精品解析：福建泉州第十一中学2026-2027学年九年级上学期数学第1次学情自测卷数学试题

泉州第十一中学九年级上数学第1次月考试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：选项A中根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项B中根指数为3，是三次根式，不符合定义， 选项C中被开方数，无意义，不符合定义， 选项D中是多项式，不含二次根号，不符合定义． 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 则常数项是， 故选：D． 3. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断同类二次根式需先将各根式化为最简二次根式，再对比被开方数是否相同． 【详解】解：，被开方数为2，与是同类二次根式， ，为整数，不是同类二次根式， ，，被开方数均为5，不是同类二次根式． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意； B． ，故选项B错误，不符合题意； C． ，故选项C错误，不符合题意； D． ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 5. 方程配方后的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤对原方程变形即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴移项得 ， ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 将左边整理为完全平方形式，得， 即方程配方后的形式是． 6. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式是指被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的概念逐项进行验证即可． 【详解】解：A 、，不是最简二次根式，不符合题意； B 、无法进一步化简，是最简二次根式，符合题意； C 、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D 、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 7. 用因式分解法解方程，将等号左边分解后有一个因式是，另外一个因式是，则p的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．根据题意得到，即可求出p的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 8. 若a－b＋c＝0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】把a－b＋c = 0与ax²＋bx＋c = 0比较，可以发现把x = ﹣1代入方程ax2＋bx＋c = 0，即可出现a－b＋c = 0，说明，一元二次方程ax2＋bx＋c = 0一定有一根﹣1． 【详解】∵把x = ﹣1代入方程ax²＋bx＋c = 0，可得a－b＋c = 0， ∴一元二次方程ax²＋bx＋c = 0一定有一根﹣1．故选D． 【点睛】本题考查了方程解的定义，如果一个数是方程的解，则把方程中的x换成这个数，得到的等式仍成立，特别是对于一元二次方程，要能通过a、b、c的关系式看出ax²＋bx＋c = 0的根是什么． 9. 已知x、y为实数，且，则x-y的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵≥0，（y﹣2）2≥0，且+3（y﹣2）2=0，∴=0，（y﹣2）2=0，∴x﹣1=0且y﹣2=0，故x=1，y=2，∴x﹣y=1﹣2=﹣1．故选D． 10. 如果a、b是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（ ） A. 2022 B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由a、b满足的同结构等式，得二者为方程的不等实根，降次后结合根与系数的关系计算． 【详解】解：由题意可知，，是方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴ ． 将，代入，得 ． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 12. 分母有理化：______． 【答案】 【解析】 【分析】分子分母同时乘以 ，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 13. 若为正整数，且满足，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵ ，而为正整数，且满足， ． 14. 已知、都是实数，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝_______． 【答案】3ab 【解析】 【分析】将 【详解】=3=3=3ab. 【点睛】此题主要考查二次根式的计算. 16. 的三边长分别为1、k、3，则化简_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系得到，再判断得到，，再化简代数式即可． 【详解】解：∵的三边长分别为1、k、3， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算 ． 【答案】． 【解析】 【分析】先计算零指数幂、化简二次根式、负整数指数幂和化简绝对值，再合并即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查零指数幂、二次根式化简、负整数指数幂和化简绝对值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 18. 解下列方程 （1）（公式法） （2）（因式分解法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 解得. 19. 如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的三个顶点，得到，求AC边上的高是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：△ABC的面积＝2×2−×2×1−×1×1−×2×1＝， 由勾股定理得AC＝， ∴AC边上的高＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 21. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) 李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段； (2) 李明的说法正确， 理由：两正方形面积之和为48时， ， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm²，李明的说法正确． 【解析】 【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 【详解】解：（1）设其中一段的长度为xcm，两个正方形面积之和为scm²， 则， 即(其中0<x<40）， 当s=58时， ， 解得，， ∴应将之剪成12cm和28cm的两段； （2）略 【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数关系式是解题关键． 22. 阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： （1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； （2）解方程：． 【答案】（1）转化 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握利用换元法解一元二次方程的方法是解题的关键. （1）根据换元法解一元二次方程的过程及意义，即可得出结论； （2）设，则原方程可化为，解方程求出值，进而得出的值. 【小问1详解】 解：在原方程得到方程的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化． 【小问2详解】 设，则原方程可化为， 解之得：，， 当 时，无解； 当 时，， 解得：，． ∴原方程的解为或． 23. 新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． （1）求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； （2）为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 【答案】（1） （2）28元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为，根据题意可得，解方程即可； （2）设每条数据线上涨元，则每周的销量为条，结合总利润等于一条数据线的利润乘销售数量，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该门店这两周该数据线销量的周均增长率为． 【小问2详解】 解：设每条数据线上涨元，则每周的销量为条， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， ∴． 答：应将零售价定为28元． 24. 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第个数可以用表示其中是自然数且这是用无理数表示有理数的一个范例． （1）根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数； （2）证明：斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：． 【答案】（1）第一个数1，第二个数1 （2） 证明：当时， ， 斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：． 【解析】 【分析】此题考查二次根式的混合运算与化简求值： （1）当和时，代入即可求解； （2）根据，利用连续三个数，，代入进行化简即可求证结论； 理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：第1个数，即当时， ； 第2个数，即当时， ． 【小问2详解】 略 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 【答案】（1） （2）①且；②或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点P的坐标； （2）①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，由根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式组求解即可；②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而得到，求出的值，即可得到的值； （3）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州第十一中学九年级上数学第1次月考试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程配方后的形式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 7. 用因式分解法解方程，将等号左边分解后有一个因式是，另外一个因式是，则p的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 8. 若a－b＋c＝0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 9. 已知x、y为实数，且，则x-y的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 10. 如果a、b是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（ ） A. 2022 B. C. 2026 D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 分母有理化：______． 13. 若为正整数，且满足，则______． 14. 已知、都是实数，且，则_________． 15. 设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝_______． 16. 的三边长分别为1、k、3，则化简_____． 三、解答题（共86分） 17. 计算 ． 18. 解下列方程 （1）（公式法） （2）（因式分解法） 19. 如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的三个顶点，得到，求AC边上的高是多少？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 22. 阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： （1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； （2）解方程：． 23. 新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． （1）求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； （2）为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 24. 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第个数可以用表示其中是自然数且这是用无理数表示有理数的一个范例． （1）根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数； （2）证明：斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：． 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $