精品解析：广东梅州市梅县区宪梓中学2026-2027学年第一学期九年级数学巩固练习

2026-2027学年第一学期九年级数学巩固练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 3. 方程x2＝2x的解是（ ） A. x＝2 B. C. x＝0 D. x＝2或x＝0 【答案】D 【解析】 【分析】利用解一元二次方程的因式分解法，即可求解 【详解】解：x2＝2x， 移项得：x2﹣2x＝0， 分解因式得：x（x﹣2）＝0， 可得x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，是解题的关键. 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分且互相垂直 C. 对角相等 D. 对边相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，比较矩形和菱形的性质，找出矩形有而菱形没有的性质． 【详解】解：矩形的对角线长度相等，而菱形的对角线不一定相等（除非是正方形）．因此，对角线相等是矩形特有的性质．故选项A符合题意， 菱形的对角线互相垂直且平分，但矩形的对角线仅互相平分而不垂直（除非是正方形）．因此，此性质属于菱形而非矩形．故选项B不符合题意， 矩形和菱形都是平行四边形，对角相等、对边相等是平行四边形的基本性质，矩形和菱形均具备，故选项C、D不符合题意． 故选A． 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式与根的关系得到且m≠0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴且m≠0， 解得：m≥−1且m≠0． 故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．本题还考查了解一元一次不等式和一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 6. 若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：设一元二次方程组 的两根分别为 ， ， 一元二次方程组 的两根之和为， ， ， 当时，，不合题意舍去． 故选： C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 7. 如图，在中，，点是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分求边长，再结合面积法求． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得． 9. 如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 设路宽为，则所剩下的空白部分的宽为，长为，根据空白部分面积是列出方程即可． 【详解】解：设路宽为，根据题意可得： ， 故选A． 10. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可表示与，再根据矩形的性质可得对边相等，再结合，，求解即可． 【详解】解：∵四边形，都是矩形， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 以0和1为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程的根的定义，得到的值，再用整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得， ， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接、，可得与垂直平分，利用勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，，即， 轴，， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为： ． 14. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、作角平分线，勾股定理，解决本题的关键是证明．由作图过程可得是的角平分线，结合题意，证明，得出根据矩形的性质进而得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点 四边形是矩形， ，， 由作图过程可知：是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，则， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 【详解】连接． ∵四边形是正方形 ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． ∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长． ∵正方形的面积为12， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 16. 解一元二次方程： （1）解方程：． （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）按照因式分解法解出方程即可． （2）先移项，按照提公因式法解出方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 或， ，． 【小问2详解】 解：， 移项得， 提公因式得， ， 或， ，． 17. 解分式方程及计算： （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去分母，将分式方程转化为一元一次整式方程，解出方程即可，求出的解需要检验，满足分式要求． （2）先化简绝对值、开算术平方根、计算的偶次幂以及负整数幂，然后再按照有理数的加减混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 经检验将代入， 是原分式方程的解． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：作以为对角线，且点、分别在、上的菱形；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求菱形的边长． 【答案】（1） 如图所示，菱形为所求；   （2）． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点E，于点F，则四边形即为所作菱形． （2）由菱形的性质，设菱形的边长为x，则．在中，由勾股定理即可解出x，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设菱形的边长为x，则． 四边形是矩形， 在中， ，即， 解得． 菱形的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，菱形的性质，矩形的性质以及勾股定理．掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定得出结论； （2）过D作于H，根据菱形四边形的性质和含30度角的直角三角形的性质求解、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过D作于H， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴四边形的面积为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 21. 根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： （1）求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； （2）为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）元 【解析】 【分析】（1）利用增长率公式建立方程：，其中为增长次数，这里第一周到第三周经过2次增长，代入数据求解即可； （2）根据“日利润=每单利润×日订单量”列方程，再结合“尽可能降低用户配送成本”的条件选择较低的配送费作为解． 【小问1详解】 解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为． 根据题意，得． 解得，(舍)． 答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为． 【小问2详解】 解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单． 根据题意，得． 解得，． 要降低用户的配送成本， 每单实际配送费为(元)． 答：每单实际配送费应定为元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22. 如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段的长度：______cm， （2）当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． （3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出，再由即可求出答案； （2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可； （3）利用平行四边形的性质得到，由此可建立方程或，解方程即． 【小问1详解】 解；由题意得， ∴， 故答案为；； 【小问2详解】 解：∵以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2； 【小问3详解】 解；假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴或， 解得或， ∴存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，正确根据题意列出方程求解是解题的关键． 23. 【思考研究】 “如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程： 先证，得到，再由，得到． （1）请根据小贤的分析过程证明． 【解决问题】 （2）求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． （2） （3） ． 理由：∵四边形是菱形，， ∴，，，． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明全等说明边等即可； （2）直接通过直角的等量代换得到角等； （3）先证明全等三角形，再通过角度的等量代换证明等边三角形来说明边等即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定，以及等边三角形的性质和判定，解题关键是等量代换出角等，然后证明全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学巩固练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程x2＝2x的解是（ ） A. x＝2 B. C. x＝0 D. x＝2或x＝0 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分且互相垂直 C. 对角相等 D. 对边相等 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 7. 如图，在中，，点是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是 A. B. C. D. 10. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. 请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是__________． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为________________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形， 若点 的坐标为，点 的坐标为，则点的坐标为_____________． 14. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 15. 如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 16. 解一元二次方程： （1）解方程：． （2）． 17. 解分式方程及计算： （1）解方程：． （2）计算：． 18. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：作以为对角线，且点、分别在、上的菱形；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求菱形的边长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： （1）求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； （2）为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22. 如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段的长度：______cm， （2）当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． （3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 23. 【思考研究】 “如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程： 先证，得到，再由，得到． （1）请根据小贤的分析过程证明． 【解决问题】 （2）求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $