精品解析：陕西铜川市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

铜川市一中2026-2027学年度第一学期高二年级（2028届） 第一次月考数学试题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 做投掷一颗骰子的试验，观察骰子出现的点数，则事件“出现奇数点”用集合表示为（ ） A. B. C. D. 2. 直线过第一、二、三象限，则(　 ) A. a＞0，b＞0 B. a＞0，b＜0 C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0 3. ，两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为0.8．若采用三局两胜制举行一次比赛，采用随机模拟的方法估计获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示获胜；8，9表示获胜，这样能体现获胜的概率为0.8．因为采用三局两胜制，所以每3个随机数为一组．例如，产生30组随机数： 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计，获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球 C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球 6. 已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 10. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ） A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D. 小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 11. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13. 与直线关于点对称的直线方程是_________. 14. 设，求的最小值是__． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某数学兴趣小组有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，．现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛． （1）写出样本空间所包含的样本点； （2）求参赛学生中恰好有1名男生的概率； （3）求参赛学生中至少有1名男生的概率． 16. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边和所在直线的方程，并化为一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的方程，并化为一般式方程； （3）求边上的中垂线的方程，并化为一般式方程． 17. 已知直线经过点． （1）若原点到直线的距离为1，求直线的方程，并化为一般式方程； （2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，求的最小值，并求此时直线的一般式方程． 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； （2）若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值. 19. 已知光线通过点，经直线：反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在直线的方程，并化为一般式方程； （2）在直线上求一点，使； （3）若点在直线上运动，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市一中2026-2027学年度第一学期高二年级（2028届） 第一次月考数学试题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 做投掷一颗骰子的试验，观察骰子出现的点数，则事件“出现奇数点”用集合表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】骰子六个面的数字分别为：，其中奇数有，所以事件“出现奇数点”用集合表示为. 2. 直线过第一、二、三象限，则(　 ) A. a＞0，b＞0 B. a＞0，b＜0 C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出直线过第一、二、三象限的简图，通过与坐标轴交点的位置，即可判断参数的符号，得出结果. 【详解】由题意可作出直线的简图： 由图像可知纵截距大于，横截距小于0，所以. 故选C. 【点睛】本题考查直线的位置与直线方程截距式中参数的关系，根据与坐标轴交点确定截距参数的符号. 3. ，两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为0.8．若采用三局两胜制举行一次比赛，采用随机模拟的方法估计获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示获胜；8，9表示获胜，这样能体现获胜的概率为0.8．因为采用三局两胜制，所以每3个随机数为一组．例如，产生30组随机数： 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计，获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由30组随机数，采用三局两胜制得到获胜的有698，959，共两组，用频率估计获胜的概率近似为. 4. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义可得斜率. 【详解】∵直线的一个方向向量为， ∴直线的斜率为. 故选：B. 5. 在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球 C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，至少摸出个白球与摸出个白球个红球不是互斥事件； 对于B，至少摸出个红球与摸出个白球个红球不是互斥事件； 对于C，摸出个白球与摸出个白球个红球是互斥而不对立事件； 对于D，摸出个白球或摸出个红球与摸出个白球个红球是互斥也是对立事件. 故选：C． 6. 已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，利用平行线之间的距离公式即可求解． 【详解】已知直线，互相平行， 所以，解得，所以的方程为， 因为、之间的距离为，所以，解得或， 当时，；当时，. 综上所述，. 7. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 8. 已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线方程一般式求出斜率及倾斜角可判断A，B选项；将直线化为截距式可判断C，D选项. 【详解】由直线，得，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 所以直线的倾斜角为，故AB错误； 令，得，所以直线在轴上的截距为，故C正确； 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故直线不经过第一象限，故D正确. 故选：CD. 10. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ） A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D. 小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】ACD 【解析】 【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件． 【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平 对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况， 所以游戏不公平 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平． 故选：ACD． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题． 11. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【解析】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意，选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，每种选法可标记为， 分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，， 共6种.其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有2种，故所求概率为. 故答案为： 13. 与直线关于点对称的直线方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线对称得，由此设直线的方程，再利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等， 设直线为，则，解得或（舍去）， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 14. 设，求的最小值是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据的表达式可知，其几何意义表示直线上一点到点和点的距离之和，根据“将军饮马”模型求解即可. 【详解】根据题意可得， 表示直线上一点到点和点的距离之和， 点关于直线的对称点为， 则满足解得； 所以点关于直线的对称点为，如下图所示： 则 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某数学兴趣小组有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，．现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛． （1）写出样本空间所包含的样本点； （2）求参赛学生中恰好有1名男生的概率； （3）求参赛学生中至少有1名男生的概率． 【答案】（1） ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，用有序实数对一一列举即可求解. （2）根据古典概型的概率计算公式即可求解. （3）根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 根据题意，用有序实数对来表示选出学生的情况，由列举法表示. 【小问2详解】 由（1）可得，参赛学生中恰好有一名男生的情况如下： 共6种情况， 因此参赛学生中恰好有一名男生的概率为. 【小问3详解】 参赛学生中没有男生的情形是，共1种情况， 因此参赛学生中没有男生的概率为， 由对立事件的概率公式可得： 参赛学生中至少有一名男生的概率为： . 16. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边和所在直线的方程，并化为一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的方程，并化为一般式方程； （3）求边上的中垂线的方程，并化为一般式方程． 【答案】（1）直线方程：；直线方程：； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据截距式直接求解所在直线的方程，根据两点式求所在直线的方程； （2）先求得中点的坐标为，再结合两点式方程求解即可； （3）根据斜率公式与垂直直线的斜率关系求得边上的中垂线的斜率为，再结合点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 由截距式，得边所在直线的方程为，即． 由两点式，得边所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由题意，得点的坐标为， 由两点式，得所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 由，得边上的中垂线的斜率为． 又的中点坐标为，由点斜式， 得边上的中垂线的方程为，即． 17. 已知直线经过点． （1）若原点到直线的距离为1，求直线的方程，并化为一般式方程； （2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，求的最小值，并求此时直线的一般式方程． 【答案】（1）或 （2）4， 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可； （2）根据题意，设直线方程为，进而结合题意求得横纵截距，及的范围，再结合基本不等式求解面积即可. 【小问1详解】 解：因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，直线到原点的距离为1，满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得． 此时，直线为 所以直线的方程为或． 【小问2详解】 解：由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到． 由题知，，得到． ， 当且仅当，即时取等号， 所以，的最小值为，此时直线方程为． 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； （2）若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别设出甲、乙在两轮活动中猜对1个，2个成语的事件，并求出各自的概率，将“在两轮活动中猜对3个成语”的事件用以上事件表示，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）分别表示或求出甲、乙在两轮活动中猜对0个，1个，2个成语的事件的概率，根据题设条件，表示出“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率，列出方程，求解即得. 【小问1详解】 设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件. 根据独立性假定，得，.，. 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 【小问2详解】 由（1）知甲两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，， 乙两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，， 因为甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响， 所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为， 整理得，又因为，所以. 19. 已知光线通过点，经直线：反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在直线的方程，并化为一般式方程； （2）在直线上求一点，使； （3）若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用光的反射原理，入射光线上的点关于反射面（直线）的对称点，一定在反射光线所在的直线上，因此，可以通过求点关于直线的对称点，再结合已知点求出反射光线所在直线方程； （2）由，说明点在线段的垂直平分线上，同时点在直线上，因此求直线与线段垂直平分线的交点即可； （3）利用两点间距离公式，将转化为关于点到线段中点的距离，结合点在直线上的条件，由到直线的距离求出最小值. 【小问1详解】 如图所示，设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点，所以其方程为，即， 由和联立，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，，所以， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得：直线方程为，即反射光线所在直线的方程为． 【小问2详解】 设线段的垂直平分线为，因为，所以点在直线上， 又因为点在直线上，所以点为直线与交点， 由，的坐标可知，线段中点， 直线斜率为，所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为，即． 与直线的方程联立，解方程组得点坐标为. 【小问3详解】 设点坐标为，令， 则， 当且仅当最小时，取得最小值，此时且．即点到线段中点的距离最小， 因为点在直线上，所以点是点在直线上的射影，此时是点到直线的距离， 由点到直线距离公式得．所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $