精品解析：内蒙古自治区通辽市第三中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋学期九年级第一次阶段检测数学试题 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（ ） A. 2，1，1 B. 2，， C. 2，1， D. ，1，1 【答案】B 【解析】 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 2. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 3. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 【答案】D 【解析】 【分析】由二次项系数的符号确定抛物线开口方向，结合对称轴分析图像位置与增减性． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， ∴抛物线开口向下，有最高点，故A、C错误； ∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及原点，故B错误； ∵该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴在直线左侧，随的增大而增大，即图像是上升的，故D正确． 4. 一元二次方程的根的情况是（） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根． 5. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 6. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 7. 水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】将高度函数整理为二次函数一般式，结合开口方向，通过对称轴公式计算最高点对应时间. 【详解】解：， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值. 将，代入，得. 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，下列选项正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断的符号，由抛物线与轴交点个数判断的符号，由时的函数值判断的符号． 【详解】解：∵由图象可知，抛物线开口向上， ． ∵抛物线与轴交于负半轴， ． ∵对称轴为直线， ， 即，故③正确． ， ， ，故②正确． ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ，故④正确． 当时，图象在轴下方， ，故①正确． 综上所述，①②③④正确． 二、填空题（4小题，每题3分，共12分） 9. 已知方程的一个根为2，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根满足原方程，将代入原方程，即可解出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 10. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算即可得到结果． 【详解】解：原抛物线的解析式为．向左平移个单位长度，对自变量加上平移单位，得． 再向下平移个单位长度，对常数项减去平移单位，得． 即得到的抛物线解析式为． 11. 已知是一元二次方程的两个根，则+的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，，， ∴， 代入计算得，原式． 12. 把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，根据函数平移规则得到平移后抛物线的顶点坐标，抛物线与轴有且只有一个公共点说明顶点在轴上，顶点纵坐标为，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后，顶点坐标变为，即， 平移后抛物线解析式为， ∵平移后所得抛物线与轴有且只有一个公共点，且抛物线开口向上， ∴抛物线顶点在轴上，顶点纵坐标为， 即， 解得． 三、解答题（共64分） 13. 用适当方法解下列一元二次方程． （1）． （2）． （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项整理得， 两边同除以得， 因式分解得， 解得． 【小问2详解】 解：， 提取公因式得， ∴或， 解得． 【小问3详解】 解：， 左边变形得， 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得． 14. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴上方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当或时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而增大， 随的增大而增大的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 15. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； （2）如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【答案】（1）； （2）有支球队参加比赛． 【解析】 【分析】根据单循环赛制的定义推导得支球队总比赛场数为，然后把代入计算即可； 设有支球队参加比赛，由题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：∵单循环赛制为每两队之间都赛一场， ∴支球队中每队需与其余支球队各赛场，且每场比赛被重复计算次， ∴总比赛场数为， 当时，总场数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设有支球队参加比赛， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴不符合题意，舍去， 答：有支球队参加比赛． 16. 如图，二次函数的图象过，两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出抛物线的顶点坐标、对称轴； （3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）把解析式化成顶点式，解答即可； （3）根据，解答即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过，两点， ， 解得， 函数表达式为：． 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问3详解】 解：对称轴为直线， ． ，， ， ． 17. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求与的函数表达式． （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）的长为； （3）当时，围成的花圃的面积最大，最大面积为． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式； （2）根据（1）中所得函数关系式当为45时，列出一元二次方程即可求出的长； （3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【小问1详解】 解：（1）根据题意，得， ∵，∴． 即：与的函数关系式为． 【小问2详解】 根据题意，得 当时，， 整理，得，解得，， ∵，当时，不成立，应舍去， 即：的长为． 答：的长为． 【小问3详解】 ∵，对称轴，开口向下， ∴当时，有最大面积的花圃，最大面积为． 答：当时，围成的花圃的面积最大，最大面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点，距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带（位于桥的正中间）四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： （1）确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； （2）探究原计划限高：如图3，点为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算∶ ①绿化带的宽度； ②确定机动车道一的限高高度． 【答案】（1）如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）①绿化带的宽度为；②机动车道一的限高高度为 【解析】 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系略， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，，， ，， 代入到，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：①如图， 由题意得，，， ， 绿化带的宽度为； ②， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ． 即机动车道一的限高高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期九年级第一次阶段检测数学试题 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（ ） A. 2，1，1 B. 2，， C. 2，1， D. ，1，1 2. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 图像位于第二、四象限 C. 抛物线有最低点 D. 抛物线在直线的左侧部分是上升的 4. 一元二次方程的根的情况是（） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7. 水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，下列选项正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（4小题，每题3分，共12分） 9. 已知方程的一个根为2，则的值为__________． 10. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 11. 已知是一元二次方程的两个根，则+的值为________． 12. 把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 三、解答题（共64分） 13. 用适当方法解下列一元二次方程． （1）． （2）． （3） 14. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 15. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； （2）如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 16. 如图，二次函数的图象过，两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出抛物线的顶点坐标、对称轴； （3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接，求的面积． 17. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求与的函数表达式． （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 18. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点，距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带（位于桥的正中间）四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： （1）确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； （2）探究原计划限高：如图3，点为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算∶ ①绿化带的宽度； ②确定机动车道一的限高高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $