精品解析：上海市长宁区复旦中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试题

2025学年第一学期八年级数学学科阶段测试 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列各数：、、、、、，其中无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求立方根． 【详解】解：是无理数； 是无理数； 是分数，属于有理数； 是无理数； 是整数，属于有理数； 是小数，属于有理数； 故无理数有3个：、、， 故选：B． 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. （a、b、c是实数） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，由此问题可求解． 【详解】解：A、当时，则就不是一元二次方程，故不符合题意； B、把化简为，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意． 故选D． 3. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 4. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 5. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可知，可知一元二次方程根的情况． 【详解】解：， ∵a、b、c是三角形三边的长， ∴， ∴， ∴原方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 6. 设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 条件不足，无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值． 【详解】解：根据题意得： ， ，， 由可得，由可得， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 8. 当x________时，在实数范围内有意义． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出且，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得：且， 故当且时，在实数范围内有意义， 故答案为：且． 9. 等式成立的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此需保证每个根号下的表达式均大于等于零，由此计算即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使有意义，需，即； 要使有意义，需，即， 当且时，，因此等式成立， 故答案为：． 10. 比较大小（用“”、“”、“”连接）：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，通过比较两个负数的绝对值大小，绝对值大的负数反而小，即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法计算即可得解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 12. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由于，为确保被开方数非负，需；然后将分解为，利用二次根式的性质进行化简即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在如图所示的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1，，则点C对应的实数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设点C所对应的实数是x，点B与点C到点A的距离相等可列方程，求解即可． 【详解】解：设点C表示实数x， ∵点B与点C到点A的距离相等 由此可得，解得，故C点对应的实数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键． 14. 不等式：的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，通过移项将不等式化为，由于，除以负数时不等号方向改变，得到，再进行分母有理化即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，除以负数，不等号方向改变， ∴， 化简分母， 有理化分母， 即， 故的解集为， 故答案为：． 15. 在实数范围内因式分解：=_________________ 【答案】2（x-）（x-）． 【解析】 【分析】运用求根公式解得对应方程2x2-5x+1=0的解，再分解因式． 【详解】∵=0,a=2,b=-5,c=1, ∴=0的根为, 即x1=，x2=， ∴2x2-5x+1=2（x-）（x-）． 故答案为2（x-）（x-）． 【点睛】此题考查公式法分解因式．解题关键在于熟练运用求根公式解得对应方程的解． 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】由根与系数的关系可知x1+x2＝3，将其代入到x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6求得x2＝﹣1，代回方程中即可求得m的值． 【详解】由题意知x1+x2＝3， ∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6， ∴3﹣3x2＝6， 解得：x2＝﹣1， 代入到方程中，得：1+3+2m＝0， 解得：m＝﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了方程解的概念，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝. 17. 有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为，根据总场数45列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为， 根据题意，有， 方程两边同时乘以2，得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 由于球队数量为正整数， 故， 故答案为：10． 18. 若a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求立方根，由条件可知，和是关于的二次方程的两个根，根据根与系数的关系，可得，再计算立方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，， ∴和是关于的二次方程的两个根， 即和是关于的二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、计算题（每题5分，共30分） 19. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化，二次根式的性质，零指数幂分别运算，然后合并即可； （）先确定，然后根据立方根，二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程 （1） （2） （3）用配方法解方程． （4）（m，n为常数）； 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） 或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握算理是解决问题的关键． （1）用直接开方法解答即可； （2）先化为一元二次方程的一般形式，然后用因式分解法解方程即可； （3）用配方法解方程即可； （4）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 解： ， 【小问4详解】 解： ， 四、解答题（21-22每题6分，23-24每题7分，25题8分，共34分） 21. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件求出，从而得出，将所求式子进行化简，最后代入、的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 22. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求a的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）把代入方程求出a即可． （2）由题意可得，根据不等式即可解决问题． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程有实数根， ∴且，即且， 解得：且， ∴满足条件的正整数a的值为． 23. 某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， （1）如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； （2）为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）与墙垂直的边的长为 （2） 解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形仓库占地面积为1500平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形面积扩大到2000平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为； 【小问2详解】 略 24. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若实数k为整数，且满足的值也为整数，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式为非负数，且二次项系数不为零，据此求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵是一元二次方程的两个实数根 ， 的值为整数， 或或， ， 或或． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式， 根与系数的关系，分式的混合运算，数的整除，掌握相关知识是解决问题的关键． 25. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以x和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为________的小正方形切拼成了一个面积为________，且边长是________的正方形． 显然该正方形的边长为________，故________，得________． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体________块；需要准备图（5）中的几何体________块； 需要准备图（6）中的几何体________块；需要准备图（7）中的几何体________块． 请直接写出方程的一个正数根； ________． 【答案】（1） ①根据题意作图如下： ， ②，，，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可；②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； 【小问2详解】 解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： ， 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此， 故方程的一个正数根为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学学科阶段测试 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列各数：、、、、、，其中无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. （a、b、c是实数） B. C. D. 3. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 5. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 条件不足，无法计算 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 16的平方根是______． 8. 当x________时，在实数范围内有意义． 9. 等式成立的条件是________． 10. 比较大小（用“”、“”、“”连接）：________． 11. 方程的解为________． 12. 化简：________． 13. 在如图所示的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1，，则点C对应的实数是______． 14. 不等式：的解集为________． 15. 在实数范围内因式分解：=_________________ 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为_____． 17. 有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队． 18. 若a、b、c、d为互不相等的实数，且满足，，则________． 三、计算题（每题5分，共30分） 19. 计算题 （1）； （2）． 20. 解方程 （1） （2） （3）用配方法解方程． （4）（m，n为常数）； 四、解答题（21-22每题6分，23-24每题7分，25题8分，共34分） 21. 已知，求的值． 22. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求a的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 23. 某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， （1）如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； （2）为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 24. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若实数k为整数，且满足的值也为整数，求k的值． 25. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以x和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为________的小正方形切拼成了一个面积为________，且边长是________的正方形． 显然该正方形的边长为________，故________，得________． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体________块；需要准备图（5）中的几何体________块； 需要准备图（6）中的几何体________块；需要准备图（7）中的几何体________块． 请直接写出方程的一个正数根； ________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $