福建省漳州市第三中学2026-2027学年上学期 阶段教学阶段（一）九年级数学试题

2026-2027学年上学期漳州三中阶段教学诊断（一) 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔 重描确认，否则无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂， 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是() A.2x+1=0 B.x2+x-2=0 C.y2+x=1 D. 1+x2=1 2.下列四边形中，对角线一定互相垂直的是() A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形 3.根据下列表格的对应值，可判断方程x2+12-15=0必有一个解x满足() 女 -1 1 1.1 1.2 x2+12x-15 -26 -2 -0.59 0.84 A.-1<<1 B.1<×1.I C.1.1<×1.2 D.-0.59<r<0.84 4.我国占代有不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩” 是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细 木条a,b,c,d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方 笨正确的是() A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相垂直 5.若=244x3x可 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=() 2×3 A.-2 B.4 C.2 D.0 6.如图，在一块长15m,宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空 地种植花苗，设道路的宽为xm,若种植花苗的面积为112m2,依题意列方程为( ) A.10x+15×2x=150-112 B.10×2+15x=150-112 10 C.(10-2x)(15-x)=112 D.(10-x)(15-2x)=112 7.己知×、x2是一元二次方程3x2+2x-6=0的两根，则(x+)(名2+)的值是（) A骨 B.昌 c月 D. 8.下列命题中，真命题的是（ A.对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B.两组邻边相等的四边形是菱形 C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 9.两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形， 则∠1的度数为() A.60 B.55 C.30 D.45 1O.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点， 连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点，连接GH, 若AB=4,BC=10,则GH的长度为() A.厘 R.②网 C.3 D.2 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题纸的相应位置. 11.将方程2x2-3x=5化为一般形式为 12.顺次连接菱形各边中点所得四边形是 13.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a0)的一个根， 则2026+3a+3b的值等于 I4.如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O,AB-8,E是CD的 B 中点，则OE的长等于 15.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各 几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多 少？(1丈=10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(+6)尺， 根据题意得方程： 16.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2C,这时我们把关于x的形如ax2+W2x+b=0的一元二次方程称为“勾系 一元二次方程”.下列说法正确的有 ①方程2+2+1=0是否为“勾系一元二次方程”； ②关于x的“勾系一元二次方程"ax2+√2cx+b=0必有实数根： ③若x=1是“勾系一元二次方程"ax2+√2cr+b=0的一个根， 且SaBc=2,则c=±2V2: ④若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根， B b D 且四边形ACDE的周长是6√2，则c=2. 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答 题纸的相应位置解答， 17.(8分)用适当的方法解下列方程： (1)x(x-3)=0 (2)3x2-4x-1=0 18.(8分)下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：3x2+12x-6=0. 二次项系数化为1，得x2+4-2=0, 第一步 移项，得x2+4x=2, 第二步 配方，得x2+4x+4=2+4,即(x+2)2=6. 第三步 由此，可得+2=V6. 第四步 所以x=-2+√6. 第五步 填空：（1)“第二步”变形的数学依据是 ；(用文字语言填空) (2)小明同学这种解一元二次方程的方法叫作配方法，其中第三步配方时用到的数学公式 是 (3)小明同学的解题过程中，从第步开始出现错误，则原方程正确的解为 19.(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BE⊥AC于点E,CF⊥BD 于点F.求证：△BEO≌△CFO. D 20.（8分)已知关于x的一元二次方程x2-（m-2)x+m-3=0. (1)求证：无论m为何值，该一元二次方程总有实数根： (2)若方程的两根一正一负，求m的取值范围. 21.(8分)如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D,O分别是AC,BC的中点， 连接DO并延长至点E,使OE=DO,连接BD,BE,CE. (1)求证：四边形DBEC是菱形. (2)若DE=8,BC=6,求四边形DBEC的面积. 22.(10分)近年来以创建省级文旅示范村为契机，漳州市龙海区大力发展文旅产业，先后 投资建设了“浮宫杨梅采摘园”，“九龙江畔休闲营地”，“古厝研学基地”，“农家风味小吃坊” 等文旅项目.这些项目不仅为龙海区人民群众提供了就近务工机会，而且使龙海区集体经济 得到快速增长.据悉，2026年此村集体经济收益从2024年的1000万元升至1210万元. (1)求此村从2024年到2026年这两年，集体经济收入的年平均增长率： (2)今年浮宫杨梅遭遇食品安全舆情风波，部分收购点违规添加甜蜜素事件曝光后，本地这 家正规采摘园坚持原生态种植，全程不使用甜蜜素、防腐剂。为重建消费者信任，采摘园决 定降价促销。原生态杨梅若每千克盈利16元，每天可售出300kg。经市场调查发现，若每千 克降价1元，日销售量就增加50kg。该采摘园要保证每天盈利6000元，同时又要尽可能的 让顾客得到实惠，每千克杨梅应降价多少元？ 23.(10分)(1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且BE=CF, 连接AE,BF,设AE、BF交于H.请判断AE与BF的数量关系和位置关系，并说明理由： (2)如图2，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CE上点.过点F作GH⊥CE, 分别交AB、CD于点G、H,若BG=I,CH=5,则AG的长为 A D F H H G E C B 图1 图2 24.（12分)阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m)2+n的形 式，然后由(x+m)≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值， 例题：求多项式x2-6r+11的最小值. 解：x2-6x+11=(x-3)2+2 .(x-3)≥0 ∴.(x-3)2+222 ∴.当x=3时，（x-3)2+2=2 ∴.（x-3)2+2有最小值，最小值为2，即x2-6+11的最小值为2. 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问愿： (1)【理解探究】 填空：①代数式A=x2-10x+30,则A的最小值为一： ②代数式B=-y2+8y-10,则B的最大值为一· (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，己知甲种植园的两边长分别是(3+2)米、 (2a+5)米，乙种植园的两边长分别是5a米、(a+5)米，试比较这两块种植园的面积S甲 和S的大小，并说明理由。 (3)【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=5cm,BC=10cm,点M、N分别是线段AC和BC上的 动点，点M从A点出发以1cms的速度向C点运动：同时点N从C点出发以2cms的速 度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止.设时间为t,则当t为何值时，SoCw 的值最大，最大值为多少？ N 25.(14分)【回归教材】 如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分 线CF于点F.求证：AE=EF.(提示：取AB的中点G,连接EG.) D E (I)请思考，题目中“提示：取AB的中点G,连接G”,这样添加辅助线的意图是为了得到条 件： ；(选择序号) ①AG=EC:②AG=CF:③AG=GE: 【类比探究】 0 B E B E 图1 图2 (2)如图I,若点E是边BC上任意一点（不与点B,C重合），其他条件不变.求证：AE=EF: (3)如图2，若点E是边BC上任意一点（不与点B,C重合），其他条件不变，连接BD,AF交 于点M,存在常数a,b,使等式CF=aAB-bDM成立，请直接写出a和b的值. 2026-2027学年上学期漳州三中阶段教学诊断（一) 九年级数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项， 请在答题卡的相应位置填写) 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D B D B 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置填写) 11.2x2-3x-5=012.矩形 13.2023 14.415.x2+(x+6)2=102 16.①②④ 三、解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置解答） 17.(8分)(1)解：x=0或x-3=0.2分 x1=0,x2=3 4分 (2)解：a=3,b=-4,c=-1, :4=(4}-4x3×(-)=28>0,6分 x=4牡2图_4±2万2生万 2×3 61 3 =2-5 3,书=2+5 3 ..8分 18.(8分)(1)等式的基本性质1.…2分 (2)a2+2ab+b2-(a+b2.4分 (3)四：x1=-2+W6,x2=-2-√68分 19.(8分)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC,B0=BD,CO-AC, …2分 .B0=C0,.3分 ,BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F, ∠BE0=∠CF0=90°，.5分 .∠BOE=∠COF, ∴.△BOE≌△COF（AAS)....8分 20.(8分)(1)证明：△=[-(m-2)]2-4×1×(m-3) =（m-2)2-4（m-3) =m2-4m+4-4m+12 =m2-8m+16=(m-4)2,.2分 （m-4)2≥0， 无论m为何值，该一元二次方程总有实数根：4分 (2)解：两根之积==3， 方程的两根一正一负， .两根之积<0且△>0..5分 即m-3<0,解得：m<3. .6分 由（1)知△=(m-4)2>0 .m4..7分 .m的取值范围m<3..8分 21.(8分)(1)证明：，点O是BC的中点， ..OB=OC, 又.'OE=DO, ∴.四边形DBEC是平行四边形..2分 ,△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，点D是AC的中点， ∴.BD是Rt△ABC斜边AC上的中线， ....4分 ..BD=DC. .四边形DBEC是菱形..6分 (2)解：由（1)知，四边形DBEC是菱形， ∴四边形DBEC的面积S-BCDE=×6x8=24.8分 22(10分).解：（1)设从2024年到2026年这两年，集体经济收入的年平均增 长率为x,根据题意可得： 1000（1+x）2=1210,.....3分 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1（不合题意，舍去)，..4分 答：集体经济收入的年平均增长率为10%：.5分 (2)设每千克杨梅应降价y元，根据题意可得： (16-y)(300+50)=6000,.8分 解得y1=4(不合题意，舍去)，y2=6,.9分 答：每千克杨梅应降价6元..10分 23.(10分)解：(1)AE=BF,且AE⊥BF.理由如下：1分 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，3分 (BE=CF 在△ABE和△BCF中， ∠ABE=∠BCF, AB=BC .△ABE≌△BCF(SAS),4分 ∴.AE=BF,∠BAE=∠CBF, .∠CBF+∠ABF=90°， .∠BAE+∠ABF=90°，..6分 ∴.∠AHB=90°， ∴.AE⊥BF, .8分 .AE=BF,且AE⊥BF: (2)AG的长为7...10分 24.(12分)解：(1)①A的最小值为5，②B的最大值为6.2分 (2)S>S,理由如下：.3分 Sm=（3a+2)（2a+5)=6a2+19a+10, Sz=5a(+5)=5a2+25a, ∴.Sp-Sz=6a2+19a+10-(5a2+25a)=a26a+10=(a-3)2+1,.5 分 .(a-3)≥0， .(a-3)2+1>0, ∴.S甲-Sz>0, Sp>Sz:..7分 (3)依题意得：AM=tcm,CN=2tcm,5s, ∴.CM=(5-t)cm, ∴SaCv=号CMCW=号×21(5-)=-(4-)2425 2 2 ..9分 :-4-5)20, -1-ξ)242525 441 “当=号时，·(1-)2425有最大值，最大值为5， 2 2 4 4 .11分 “(1~》)4空的最大值为空 9 4 即当1=受时，Scw的值最大，最大值空m 4 ，12分 25.(14分) (1)4G=EC:2分 (2)证明：在AB上取点G,使AG=CE,连接EG,3分 四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠B=∠BCD=90°，4分 ∴.∠BME+∠AEB=90°，BE=BG, G .△BGE为等腰直角三角形， ∴.∠BGE=45°， .∠AGE=180°-∠BGE=135°，.6分 ∠AEF=90°， .∠AEB+∠CEF=180°-∠AEF=90°， ∴.∠BAE=∠CEF, .7分 :EF交正方形外角的平分线CF于点F, .∠DCF=)180°-ZBCD)=45°， .∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°， .∠AGE=∠ECF,9分 在△MEG和△EFC中， .'∠AGE=∠ECF,AG=CE,∠BAE=∠CEF, ·△4EG≌AEFC(ASA) .AE=EF:.10分 (3)解：存在常数a=√2，b=2,14分