2颗，满二了，于是把数位一的2颗退掉，在数位二拨上1颗——“满二进一”。这时数位一上是0、数位二是1，写出来就是“10”，读作“一零”。所以“10”不是十，而是“1个2加0个1”。 ③ 二进制数的计数单位为什么是1，2，4，8……？计数单位就是各个数位上的1所表示的大小。数位一上的1表示1；数位二上的1表示2（因为数位一是数位二的单位，两个数位一的1才进成数位二上的1）；数位三上的1表示4；数位四上的1表示8……每向左一位，计数单位就扩大到原来的2倍。所以二进制计数单位（1）（2）、（10）（2）、（100）（2）、（1000）（2）……对应十进制数1，2，4，8…… ④ 二进制数为什么要“按位值展开”才能改写成十进制数？十进制记数法是位值制：一个数 = 每个数字 × 它所在数位的计数单位，再全部相加。二进制也是位值制，道理完全一样，只是计数单位换成了1，2，4，8……。所以把二进制数改写时，先看每一位上的数字（0或1），再乘这一位的计数单位（1、2、4、8……），最后相加。 ⑤ 为什么数位上是0的也要写上去乘0？因为位值制里每一位都占用着一个数位，即使这位是0，它“占位”的事实也不能丢。写上“×0”可以让展开式与数位一一对应，避免对错数位、算错计数单位。如（10101）（2）中间的0就必须写成（1000）（2）×0和（10）（2）×0。 ⑥ 为什么同一个数可以用不同的进制表示？数是什么，和用什么进制记是两回事。十进制的2，可用二进制记作（10）（2）；十进制的21，可用二进制记作（10101）（2）。不同的记数法都要表示出“计数单位”和“计数单位的个数”，只是计数单位和进位规则不同罢了。 注意：二进制数右下角要标小2，如（10）（2），以区别于十进制数10；读二进制数要一位一位地读，读作“一零”，绝不能读作“十”。 三、方法归纳 （一）二进制数改写成十进制数的步骤 ① 标数位：从右往左依次标出数位一、数位二、数位三、数位四…… ② 写计数单位：对应写出每个数位的计数单位（1）（2）、（10）（2）、（100）（2）、（1000）（2）……并换成十进制数1、2、4、8…… ③ 逐位相乘：用每一位上的数字（0或1）乘这一位的计数单位，数位上是0的也要写出“×0”。 ④ 相加求值：把所有乘积相加，就得到对应的十进制数。如（10101）（2）＝16×1＋8×0＋4×1＋2×0＋1×1＝21。 （二）利用对照表完成十进制数与二进制数的互化 ① 记牢0~9对照：十进制0~9的二进制数依次是0、1、10、11、100、101、110、111、1000、1001，读熟、记熟，能快速比一比。 ② 由十进制数写二进制数：把数拆成计数单位1、2、4、8……的和，哪一位用到了就在哪一位写1，用不到写0。如12＝8＋4，即数位四、数位三各写1，写作（1100）（2）。 ③ 由二进制数读十进制数：对照数位，把每一位上的1换成它对应的计数单位1、2、4、8……再相加，如（110）（2）＝4＋2＝6。 （三）研究其他进制记数法的通用思路 ① 先定进位规则：看是“满几进一”，二进制满二进一，五进制满五进一，八进制满八进一。该进制的数字就是0到（几减1）。 ② 再写计数单位：从数位一起，依次写出各数位的计数单位，每向左一位，计数单位就乘“几”。如五进制计数单位在十进制数中是1，5，25，125……八进制是1，8，64，512…… ③ 最后比一比：不同的记数法都要表示出计数单位和计数单位的个数，这就是各种进位记数法的共同本质。 四、易错警示 ✗ 错误：把二进制数（10）（2）读作“十”，写成十进制数10。 → ✓ 正确：（10）（2）读作“一零”，它表示十进制数2，即1个2加0个1。 ✗ 错误：认为（100）（2）等于十进制数100。 → ✓ 正确：（100）（2）的计数单位是（100）（2），它在十进制数中是4，所以（100）（2）表示十进制数4。绝不能“见形读数”，把二进制数的形状直接当成十进制数。 ✗ 错误：把（1010）（2）按十进制写成“一千零一十”。 → ✓ 正确：二进制数要一位一位地读作“一零一零”，改写时要按位值展开：8×1＋4×0＋2×1＋1×0＝10。 ✗ 错误：改写时漏掉数位上是0的项，把（10101）（2）写成16×1＋4×1＋1×1。 → ✓ 正确：数位上是0的项也要写出“×0”，写成（1000）（2）×0和（10）（2）×0，这样展开式与数位才一一对应，结果21才不错位。 ✗ 错误：把二进制计数单位记成1，2，3，4……或1，10，100，1000……。 → ✓ 正确：二进制计数单位是（1）（2）、（10）（2）、（100）（2）、（1000）（2）……对应十进制数1，2，4，8……，每向左一位都乘2。 ✗ 错误：认为二进制数可以有2、3、4等数字，如把十进制6写成（12）（2）。 → ✓ 正确：二进制数只有0和1两个数字。十进制6的正确表示是（110）（2）。 五、典型例题 例1　比一比：0~9的二进制数（教材P42对照表） 在计数器上按“满二进一”依次拨出十进制数0~9，写出相应的二进制数，并说说你的发现。 解：十进制数0~9对应的二进制数依次是：0、1、10、11、100、101、110、111、1000、1001。发现：①二进制数都是由0、1这两个数字组成的；②十进制数的0和1在二进制数中也是0和1；③十进制数4用二进制数表示时，用了3个数位。 点睛：对照表是本课探究的核心素材，“满二进一”的规则就藏在从0到9的拨珠与比较之中。数位一的数珠满2颗就要向数位二进1。 例2　读写二进制数（教材P42） 二进制数中的“10”读作什么？写作什么？请读出（11）（2）、（100）（2）。 解：二进制数中的“10”读作“一零”，写作（10）（2）。（11）（2）读作“一一”，（100）（2）读作“一零零”。 点睛：括号右下角的小2表示这是二进制数。读的时候一位一位地读，不要按十进制读成“十”“一百”。 例3　把二进制数改写成十进制数（教材P43例） 把（10101）（2）改写成十进制数。 解：（10101）（2）＝（10000）（2）×1＋（1000）（2）×0＋（100）（2）×1＋（10）（2）×0＋（1）（2）×1＝16×1＋8×0＋4×1＋2×0＋1×1＝21。 点睛：关键是先把每个数位上的1用计数单位表示出来，再与数位上的数字相乘、相加；数位上是0的也要写上去乘0。 例4　试一试（教材P43） 把（110101）（2）、（1010110）（2）改写成十进制数。 解：（110101）（2）＝32×1＋16×1＋4×1＋1×1＝32＋16＋4＋1＝53；（1010110）（2）＝64×1＋16×1＋4×1＋2×1＝64＋16＋4＋2＝86。 点睛：两道题数位不同、0所在的位置不同，做题时先标数位、再写计数单位，逐位核对，避免对错数位。 例5　自主思考：五进制与八进制（教材P43） 填一填：五进制数（1000）（5）＝？八进制数（100）（8）＝？（10）（8）＝？（1000）（8）＝？再说说它们是怎样计数的。 解：（1000）（5）＝125，（100）（8）＝64，（10）（8）＝8，（1000）（8）＝512。五进制数满五进一，计数单位在十进制数中是1，5，25，125……；八进制数满八进一，计数单位在十进制数中是1，8，64，512……。 点睛：研究其他进制的思路与二进制完全一致——先定“满几进一”，再从数位一起依次写出计数单位，体会记数法的通性。 例6　练一练（教材P42-43） ①十进制数6、7、8的二进制数分别是多少？②把（11）（2）、（1001）（2）改写成十进制数。③按照“满二进一”，接着往下写：10、11、100、101、____、____。 解：①6→110，7→111，8→1000。②（11）（2）＝2×1＋1×1＝3；（1001）（2）＝8×1＋1×1＝9。③后面两个数依次是110、111。 点睛：第①题是“由十进制写二进制”，第②题是“由二进制读十进制”，第③题是按“满二进一”的规律续写，三种基本技能一次练全。 六、拓展延伸 ① 计算机为什么用0和1就能处理各种信息？计算机中的电子元件通常只有两种稳定状态，例如电路的通与断、灯泡的亮与灭。把这两种状态分别用1和0表示，就可以用一串0和1来记录、传输和处理各种信息。虽然我们看到的文字、图片、声音很丰富，但计算机内部都要先把它们转化为二进制数再处理，这就是“二进制的秘密”。 ② 生活中由0和1组成的编码：计算机内部的所有数据都用0和1编码；二维码的黑格与白格可以对应1和0；条形码用粗细不同的条纹记录信息，同样可以看作两种状态的组合；就连家里的电灯开关、十字路口的红绿灯，也都有两种相反的状态。找一找、说一说，你会发现二进制离我们并不遥远。 ③ 不同进制的比较：同一个数可以用不同的进制表示。十进制的2可写作（10）（2）；十进制数6的二进制数是（110）（2）。不同进制的计数单位不同、进位规则不同，但它们都要表示出计数单位和计数单位的个数，这正是各种进位记数法的共同本质。 ④ 由十进制数写二进制数的小窍门：把十进制数拆成计数单位1、2、4、8……的和，用到了哪个计数单位就在对应数位写1。如12＝8＋4，直接在数位四、数位三各写1，其余写0，二进制数就是（1100）（2）。 七、本课小结 1. 日常生活中常用十进制记数法，计算机传输信息时要把各种输入信息转化为二进制数进行处理；二进制数只有0和1两个数字，按照“满二进一”的规则计数。 2. 二进制数中的“10”读作“一零”，写作（10）（2）；读的时候一位一位地读，不能读成“十”。十进制数0~9的二进制数依次是0、1、10、11、100、101、110、111、1000、1001。 3. 二进制数的计数单位是（1）（2）、（10）（2）、（100）（2）、（1000）（2）……在十进制数中分别是1，2，4，8……每向左一位，计数单位就乘2。 4. 把二进制数改写成十进制数，要先标数位、写计数单位，再用每一位上的数字乘该位的计数单位，最后相加；数位上是0的也要写上去乘0，如（10101）（2）＝21。 5. 同类延伸：五进制数满五进一，计数单位在十进制数中是1，5，25，125……；八进制数满八进一，计数单位在十进制数中是1，8，64，512……。不同的记数法都要表示出计数单位和计数单位的个数。 6. 同一个数可以用不同的进制表示。掌握了二进制与十进制的互化方法，就握住了理解计算机世界的一把钥匙，也为今后探索更多记数法打下了基础。 学科网（北京）股份有限公司 $