精品解析：内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹第三中学2026-2027学年上学期九年级 10月学情自测数学 试卷

2026年10月阶段性学情诊断 九年级数学 范围：一元二次方程与二次函数 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟知一元二次方程的根满足方程是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴ 故选：B． 2. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可直接利用一元二次方程根与系数的关系来求解两根之和．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若是一元二次方程的两个实数根，则是解题的关键． 【详解】解：在方程中，， 故选：B． 3. 已知二次函数，其中，该二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由二次函数，其中，可知函数开口向上，对称轴在轴右侧，且当时，只有A符合要求． 4. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，且， 故选：A． 5. 把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 若点和点都在抛物线上，则 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”写出平移后的解析式，再逐一检验开口方向、顶点坐标、对称性与增减性． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式为， ∴其顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线． A．∵，∴抛物线开口向上，说法正确； B．顶点坐标为，不是，说法错误； C．∵，即点与点关于对称轴直线对称，∴，说法正确； D．∵当时，随的增大而减小，∴当时，随的增大而减小，说法正确． 6. 在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（ ） A. 当一定时，与满足一次函数关系 B. 当一定时，与满足二次函数关系 C. 当一定时，与不满足函数关系 D. 当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 7. 包头市某中学开展“数学实践・校园微规划”活动，同学们测得校园内一块矩形空地长为，宽为．计划在空地上划分非机动车停车位，并留出宽度均相等的通行车道（布局如图所示）．若停车位的总占地面积为，设车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设车道的宽度为，利用“平移法”将分散的停车位进行拼接，则拼合后的停车位的长为，宽为，再结合面积列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设车道的宽度为，则拼合后的停车位的长为，宽为， 由题意可得． 8. 经研究发现某型号火箭高度与时间的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（ ） 时间 火箭高度 A. 火箭在前持续上升 B. 火箭在后才开始下降 C. 火箭在前可以达到 D. 火箭在时的高度低于 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，结合火箭运动轨迹确定开口方向，再利用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数的增减性和对称性逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：∵二次函数中，和时相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵火箭先上升后下降， ∴二次函数开口向下， ∴，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，最高点在处， ∴火箭在后已经开始下降，故选项错误； 设函数解析式为，代入和得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得或， ∴最早才达到，前无法达到，故选项错误； ∵关于对称轴的对称点为， ∴， ∵时随增大而减小，且， ∴，即时高度低于，故选正确． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】原方程的左边是两个一次因式乘积的形式，而方程的右边为0，可令每个一次因式的值为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 故答案为，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解． 10. 已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 11. 小颖在探索一元二次方程的近似解时列表如下：观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是_____． 0 1 2 5 【答案】1 【解析】 【分析】设，一元二次方程 的解就是使的x值．观察表格中对应的的取值，因为当时y值为负，时y值为正，所以在内存在一个使得y值为0．该区间内的数的整数部分为1，即可得到对应解的整数部分． 【详解】令 ， 一元二次方程 的解就是使的x值． 根据表格数据： 当时，； 当时，． 说明在1和2之间一定存在一个x使得， 也就是方程的这个解在， 解的整数部分为1． 12. 如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接．若是等腰直角三角形，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】因为抛物线与y轴交点的横坐标为0，所以将代入抛物线表达式，可得点A的坐标，得到的长度．因为是等腰直角三角形，，所以，结合顶点B在x轴正半轴上，可得到点B的坐标．所以抛物线为，将代入抛物线表达式，即可求解a． 【详解】抛物线，令，得， ∴， 即． ∵是的等腰直角三角形， ∴两条直角边． 又∵顶点在轴正半轴上， ∴点坐标为． ∴抛物线可以写成顶点式． 将代入顶点式 ，  即， 解得． 三、解答题（共6小题，共64分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）因为方程左侧是完全平方式、右侧是正实数，所以用直接开平方法，先开方得到两个关于x的一次方程，再分别求解 （2）可以选择因式分解法：先将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0得到两个一次方程求解；也可以选择配方法：先将常数项移到等号右侧，再给等式两侧加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式后开方求解；还可以选择公式法，直接代入一元二次方程求根公式计算 ． 【小问1详解】 解：对于方程， 直接开平方得到：  ，， 解得，． 【小问2详解】 对于方程， 因式分解为， 得 或 ， 解得，． 14. 已知二次函数的图象顶点为． （1）请直接写出点的坐标______； （2）请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象； （3）当时，则的取值范围是______．（直接写出结果） 【答案】（1） （2） 描点、连线画出函数图象如图： （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及描点法画二次函数图象以及二次函数的性质等知识． （1）用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； （2）列出表格，通过顶点坐标与对称轴向左右两方取值，再描点即可得出； （3）结合二次函数图象，当时，则的取值范围． 【小问1详解】 ； 点的坐标为：． 故答案为：； 【小问2详解】 列表得： 0 1 0 0 【小问3详解】 时，；时，， 当时，则的取值范围是， 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关键在于利用韦达定理将 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值． （1）利用判别式 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围； （2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件转化为关于 m 的方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件． 【小问1详解】 解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 16. 课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）若，求的值． （2）求证：无论为何实数，的运算结果总不超过． 【答案】（1）或 （2）证明：， 令， 该抛物线的顶点为， ， 的运算结果总不超过． 【解析】 【分析】（1）根据新运算规则展开得到关于x的一元二次方程，因式分解求解； （2）根据新运算规则展开得到二次函数，配方化为顶点式，利用二次函数性质证明最大值不超过． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得或； 【小问2详解】 略 17. 国庆期间，包头古城举办民俗美食市集．某商户以每千克80元的进价购进一批风干牛肉，计划以每千克元的售价销售．为吸引游客，商户决定降价促销，且要求该风干牛肉的利润率不能低于．已知这种风干牛肉国庆期间的销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）若每千克风干牛肉降价元，则该商户国庆期间销售风干牛肉可获利_____元． （2）若该商户想获得元利润，则每千克应降价多少元？（利润率利润进价） （3）在降价范围内，每千克风干牛肉降价多少元时，该商户在国庆期间销售此风干牛肉获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每千克应降价元 （3）每千克降价元时，获得最大利润元 【解析】 【分析】（1）先求出函数解析式，再求出降价元时的销量及每千克的利润，相乘即可； （2）设总利润为，求出的函数解析式，进而根据“获得元利润”求解，取合适的解即可； （3）根据二次函数的性质结合的取值范围作答即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 由图象过点，，代入得：， 解得​， ∴． ∵利润率不低于， ∴最低售价为（元）， ∵原售价元， ∴最大降价幅度为（元），结合题干，可得降价范围为， 即， 将代入得，即销量为千克， 每千克的利润为（元）， 总获利为元； 【小问2详解】 解：设总利润为，单件利润为元， 总利润为：， 令，代入得方程：， 整理得：， 解得，． ∵， ∴， ∴每千克应降价元； 【小问3详解】 解：， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴在对称轴左侧随增大而增大，而降价范围完全在对称轴左侧， ∴当时，利润取得最大值（元）． 即每千克降价元时，获得最大利润元． 18. 综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． （1）若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． （2）为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． （3）在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可； （2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围； （3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为， 因此抛物线顶点坐标为． 设抛物线顶点式为， 又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点， 将代入解析式：， 解得， 因此抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头， 设抛物线顶点式为，代入得， 即， 因此抛物线解析式可整理为：， ∵顶点横坐标恒为1，且过喷头， ∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池； ∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上， ∴当时，， 当时，，解得， ∴； 【小问3详解】 解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离． 第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远． 此时（2）中抛物线解析式为， ∵，， ∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E， ∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同， ∴第二层喷头的抛物线解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：（舍去） 因此底部圆形水池的最小半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月阶段性学情诊断 九年级数学 范围：一元二次方程与二次函数 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 2. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 3. 已知二次函数，其中，该二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 若点和点都在抛物线上，则 D. 当时，随的增大而减小 6. 在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（ ） A. 当一定时，与满足一次函数关系 B. 当一定时，与满足二次函数关系 C. 当一定时，与不满足函数关系 D. 当一定时，与满足二次函数关系 7. 包头市某中学开展“数学实践・校园微规划”活动，同学们测得校园内一块矩形空地长为，宽为．计划在空地上划分非机动车停车位，并留出宽度均相等的通行车道（布局如图所示）．若停车位的总占地面积为，设车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 经研究发现某型号火箭高度与时间的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（ ） 时间 火箭高度 A. 火箭在前持续上升 B. 火箭在后才开始下降 C. 火箭在前可以达到 D. 火箭在时的高度低于 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 方程的根是______． 10. 已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 11. 小颖在探索一元二次方程的近似解时列表如下：观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是_____． 0 1 2 5 12. 如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接．若是等腰直角三角形，，则的值为_____． 三、解答题（共6小题，共64分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知二次函数的图象顶点为． （1）请直接写出点的坐标______； （2）请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象； （3）当时，则的取值范围是______．（直接写出结果） 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 16. 课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）若，求的值． （2）求证：无论为何实数，的运算结果总不超过． 17. 国庆期间，包头古城举办民俗美食市集．某商户以每千克80元的进价购进一批风干牛肉，计划以每千克元的售价销售．为吸引游客，商户决定降价促销，且要求该风干牛肉的利润率不能低于．已知这种风干牛肉国庆期间的销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）若每千克风干牛肉降价元，则该商户国庆期间销售风干牛肉可获利_____元． （2）若该商户想获得元利润，则每千克应降价多少元？（利润率利润进价） （3）在降价范围内，每千克风干牛肉降价多少元时，该商户在国庆期间销售此风干牛肉获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18. 综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． （1）若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． （2）为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． （3）在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $