第五单元计算专项：用字母表示规律（专项训练）-2026-2027学年五年级数学上册人教版

第五单元计算专项：用字母表示规律 知识点梳理 1. 找图形、数列的变化规律，用含有字母的式子表示规律，字母代表序号、个数等。 2. 写规律式子关键：先列举前几组数据，对比序号和结果，找出不变量和变化量。 3. 代入求值：把序号数值代入规律式子，按四则运算顺序计算。 4. 常见规律类型：等差规律（每次增加或减少相同数）、图形拼组规律（摆小棒、多边形）。 5. 注意：规律式子有单位，加减式子要加括号；要检验式子是否符合前面几组例子。 专项练习 1．如图，按照图中的方式搭长方形，第9个长方形需要( )根小木棒，第个长方形需要( )根小木棒。 2．像这样摆9个三角形需要( )根小棒；像这样摆n个三角形需要( )根小棒；43根小棒可以摆( )个这样的三角形。 3．用若干个圆片分别摆成下图，按照这样的规律，第5幅图中有( )个圆片，第n幅图中有( )个圆片。 4．如图，摆5个这样的六边形需要( )根小棒；摆n个这样的六边形需要( )根小棒。 5．用小棒按照下面的方式摆图形。先数一数下面各图形用了多少根小棒，再填一填。摆第个图形需要( )根小棒。 ( )根     ( )根     ( )根 6．按下图的规律，第5个图形中涂色正方形有( )个，第n个图形中空白正方形有( )个。 7．如图，用小棒摆图案，第1个图用9根小棒，第2个图用14根小棒，第3个图用19根小棒，……，按这样的规律继续摆，第15个图用( )根小棒。 8．下面的图形是按一定的规律摆成的。 按照这样的规律继续摆下去，第n幅图中有( )个黑色方块。 9．如下图，美术课上，思思用小棒搭房子，搭一间房子用5根小棒，两间房子用9根小棒，三间房子用13根小棒，照这样搭法用97根小棒可以搭( )间房子，搭n间房子要用( )根小棒。（用含有字母的式子表示） 10．“长桌宴”是侗寨接待客人的最高礼节，每当有尊敬的客人到侗寨，各家便会拼成长条桌，拼菜成席，共同款待客人，长桌的拼摆方式及座位如下图。 (1)照这样的方式拼摆下去，4张桌子拼在一起可以坐( )人，n张桌子拼在一起可坐( )人。 (2)利用上面的式子算一算，当n＝8时，一共可以坐( )人。 (3)要接待一个90人的旅游团，请你帮寨主算一算，需要将( )张长桌拼在一起。 对应应用题 11．用摆图案，第个图形一共需要多少个？ 12．一张三角形的餐桌可以坐6人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： 像这样4张餐桌可以坐多少人？n张餐桌呢？ 13．下图是用棋子摆成的字母“H”。 (1)摆成第一个“H”需要多少颗棋子？摆成第二个“H”需要多少颗棋子？ (2)按这样的规律摆下去，摆成第十个“H”需要多少颗棋子？第n个呢？ 14．东东用圆片按照规律摆图形（如图）。摆图n要用多少个圆片呢？ (1)我会研究：画一画、数一数、填一填，试着找出其中的规律。 图形 图① 图② 图③ 图④ … 图n 圆片个数 5 … (2)我会推理：按照规律，求时，共用多少个圆片。 15．一堵围墙贴瓷砖进行装饰，如图所示：图①是贴完第1组瓷砖后的图案，用了4小块灰色小方砖；继续往下贴第2组瓷砖图案（如图②），此时2组图案一共用了7块灰色小方砖；继续往下贴，如图③…… (1)照这样的规律贴上第4组瓷砖后，一共用多少块灰色的小方砖？请你在上面图③上接着画一画，或者写一写，表示出你的解答过程。 (2)小冬说：当按照这样的规律贴到第8组瓷砖，一共有25块灰色小方砖。这种说法对吗？请你说明理由。 (3)如果贴到第n组，那么一共需要多少块灰色的小方砖？ (4)当n＝20，请根据第（3）题的式子，计算出一共需要多少块灰色的小方砖。 16． (1)上图中，摆1个五边形需要( )根相同的小棒，摆2个需要( )根相同的小棒，摆3个需要( )根相同的小棒。 (2)照这样摆下去： ①摆80个五边形需要多少根相同的小棒？ ②265根相同的小棒可以摆多少个五边形？ 17．探索与发现：奇思想研究摆图形的规律，他用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。 (1)按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。    (2)按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 (3)你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 18．观察下面正方形的变化情况，找出规律。 (1)按照图形的变化规律把表格补充完整。 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 直角三角形的个数 0 4 8 … (2)按照上面的画法，画第10个正方形时能得到( )个直角三角形。 (3)画n个正方形能得到( )个直角三角形。 (4)如果第1个正方形的面积是256平方分米。按照上面的画法，所画出的第6个图形中最小正方形的面积是多少？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】第个图形需要根木棒，第个图形需要根木棒，第个图形需要根木棒。第个图形需要根木棒，第个图形比第个图形多根木棒，第个图形比第个图形多根木棒。第个图形比第个图形多根木棒。 第个图形需要小棒数量： 第个图形需要木棒数量： 第个图形需要木棒数量： 第个图形需要木棒数量： 第 个图形需要木棒数量： 【详解】第个图形需要木棒数量：根 第个长方形需要： （根） 2． 19 2n＋1 21 【分析】由图可知：摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形时因为共用一条边，只用5根，摆3个三角形用7根，每多摆1个就多2根，对比发现：3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，由此推出摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒，再把小棒总数43代入，令2n＋1＝43，列方程求出三角形的个数。 【详解】摆9个三角形：2×9＋1 ＝18＋1 ＝19（根） 摆n个三角形：2×n＋1＝（2n＋1）根 2n＋1＝43 解：2n＋1－1＝43－1 2n＝42 2n÷2＝42÷2 n＝21 3． 18 3n＋3 【分析】第1幅图：6个； 第2幅图：6＋3＝9（个）； 第3幅图：6＋3＋3＝12（个） …… 第n幅图：6＋3×（n－1）＝3n＋3。 【详解】第5幅图中圆片的个数：3×5＋3＝18（个） 第n幅图中圆片的个数：3n＋3。 4． 26 5n＋1 【分析】第一个六边形需要6根小棒，每增加一个六边形需要增加5根小棒，以此规律进行计算即可。 【详解】5个六边形： 6＋5＋5＋5＋5＝26（根） n个六边形：第一个六边形需要6根小棒，后面的（n－1）个六边形都是5根小棒 6＋5（n－1） ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 5． 6 11 16 【分析】可以通过数前3个图形的小棒数量，找相邻图形的数量变化规律来推导通项： 先逐个计数给出的前3个图形的小棒数；观察每增加1个图形单元时新增的小棒数量，发现除了第一个正六边形用6根小棒外，后续每多拼1个六边形，都会和前一个图形共用1根小棒，因此只需要新增5根小棒；基于这个递推规律，整理出第n个图形的小棒总数表达式。 【详解】第1个图形是单独的正六边形，直接数得小棒数量为6根； 第2个图形是两个相连的六边形，两个独立六边形原本共12根小棒，但拼接处共用了1根小棒，总数为（根）； 第3个图形是三个相连的六边形，在第2个图形11根的基础上，新增第三个六边形同样只需要加5根小棒，总数为（根）。 推导第n个图形的通项公式 ： 第1个图形： 第2个图形： 第3个图形： 摆第n个图形需要的小棒数为根。 最终填空结果（从左到右、按题干空的顺序）：摆第n个图形需要根小棒；前三个图形依次是6根、11根、16根。 6． 6 2n＋8/8＋2n 【分析】由图可知，第1个图形中共有正方形3×4个，涂色的有2个，空白的有3×4－2个； 第2个图形中共有正方形3×5个，涂色的有3个，空白的有3×5－3个； 第3个图形中共有正方形3×6个，涂色的有4个，空白的有3×6－4个； …… 第n个图形中共有正方形3×（n＋3）个，涂色的有（n＋1）个，空白的有3×（n＋3）－（n＋1）个。 【详解】根据规律，第5个图形中涂色正方形有5＋1＝6（个） 空白的有： 3×（n＋3）－（n＋1） ＝3n＋9－n－1 ＝3n－n＋9－1 ＝（3n－n）＋（9－1） ＝2n＋8（个） 7．79 【分析】观察小棒根数规律。第1个图9根，第2个图14根，第3个图19根。每次增加5根。第n个图小棒根数＝9＋（n－1）×5。化简为5n＋4。第15个图代入n＝15计算。 【详解】规律：9＋（n－1）×5 ＝9＋5n－5 ＝5n＋4（根） 第15个图：5×15＋4 ＝75＋4 ＝79（根） 8．4n＋1 【分析】先数出前3幅图的黑色方块数量，第一幅图有5个黑色方块，写成算式是（4×1＋1）个；第二幅图有9个黑色方块，写成算式是（4×2＋1）个；第三幅图有13个黑色方块，写成算式是（4×3＋1）个，据此找出规律。 【详解】第1幅图：黑色方块一共5个，也就是 4×1＋1 ＝4＋1 ＝5（个） 第2幅图：黑色方块一共9个，也就是 4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 第3幅图：黑色方块一共13个，也就是 4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 可以发现规律：每多拼1个菱形图案，就会新增4个黑色方块，因此第n幅图的黑色方块数就是 （4n＋1）。 9． 24 1＋4n 【分析】搭一间房子用5根小棒，5＝1＋4，搭两间房子用9根小棒，9＝1＋4×2，搭三间房子用13根小棒，13＝1＋4×3，也就是每多搭一间房子，需要多用4根小棒，由此得出搭n间房子要用（1＋4n）根小棒。根据规律求出97根小棒能搭几间房子，据此解答。 【详解】（97－1）÷4 ＝96÷4 ＝24（间） 思思用小棒搭房子，搭一间房子用5根小棒，两间房子用9根小棒，三间房子用13根小棒，照这样搭法用97根小棒可以搭24间房子，搭n间房子要用（1＋4n）根小棒。 10．(1) 18 4n＋2/2＋4n (2)34 (3)22 【分析】（1）如图， 1张桌子可以坐1×4＋2＝6（人），2张桌子可以坐2×4＋2＝10（人），3张桌子可以坐3×4＋2＝14（人），每加一张桌子可以多坐4人。那么可以推测，4张桌子拼在一起可以坐4×4＋2＝18（人），n张桌子拼在一起可以坐（n×4＋2）人。化简即可。 （2）将n＝8代入式子计算即可。 （3）根据问题（1）用90减去2的结果再除以4即可算出需要将几张长桌拼在一起。 【详解】（1）4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（人） 4×n＋2＝4n＋2 所以，4张桌子拼在一起可以坐18人，n张桌子拼在一起可坐（4n＋2）人。 （2）当n＝8时 4n＋2＝4×8＋2＝32＋2＝34（人） 当n＝8时，一共可以坐34人。 （3）90－2＝88（人），88÷4＝22（张） 要接待一个90人的旅游团，请你帮寨主算一算，需要将22张长桌拼在一起。 11．（3n＋1）个 【分析】 观察图形可知，第①、②、③个图形分别需要4个、7个、10个，发现：每增加一个图形，的数量增加3个，据此发现规律，并用含字母的式子表示规律。 【详解】观察图形可知： 第①个图形需要4个，4＝3×1＋1； 第②个图形需要7个，7＝3×2＋1； 第③个图形需要10个，10＝3×3＋1； …… 规律：第个图形一共需（3n＋1）个。 答：第个图形一共需要（3n＋1）个。 12．12人；（2n＋4）人 【分析】由图分析知： 1张餐桌可坐6人，6＋0＝6＋2×0＝6＋2×（1－1） 2张餐桌可坐的人数为6＋2＝6＋2×1＝6＋2×（2－1）； 3张餐桌可坐的人数为6＋4＝6＋2×2＝6＋2×（3－1）； 4张餐桌可坐的人数为6＋6＝6＋2×3＝6＋2×（4－1）； …… 根据规律得到n张餐桌可坐人数为：6＋2×（n－1）＝2n＋4。 【详解】根据规律得到n张餐桌可坐人数为：6＋2×（n－1）＝（2n＋4）人 当n＝4时，2×4＋4 ＝8＋4 ＝12（人） 答：像这样4张餐桌可以坐12人，n张餐桌可坐人数为：（2n＋4）人。 13．(1)颗；颗 (2)颗；颗 【分析】先逐个计数前三个“”的棋子数量，得到前两项的数值，以此作为后续找规律的基础。 （）先直接数出第一个、第二个“”的棋子数量，得到前两项的具体数值； （）观察发现，从第二个“”开始，每多摆一个“”，棋子数量增加颗； （）第一个“”有颗棋子，可表示为； （）第二个“”有颗棋子，可表示为； （）第三个“”有颗棋子，可表示为； （）以此类推，可总结出规律，第个“ ”有颗棋子，可表示为颗，再代入计算第十个的棋子数。 【详解】（1）答：摆成第一个“”需要颗棋子，摆成第二个“”需要颗棋子。 （2）第个“”的棋子数：颗 当时， （颗） 答：摆成第十个“”需要颗棋子。第个“”有颗棋子。 14．(1) 图形 图① 图② 图③ 图④ … 图n 圆片个数 5 9 13 17 … 4n＋1 (2)101个 【分析】（1）将每个图形最中间的圆片固定，则图①需要的圆片个数为1个4再加上1，即，图②需要的圆片的个数为2个4再加上1，即，图③需要的圆片个数为3个4再加上1，即，依此类推，图④需要的圆片的个数为4个4再加上1，即，图n需要的圆片的个数为n个4再加上1，即。 （2）根据规律，将代入进行计算，求出需要的圆片数量。 【详解】（1）图②需要的圆片的个数： （个） 图③需要的圆片个数： （个） 图④需要的圆片的个数： （个） 图n需要的圆片的个数： 个 填表如下： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 图n 圆片个数 5 9 13 17 … 4n＋1 （2）将代入得： （个） 时，共用101个圆片。 15．(1) 13块； (2) 对；理由：一共需要的小方砖块数组数；当贴到第组时，总块数是：（块），计算结果为25块，与小冬的说法一致，所以说法正确。 (3) 块； (4) 61块； 【分析】（1）先对比第1组、第2组和第3组的灰色砖数量，得出“每增加1组，灰色小方砖增加3块”的规律，再根据这个规律画出第4组； （2）观察可知，一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1；当贴到第8组时，把组数代入即可确认小冬的说法是否正确； （3）一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，如果贴到第n组，把n代入就可以计算出一共需要多少块灰色的小方砖； （4）将代入（3）中的式子，计算出结果即可。 【详解】（1）画图略； 第1组用了4块，第2组用了7块，第3组用了10块， （块），（块），每增加1组，灰色小方砖增加3块， 所以第4组的块数是：（块） 答：一共用13块灰色的小方砖。 （2）一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，当贴到第8组时，需要的块数是： （块） 答：小冬的说法正确。理由：一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，当贴到第8组时，需要的块数是块。 （3）一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，当组数为n时，需要的块数是：（块） 答：一共需要块灰色的小方砖。 （4） （块） 答：一共需要块灰色的小方砖。 16．(1) (2)①根 ②个 【分析】（）先观察图形特征，数出摆个、个、个五边形分别对应的小棒数量，突破口是找到每多摆个五边形时小棒数量的增加规律，根据前个的小棒数量，推导摆个五边形时小棒数量的通用表达式，因为相邻两个五边形会共用根小棒，所以每新增个五边形仅需新增根小棒，以此推导通项公式， （）将代入通项公式计算对应小棒数量。 （）令通项公式等于，解方程得到对应的五边形个数。 【详解】（1）摆个五边形需要 根小棒，即： （根） 摆个五边形需要根小棒，即： （根） 摆个五边形需要根小棒，即： （根） 摆个五边形需要的小棒根数： 根 （2）① （根） 答：摆80个五边形需要321根相同的小棒。 ② 解： 答：265根相同的小棒可以摆66个五边形。 17．(1) (2)摆第10幅图需要41个圆片，4×10＋1＝41（个） (3)第幅图需要小圆片的个数为4n＋1个。 【分析】探索图形规律，先数出每一幅图小圆片的数量，观察前后图形数量的变化，找出数量关系，再利用规律画图、计算。 第1幅：5个圆片；第2幅：9个圆片；第3幅：13个圆片。每往后一幅图，增加4个小圆片。 【详解】（1）略 （2）第1幅：4×1＋1＝5（个） 第2幅：4×2＋1＝9（个） 第3幅：4×3＋1＝13（个） 摆第10幅： 4×10＋1＝41（个） 答：摆第10幅图需要41个圆片。 （3）每一幅图圆片的数量等于图的序号乘4再加1；每增加一幅图，就增加4个小圆片；规律：摆第n幅图，需要4n＋1个小圆片。 18．(1) 正方形的个数 1 2 3 4 5 … 直角三角形的个数 0 4 8 12 16 … (2)36 (3)4n－4 (4)8平方分米 【分析】（1）从表格的数据中发现，每增加一个正方形，直角三角形的个数就增加4个，据此将表格补充完整。 （2）根据上一题发现的规律，用第5个正方形时能得到直角三角形的个数加上5个4，得出画第10个正方形时能得到直角三角形的个数。 （3）观察图形可知： 画第1个正方形能得到0个直角三角形，0＝4×1－4； 画第2个正方形能得到4个直角三角形，4＝4×2－4； 画第3个正方形能得到8个直角三角形，8＝4×3－4； 画第4个正方形能得到12个直角三角形，12＝4×4－4； 画第5个正方形能得到16个直角三角形，16＝4×5－4； 据此用含字母n的式子表示规律。 （4）每增加一个正方形，最小正方形的面积变为前一个最小正方形面积的一半。第2个图形中最小正方形的面积是初始正方形面积÷2得到，第3个图形中最小正方形的面积是初始正方形面积÷2÷2得到……，所以，第6个图形中最小正方形的面积是初始正方形面积÷2÷2÷2÷2÷2得到。 【详解】（1）画第4个正方形能得到直角三角形的个数：8＋4＝12（个） 画第5个正方形能得到直角三角形的个数：12＋4＝16（个） （2）画第10个正方形能得到直角三角形有： 16＋4＋4＋4＋4＋4＝36（个） （3）画n个正方形能得到（4n－4）个直角三角形。 （4）256÷2÷2÷2÷2÷2＝8（平方分米） 答：所画出的第6个图形中最小正方形的面积是8平方分米。 答案第1页（共2页） 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $