精品解析：内蒙古通辽市科尔沁区第四中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

科尔沁区第四中学2025-2026学年度上学期第三次月考 九年级数学 注意事项： （1）本试卷共4页，18小题，满分100分，考试时间90分钟． （2）根据网上阅卷需要，本试卷中所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的·下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 缘木求鱼 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意； B、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； C、水涨船高，是必然事件，符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用， 先根据待定系数法求出解析式，代入函数求值即可，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】设电流与电阻函数关系为， ∵图象经过点， ∴， 解得：； ∴， 当时，， 故选：． 5. 已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质， 先由圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的性质解答即可． 【详解】∵点，与C关于原点对称，且位似比为， ∴的坐标为 即 故选：A． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的有关知识是解题的关键． 7. 如图，直径AB、CD互相垂直，现有一小球在此圆盘上滚动，落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将图中四个阴影部分移到一起，即可求出图形中阴影部分的面积占圆盘面积分率，从而求出结论． 【详解】解：将图中四个阴影部分移到一起，如下图所示 可知：图形中阴影部分的面积是圆盘面积的 ∴落在阴影部分的概率为 故选B． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握图形中的概率问题=相应的面积与总面积之比是解题关键． 8. 草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题关键是利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合勾股定理求出圆锥底面半径． 先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长为、高为，得底面半径为， 底面周长为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数为， 扇形弧长公式为， 化简得，解得， 即所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 故选：． 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 9. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 将已知根代入方程，利用方程的解的定义求解． 【详解】将代入方程得： ， 即， 解得． 故答案为：2． 10. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意，画出示意图，易得，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意作出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，经检验符合题意； 故答案为：． 11. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为___________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解： 如图， 连接， 由题意得： ， 、， 由条件可知， 由勾股定理得 ， ． 截面圆中弦的长为． 故答案为． 12. 如图，抛物线与轴交于，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由题得对称轴为直线，则；由函数图象可知，，，由得；当时，函数有最大值；先求出直线的解析式，再将代入求出，得二次函数解析式为，直线的解析式为，过点作轴交于点，用表示出的面积，即可得当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：抛物线与轴交于，， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 抛物线开口向下， ， ， 抛物线交轴正半轴， ， ，②正确； 抛物线的对称轴，开口向下， 时，有最大值，最大值， （为任意实数）， 即（为任意实数），③正确； ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 将代入， 得， ， 二次函数解析式为，直线的解析式为， 过点作轴交于点， ， ，， ， ， ， 当时，的面积最大，④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数图象与系数的关系，二次函数最值、待定系数法求一次函数解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法，解方程即可； （2）利用因式分解法，解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 14. 小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算： （1）若小明随机选择一个插座插入，则插入插座C的概率为______； （2）现小明同时对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器插在不相邻的插座的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两个插头插在不相邻插座的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 小明随机选择一个插座插入，则插入的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两个插头插在不相邻插座的结果数为6， 所以两个插头插在不相邻插座的概率． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，能用图象解不等式是解题的关键． （1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：由图象得 或． 16. 图是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，，垂足为，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，当点恰好落在上时，． （1）请判断此时与的位置关系并说明理由； （2）在图中，的半径为，，求的长． 【答案】（1） 与相切，理由如下： 点落在上， ， ， ， ， ， ， 即与相切； （2）． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得，推得，再由即可证； （2）过点作于点，作于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得，由勾股定理求出 ，用等面积法得出，最后再由勾股定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，作于点，如下图： ， 四边形是矩形， ， 的半径为，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理、证明某直线是圆的切线、矩形的判定与性质、勾股定理，解题关键是作出合适的辅助线． 17. 综合与实践 问题情境：在中，，点D为斜边上的动点（不与点A，B重合）． 操作发现： （1）如图1，当时，把线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．探究发现和有什么数量关系，请写出你的探究过程： 探究证明： （2）如图2，当时，把线段绕点C逆时针旋转后并延长为原来的两倍，记为线段． ①在点D的运动过程中，请判断与有什么数量关系？并证明： ②若，在点D的运动过程中，当为等腰三角形且满足为腰时，求出此时的面积． 【答案】 （1）线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ； （2）①，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ； ②或 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）证明，即可得； （2）①证明，可得，故； ②过作于，于，根据面积法可得，，可得，，从而，，分类讨论，当时或当时，算出的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②当时，如图，过作于，于， ，， ，， 根据面积法可得 ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 的面积为； 当时，如图： 此时， ， 的面积为， 综上，的面积为或． 18. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为4米，的长为2米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科尔沁区第四中学2025-2026学年度上学期第三次月考 九年级数学 注意事项： （1）本试卷共4页，18小题，满分100分，考试时间90分钟． （2）根据网上阅卷需要，本试卷中所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的·下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 缘木求鱼 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直径AB、CD互相垂直，现有一小球在此圆盘上滚动，落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 9. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 10. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________． 11. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为___________cm． 12. 如图，抛物线与轴交于，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有_________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算： （1）若小明随机选择一个插座插入，则插入插座C的概率为______； （2）现小明同时对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器插在不相邻的插座的概率． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 16. 图是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，，垂足为，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，当点恰好落在上时，． （1）请判断此时与的位置关系并说明理由； （2）在图中，的半径为，，求的长． 17. 综合与实践 问题情境：在中，，点D为斜边上的动点（不与点A，B重合）． 操作发现： （1）如图1，当时，把线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．探究发现和有什么数量关系，请写出你的探究过程： 探究证明： （2）如图2，当时，把线段绕点C逆时针旋转后并延长为原来的两倍，记为线段． ①在点D的运动过程中，请判断与有什么数量关系？并证明： ②若，在点D的运动过程中，当为等腰三角形且满足为腰时，求出此时的面积． 18. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $