精品解析：福建莆田市城厢区莆田第五中学2026-2027学年 八年级上学期第一次数学学情自测

2026-2027学年莆田五中八年级上学期第一次月考考试卷 数学试题 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，作的边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，是的中线．若的面积是12，则的面积是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 7. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 9. 三个全等三角形按如图所示摆放，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，手机支架采用了三角形结构，这是利用三角形的___________． 12. 如图，中分别是的角平分线且相交于O点，则的度数为_______． 13. 中，若，则_________． 14. 如图，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长度为________． 15. 如图，AD是的中线，已知的周长为25cm，AB比AC长6cm，则的周长为______cm． 16. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 已知是的三边，化简：． 18. 如图，中，是角平分线，是高线，，，求的度数． 19. 如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 20. 如图，点F，C在上，，，，求证： 21. 如图，在中，点在边上，连结并延长至点，连结，，． （1）若的面积为12，求的面积； （2）若，，求的度数． 22. 如图，为外部一点，连接，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； （3）求． 23. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得的长为；当小球摆到位置时，与恰好互相垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得的长为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中，点B和点C的高度差． 24. 综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 （1）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 （2）如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； （3）如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年莆田五中八年级上学期第一次月考考试卷 数学试题 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用较小两边之和大于第三边即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项A不符合题意； B、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项B不符合题意； C、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项C不符合题意； D、因为，不满足三边关系，不能构成三角形，所以选项D符合题意． 2. 如图，作的边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点C出发，引向对边的垂线段，据此，符合题意的是； 故选D． 3. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质即可求解，根据对应边找出对应角是解题的关键 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：． 4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角的作法，理解作法的依据是关键；根据作法过程即可作出判断． 【详解】解：由作法知：，， ∴， ∴， 即； 故选：B． 5. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，作， 由题意，，， ∴， ∴， ∴ 6. 如图，是的中线，是的中线．若的面积是12，则的面积是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据的面积是12，三角形中线将三角形面积两等分，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的中线及三角形面积公式，掌握三角形的中线将三角形面积两等分是解题的关键． 7. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 8. 如图，中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，可知和的关系，进而通过线段和差求解． 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 【详解】解：是的平分线， , , , ， ,, 在和中， , ． 故选：． 9. 三个全等三角形按如图所示摆放，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理，角度计算．根据题意利用全等三角形性质和三角形内角和定理即可得出本题答案． 【详解】解：∵三个全等三角形按如图所示摆放， ∴， 故选：B． 10. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由证明得出，，①正确； 由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确； 作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确； 由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示： 则， 在和中， ， ， ， 平分，④正确； ， 当时，才平分， 假设 ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 与矛盾， ③错误； 综上所述，正确的是①②④； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，手机支架采用了三角形结构，这是利用三角形的___________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的特性解答即可． 【详解】解：三角形具有稳定性，手机支架采用三角形结构，正是利用了三角形的稳定性． 12. 如图，中分别是的角平分线且相交于O点，则的度数为_______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理先求出与的和，再根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形的内角和求出． 【详解】解：， ． ，分别是和的平分线， ． ， ． 故答案为： 13. 中，若，则_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质建立等式求解． 根据三角形内角和定理得到，再结合已知条件，代入求解． 【详解】在中，， 又已知， 将代入到中， 可得， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长度为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等推出，即可求出BC的长． 【详解】解：， 故答案为：8． 15. 如图，AD是的中线，已知的周长为25cm，AB比AC长6cm，则的周长为______cm． 【答案】19 【解析】 【详解】试题分析：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）-（AC+BD+CD）=AB-AC，∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD周长为：25-6=19cm． 考点：三角形的中线定义 点评：该题考查三角形中线的性质，根据周长之间的关系求出线段的差，从而根据三角形周长公式求出所求. 16. 已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据和化简，得到与的关系式，再利用三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：，， ， ， ， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，可得，代入已知条件得，整理得， 拆分为不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 验证： ， ，恒成立， 因此， 代入， 可得． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 已知是的三边，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角形三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，可得： ， ，移项可得； ， 原式 ． 18. 如图，中，是角平分线，是高线，，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线定义，三角形外角性质，三角形高的定义，由三角形高性质可得，，，则有，然后通过角平分线定义和三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是高线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【答案】 证明： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 先证明，根据即可证明． 【详解】略 20. 如图，点F，C在上，，，，求证： 【答案】 证明：∵点在上，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 21. 如图，在中，点在边上，连结并延长至点，连结，，． （1）若的面积为12，求的面积； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，又由得到，即可得到； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质得到，，利用角的和差即可得到的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 22. 如图，为外部一点，连接，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； （3）求． 【答案】（1）解：如图，点M即为所求． （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以； （2）①根据（1）中的尺规作图，可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，数形结合表示出计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①通过作图可以得到：； ②结合作图得， 又∵， ∴判定的依据是； 【小问3详解】 解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ ． 23. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得的长为；当小球摆到位置时，与恰好互相垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得的长为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中，点B和点C的高度差． 【答案】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）通过证明即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质得到的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴点B和点C的高度差为． 24. 综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 （1）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 （2）如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； （3）如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 【答案】（1）A； （2）； （3）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形，． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． 根据重心的定义，作出的三条中线，三条中线的交点即为的重心； 根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； 把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，三条中线的交点是点， 的重心是点， 故选：A； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 线段中点的坐标是， 正方形的重心坐标为； 【小问3详解】 图略 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是,， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ，， ． 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $