4.4 等腰三角形 题型专练 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

青岛版（2024）八年级上册 4.4 等腰三角形 题型专练 【题型1】等腰三角形性质与判定 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（　 　） A．6 B．7 C．8 D．9 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CA延长线上一点，过点D作DE∥BC，交BA的延长线于点E，则AD＝__________ AE（填“＞、＝、＜”） 【举一反三2】如图，在中，，，的角平分线交于点. (1)是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接，是的垂直平分线吗？为什么？ 【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，BF⊥CD于点E，交AC于点F． （1）试说明∠BCD＝2∠ABF； （2）判断△BCF的形状，并说明理由． 【题型2】等边三角形的性质 【典例】如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1=20°，则∠2的度数为 （      ）  A．60° B．45° C．40° D．30° 【举一反三1】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为__________ ． 【举一反三2】如图，在等边△ABD中，作BC⊥AB，交AD的延长线于点C．试说明CD＝BD． 【举一反三3】如图，等边的边长为，点P在边上以每秒的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线上以每秒的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示线段长度：__________ ，__________ ； (2)当t为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点M，请问是否存在点M为线段中点的情况？若存在，请求出此时的t值和的长度；若不存在，请说明理由． 【题型3】等边三角形的判定 【典例】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【举一反三1】在△ABC中，如果只给出∠A＝60°，还不能判断△ABC是等边三角形，给出下面四种说法：①如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果再加上条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果再加上条件“D为BC中点且AD⊥BC”，那么△ABC是等边三角形；④如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，那么△ABC是等边三角形；其中能判断△ABC是等边三角形的有（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三2】如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是__________． 【举一反三3】一个三角形一边上的中线和另一边上的高所在直线分别是这个三角形的对称轴，则这个三角形是__________三角形． 【举一反三4】如图所示，在中，. (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形. 【举一反三5】如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． (1)是等边三角形． (2)． 【题型4】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【举一反三1】如图，在中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，连接、、、，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件__________ ．（只需填上一个即可） 【举一反三3】如图，已知在中，，. (1)尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若于点D，，求的长. 【举一反三4】如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH． （1）请说出AD＝BE的理由； （2）试说出△BCH≌△ACG的理由； （3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 【题型5】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB⊥AD，AD=4cm，则BC的长为（ ） A．8cm B．4cm C．12cm D．6cm 【举一反三1】如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝6，则AB的长为（　　） A．6 B．12 C．6 D．9 【举一反三3】如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC于点E．若CD的长度为6cm，则点D到BC的距离为 __________cm． 【举一反三4】如图，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠A＝30°，AC＝b，CD＝a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB＝c，则下列说法正确的是 __________．（填序号） ①△BCD是等边三角形； ②a+c＜b； ③a＝c； ④b＝2a． 【举一反三5】(人教课本P84练习T1)在 中, 和 各是多少度? 边 与 之间有什么关系? 【举一反三6】如图，已知，是的平分线，点B，D分别在射线上. (1)【初步尝试】如图①，当时，求证：； (2)【深入探究】如图②，当时，求证：； (3)【综合应用】如图③，当时，点P是延长线上的一点，连接，若，请直接写出三条线段的数量关系. 【题型6】等腰直角三角形的性质与判定 【典例】已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，若，则m是（　 　） A．直角边AC的长 B．AB边上的中线的长 C．斜边AB的长 D．BC边上的中线的长 【举一反三1】如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止.设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A． B．4 C．8 D．16 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③AD+CF＝BD；④．其中正确的是（　 　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【举一反三3】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则__________ ． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴上，点，，都在直线上，并且，，，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________ ． 【举一反三5】已知：如图，在和中，， 且点，点，点在一条直线上. (1)求证： (2)若，判断的形状，并说明理由. 【题型7】两腰相等 【典例】一个等腰三角形的一边长为，周长为，这个等腰三角形的腰长是（ ） A． B． C．或 D． 【举一反三1】如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数：__________ ． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 __________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 【举一反三3】如图，已知在△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数. 【题型8】等边对等角 【典例】若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为__________ . 【举一反三2】有一副直角三角板ABC、DEF，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°．如图，将三角板DEF的顶点E放在AB上，移动三角板DEF，当点E从点A沿AB向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．若直线DF与直线AB交于点M，当△MEF为等腰三角形时，则∠ACE的度数为 __________. 【举一反三3】如图，在△ABC中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连结BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，求∠BDE的度数． 【题型9】三线合一 【典例】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC.工程人员这种操作方法的依据是 A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【举一反三1】如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】在△ 中,,点 在 边上，连接 ,若△ 为直角三角形，则 的度数是_____。 【举一反三4】在中，，，D为边上一点，点F是射线上一点，与射线相交于点E，点G是的中点，若，则__________ ． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF. (1)试说明：△ADE≌△ADF； (2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数. 【举一反三6】如图，在中，，F是延长线上一点，，于点D，交于点E， (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D是斜边的中点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于点G，若，，求的面积． 【题型10】等腰三角形性质的实际应用 【典例】如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A．13 B．14 C．15 D．16 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，DF垂直平分CG，∠FDC＝42°，则∠AGE的度数为（　 　） A．68° B．69° C．72° D．74° 【举一反三2】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D，E是BC上两点，∠ADE＝∠AED，延长AE至点F，使AF＝AC，已知∠BAD＝20°，则∠EFC的度数为 __________． 【举一反三3】(人教课本P85习题T9)上午 8 时，一条船从海岛 出发，以 的速度向正北航行,10 时到达海岛 处.从 望灯塔 ,测得 .求海岛 与灯塔 的距离. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA． （1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数； （2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数； （3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果． 【题型11】用定义判定等腰三角形 【典例】△ABC中，AD是中线，点D到AB，AC的距离相等，则△ABC一定是（　 　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【举一反三1】如图，C为两个直角三角板的公共顶点，∠A＝∠B＝30°，则图中等腰三角形共有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】题目：“如图，已知∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，OM＝x，MN＝2，P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围．”对于其答案，甲答：x＝0，乙答：0＜x＜2，丙答：2＜x＜4，则正确的是（　 　） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝__________时，△ABC为等腰三角形． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．写出图中三角形中所有的等腰三角形：__________． 【举一反三5】已知，如图，在△AOB中，点C在OA上，点E、D在OB上，且AB＝AD，CD∥AB，CE∥AD，问：△CDE是否为等腰三角形？为什么？ 【题型12】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 【典例】在平面直角坐标系中有点A（6，﹣1）和点O（0，0），若△ABO是等腰三角形，AO是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　 　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【举一反三1】在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 __________个． 【举一反三3】如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标__________ ；满足条件的点C一共有__________个． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点. (1)求一次函数的表达式： (2)当时，的取值范围是__________ ； (3)若一次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上（不包括坐标原点），且是等腰三角形.直接写出所有点的坐标. 青岛版（2024）八年级上册 4.4 等腰三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】等腰三角形性质与判定 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（　 　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME+EN， 即MN＝BM+CN． ∵BM+CN＝9 ∴MN＝9， 故选：D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CA延长线上一点，过点D作DE∥BC，交BA的延长线于点E，则AD＝__________ AE（填“＞、＝、＜”） 【答案】= 【解析】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠D＝∠C，∠B＝∠E， ∴∠D＝∠E， ∴AD＝AE， 故答案为：＝ 【举一反三2】如图，在中，，，的角平分线交于点. (1)是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接，是的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】(1)是等腰三角形， 理由是：∵， ∴， ∵，的角平分线交于点. ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)是的垂直平分线，理由： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵ ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线. 【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，BF⊥CD于点E，交AC于点F． （1）试说明∠BCD＝2∠ABF； （2）判断△BCF的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）过点C作CG⊥AB于点G， ∴∠DCG+∠CDG＝90°， ∵BC＝DC， ∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD， ∵BF⊥CD于点E， ∴∠ABF+∠CDG＝90°， ∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD， 即∴∠BCD＝2∠ABF； （2）如图，△BCF是等腰三角形， 理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB， ∴∠ACG＝45°， ∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF， ∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF， ∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BC＝BF， ∴△BCF是等腰三角形． 【题型2】等边三角形的性质 【典例】如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1=20°，则∠2的度数为 （      ）  A．60° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， 过C作CM∥直线a，如图. ∵直线a∥直线b， ∴直线a∥直线b∥CM， ∵∠ACB=60°，∠1=20°， ∴∠MCB=∠1=20°， ∴∠2=∠3=∠ACM=∠ACB-∠MCB=60°-20°=40°. 【举一反三1】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为__________ ． 【答案】 【解析】如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【举一反三2】如图，在等边△ABD中，作BC⊥AB，交AD的延长线于点C．试说明CD＝BD． 【答案】解：∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB，∠A＝∠ABD＝60°． ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴∠C＝∠CBD， ∴CD＝BD． 【举一反三3】如图，等边的边长为，点P在边上以每秒的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线上以每秒的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示线段长度：__________ ，__________ ； (2)当t为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点M，请问是否存在点M为线段中点的情况？若存在，请求出此时的t值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】(1)根据题意得，，； 故答案为：，； (2)∵，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ∴， ∴， 解得； 情况2：当时，， ∴， ∴， 解得． 因为点P到点B停止运动，所以t的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； (3)假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交AC于点D． 因为是等边三角形，，所以是等边三角形， ，则． 因为， 所以，． 又因为M是PQ中点， 所以， ∴， 则，． ∵，， 所以， ． 当时，，因为， 所以． 经检验，当时，Q在BC延长线上，PQ与AC交于点M，符合题意． 【题型3】等边三角形的判定 【典例】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【答案】C 【解析】因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形， 根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形． 故选：C． 【举一反三1】在△ABC中，如果只给出∠A＝60°，还不能判断△ABC是等边三角形，给出下面四种说法：①如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果再加上条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果再加上条件“D为BC中点且AD⊥BC”，那么△ABC是等边三角形；④如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，那么△ABC是等边三角形；其中能判断△ABC是等边三角形的有（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】①如果再加上条件“AB＝AC”， 则△ABC是等腰三角形，且∠A＝60° ∴△ABC是等边三角形，故①正确 ②如果再加上条件“∠B＝∠C”， 则△ABC是等腰三角形，且∠A＝60° ∴△ABC是等边三角形，故②正确 ③如果再加上条件“D为BC中点且AD⊥BC”， 根据“三线合一”可判断△ABC是等腰三角形，且∠A＝60° ∴△ABC是等边三角形，故③正确 ④如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”， 根据S△ABC＝AB×AB上的高＝AC×AC上的高， 可得AB＝AC，且∠A＝60°∴△ABC是等边三角形，故④正确 故选：D． 【举一反三2】如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是__________． 【答案】等边三角形 【解析】∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，a＝c，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形； 故答案为：等边三角形． 【举一反三3】一个三角形一边上的中线和另一边上的高所在直线分别是这个三角形的对称轴，则这个三角形是__________三角形． 【答案】等边三角形 【解析】如图所示，AD是边BC上的高，BE是边AC边上的中线 ∵AD，BE分别是三角形ABC的对称轴 ∴△ABD≌△ACD，△ABE≌△BCE ∴AB＝AC，AB＝BC ∴AB＝AC＝BC ∴△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形. 【举一反三4】如图所示，在中，. (1)尺规作图：在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，若，求证：是等边三角形. 【答案】(1)如图所示，点P即为所求； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. 【举一反三5】如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． (1)是等边三角形． (2)． 【解析】(1)平分， 【题型4】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】连接AB， 根据题意得：OB＝OA＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，连接、、、，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】如图，设交于点J. ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故③正确； 延长到T，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的是①②③④，共4个， 故选：D. 【举一反三2】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件__________ ．（只需填上一个即可） 【答案】或或或或（写一个即可） 【解析】是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或（写一个即可）． 【举一反三3】如图，已知在中，，. (1)尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若于点D，，求的长. 【答案】(1)点P即为所求作. (2)由所作知，，又， 是等边三角形， ， 于点D， . 【举一反三4】如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH． （1）请说出AD＝BE的理由； （2）试说出△BCH≌△ACG的理由； （3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 【答案】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形 ∴AC＝BC，EC＝DC ∠ACB＝∠ECD＝60° ∴∠ACD＝∠ECB ∴△ACD≌△BCE ∴AD＝BE； （2）∵△ACD≌△BCE ∴∠CBH＝∠CAG ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上 ∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60° 又∵AC＝BC ∴△ACG≌△BCH； （3）△CGH是等边三角形，理由如下： ∵△ACG≌△BCH ∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等） 又∵∠ACG＝60° ∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）； 【题型5】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB⊥AD，AD=4cm，则BC的长为（ ） A．8cm B．4cm C．12cm D．6cm 【答案】C 【解析】解：根据等腰三角形性质求出∠B=∠C=30°，求出∠BAC =120°，求出∠DAC=∠C，求出AD=DC=4cm，根据含30°角的直角三角形性质求出BD=2AD=8cm，即可求出BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm．故选C． 【举一反三1】如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝6，则AB的长为（　　） A．6 B．12 C．6 D．9 【答案】B 【解析】解：连接AM， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠C＝30°， ∵M为BC的中点， ∴AM⊥BC， ∴AB＝2AM， ∵BE⊥BC， ∴∠AMD＝∠EBD＝90°， ∵D为BM的中点， ∴DM＝DB， 在△AMD和△EBD中， ， ∴△AMD≌△EBD（ASA）， ∴AM＝BE＝6， ∴AB＝12. 故选：B． 【举一反三3】如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC于点E．若CD的长度为6cm，则点D到BC的距离为 __________cm． 【答案】3． 【解析】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F， ∵CD是等边△ABC的中线， ∴CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝30°， ∵CD＝6cm， ∴DF＝3cm， ∴点D到BC的距离为3cm， 故答案为：3． 【举一反三4】如图，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠A＝30°，AC＝b，CD＝a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB＝c，则下列说法正确的是 __________．（填序号） ①△BCD是等边三角形； ②a+c＜b； ③a＝c； ④b＝2a． 【答案】①③． 【解析】解：∵ACD＝90°，∠A＝30°， ∴∠D＝90°﹣30°＝60°， 由题意知：BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形， 故①符合题意； ∵△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝a， ∴AD＝a+c， ∵AC⊥CD， ∴AC＜AD， ∴b＜a+c， 故②不符合题意； ∵ACD＝90°，∠A＝30°， ∴AD＝2CD＝2a， ∴c+BD＝2a， ∵BD＝a， ∴a＝c， 故③符合题意； ∵AD＝2a，AC＜AD， ∴b＜2a， 故④不符合题意． ∴说法正确的是①③． 故答案为：①③． 【举一反三5】(人教课本P84练习T1)在 中, 和 各是多少度? 边 与 之间有什么关系? 【答案】解　. 又∵, (或 ). 【举一反三6】如图，已知，是的平分线，点B，D分别在射线上. (1)【初步尝试】如图①，当时，求证：； (2)【深入探究】如图②，当时，求证：； (3)【综合应用】如图③，当时，点P是延长线上的一点，连接，若，请直接写出三条线段的数量关系. 【答案】(1)证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴； (2)证明：在上截取，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)解：，理由：作于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【题型6】等腰直角三角形的性质与判定 【典例】已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，若，则m是（　 　） A．直角边AC的长 B．AB边上的中线的长 C．斜边AB的长 D．BC边上的中线的长 【答案】B 【解析】如图，取AB边上的中点D，连接CD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝CD＝m，CD⊥AB， ∴△ABC的面积＝， ∴m是AB边上的中线的长， 故选：B． 【举一反三1】如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止.设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为16，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：B. 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③AD+CF＝BD；④．其中正确的是（　 　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝45°， ∴∠DCB＝45°， ∴△BDH为等腰直角三角形， ∵CD⊥AB，∠ABC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形． ∴BD＝CD． 故①正确； 连接CG． ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD 又DH⊥BC， ∴DH垂直平分BC， ∴BG＝CG， 在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边， ∴CE＜CG， ∵CE＝AE， ∴AE＜BG．故②错误． 在Rt△DFB和Rt△DAC中， ∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DCA． 又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD， ∴△DFB≌△DAC（ASA）． ∴BF＝AC；DF＝AD． ∵CD＝CF+DF， ∴AD+CF＝BD；故③正确； 在Rt△BEA和Rt△BEC中 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE． 又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）． ∴CE＝AE＝AC． 又由（1）可知：BF＝AC， ∴CE＝AC＝BF；故④正确； 故选：B． 【举一反三3】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则__________ ． 【答案】 【解析】如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴上，点，，都在直线上，并且，，，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________ ． 【答案】 【解析】在中，当时，， ∵，轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵与直线垂直， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】已知：如图，在和中，， 且点，点，点在一条直线上. (1)求证： (2)若，判断的形状，并说明理由. 【答案】(1)证明：， ， ， 又，， ； (2)解：由（1）可得， ， 是的外角， ， ∴， ， ∴是等腰直角三角形. 【题型7】两腰相等 【典例】一个等腰三角形的一边长为，周长为，这个等腰三角形的腰长是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】当等腰三角形的腰为时，则等腰三角形的底边为， 则三角形三边长分别为、、， ， 不能构成三角形， 当等腰三角形的底边为时，则等腰三角形的腰长为， 则等腰三角形的三边长分别为、、， ， 能构成三角形， 等腰三角形的腰长为7. 故选：B. 【举一反三1】如图，在中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数：__________ ． 【答案】或或 【解析】， ， 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，； 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 __________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 【答案】4或6 【解析】设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等， ∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝12厘米， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP， 即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x， 解得：x＝1或x＝2， x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4； x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 【举一反三3】如图，已知在△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数. 【答案】解　∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDA， ∵BD＝DC，∴∠CBD＝∠C， 设∠CBD＝∠C＝x，则∠BDC＝180°－2x， ∴∠A＝∠BDA＝180°－(180°－2x)＝2x， ∴∠ABD＝180°－4x， ∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝180°－4x＋x＝105°， 解得x＝25°，∴2x＝50°， 即∠A＝50°，∠C＝25°. 【题型8】等边对等角 【典例】若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或. 故选：D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为__________ . 【答案】100° 【解析】因为AC＝AE，BC＝BD， 所以设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°. 所以∠A＝180°－2x°，∠B＝180°－2y°. 因为∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，∠BDC＋∠AEC＋∠DCE＝180°， 所以∠ACB＋(180°－2x°)＋(180°－2y°)＝180°，180°－(x°＋y°)＝∠DCE， 所以∠ACB＋360°－2(x°＋y°)＝180°， 所以∠ACB＋2∠DCE＝180°. 因为∠DCE＝40°，所以∠ACB＝100°. 【举一反三2】有一副直角三角板ABC、DEF，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°．如图，将三角板DEF的顶点E放在AB上，移动三角板DEF，当点E从点A沿AB向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．若直线DF与直线AB交于点M，当△MEF为等腰三角形时，则∠ACE的度数为 __________. 【答案】15°或82.5° 【解析】根据题意可知∠F＝45°，∠DEF＝90°，∠A＝30°， ①EM＝FM时，如图： ∴∠MEF＝∠F＝45°， ∴∠CEB＝90°﹣45°＝45°， ∵∠A+∠ACE＝∠CEB， ∴∠ACE＝45°﹣30°＝15°； ②EF＝FM时，如图： ∴∠MEF+∠M＝45°， ∴∠MEF＝22.5°， ∴∠DEM＝90°+22.5°＝112.5°， ∵∠A+∠ACE＝∠DEM， ∴∠ACE＝112.5°﹣30°＝82.5°． 综上所述，∠ACE的度数为15°或82.5°． 故答案为：15°或82.5°． 【举一反三3】如图，在△ABC中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连结BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，求∠BDE的度数． 【答案】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－30°)＝75°. 由作图知，BE＝BD＝BC， ∴∠BDC＝∠ACB＝75°，∠BED＝∠BDE， ∴∠CBD＝180°－75°－75°＝30°，∴∠DBE＝75°－30°＝45°， ∴∠BDE＝∠BED＝(180°－45°)＝67.5°. 【题型9】三线合一 【典例】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC.工程人员这种操作方法的依据是 A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【举一反三1】如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵为等边三角形， ， 是等边的一条中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 【举一反三2】如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接， ，，O为的中点， ，，， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， ， ， ， . 故选：D 【举一反三3】在△ 中,,点 在 边上，连接 ,若△ 为直角三角形，则 的度数是_____。 【答案】 或 【解析】因为在 中,, 所以。 因为 为直角三角形， 有以下两种情况: ①当 时，如图①所示； ②当 时，如图②所示，此时。 所以若 为直角三角形，则 的度数是 或 。 【举一反三4】在中，，，D为边上一点，点F是射线上一点，与射线相交于点E，点G是的中点，若，则__________ ． 【答案】或 【解析】如图1： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴． 如图2： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴∠． 故答案为：或． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF. (1)试说明：△ADE≌△ADF； (2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数. 【答案】解　(1)因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD＝∠CAD. 由作图知AE＝AF. 在△ADE和△ADF中， 所以△ADE≌△ADF(SAS). (2)因为∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线， 所以∠EAD＝∠BAC＝40°， 由作图知AE＝AD，所以∠AED＝∠ADE ＝×(180°－40°)＝70°. 因为AB＝AC， 所以AD⊥BC， 所以∠BDE＝90°－∠ADE＝20°. 【举一反三6】如图，在中，，F是延长线上一点，，于点D，交于点E， (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D是斜边的中点，求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作交于点G，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵点D是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴平分， ∴， 在中，， ∴ (3)解：由（1）可知，， ∴，，，， ∵，即， ∴， ∴，即， 在与中， ∴， ∴， 又∵点D是的中点，且， ∴， ∴是上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积是． 【题型10】等腰三角形性质的实际应用 【典例】如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解析】∵△ABC为等腰三角形， ∴AB=AC， ∵BC=5， ∴2AB=2AC=21—5=16，即AB=AC=8， 而DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE=AE，故BE＋EC=AE＋EC=AC=8， ∴△BEC的周长=BC＋BE＋EC=5＋8=13， 故选A. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，DF垂直平分CG，∠FDC＝42°，则∠AGE的度数为（　 　） A．68° B．69° C．72° D．74° 【答案】B 【解析】连接BG， ∵DF垂直平分CG，∠FDC＝42°， ∴∠BCF＝48°， ∵EG垂直平分AB，AG平分∠BAC， ∴AG＝BG，∠BAG＝∠CAG， 在△ABG和△ACG中， ， ∴△ABG≌△ACG（SAS）， ∴BG＝CG，∠BGA＝∠CGA， ∴∠CBG＝∠BCG＝48°， ∴∠BGC＝84°， ∴∠BGA＝∠CGA＝＝138°， ∵EG垂直平分AB，AG＝BG， ∴∠AGE＝BGE＝∠BGA＝69°． 故选：B． 【举一反三2】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D，E是BC上两点，∠ADE＝∠AED，延长AE至点F，使AF＝AC，已知∠BAD＝20°，则∠EFC的度数为 __________． 【答案】80° 【解析】∵AB＝AC ∴∠B＝∠ACE， 又∵∠ADE＝∠AED， ∴∠ADB＝∠AEC， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴∠EAC＝∠BAD＝20°， ∵AF＝AC， ∴， 故答案为：80°． 【举一反三3】(人教课本P85习题T9)上午 8 时，一条船从海岛 出发，以 的速度向正北航行,10 时到达海岛 处.从 望灯塔 ,测得 .求海岛 与灯塔 的距离. 【答案】解　. , . mile. 答: 海岛 与灯塔 的距离为 mile. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA． （1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数； （2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数； （3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果． 【答案】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵BD＝BA， ∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°， ∵CE＝CA， ∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°， （2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠ACB＝30°， ∵BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝75°， ∴∠DAC＝45°， ∵CA＝CE， ∴∠E＝∠CAE＝15°， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°； （3）∠DAE＝∠BAC， 理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y， 则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x， ∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x ∴∠DAE＝∠BAC． 【题型11】用定义判定等腰三角形 【典例】△ABC中，AD是中线，点D到AB，AC的距离相等，则△ABC一定是（　 　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵AD是中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵D到AB，AC的距离相等， ∴AB＝AC， ∴△ABC一定是等腰三角形， 故选：B． 【举一反三1】如图，C为两个直角三角板的公共顶点，∠A＝∠B＝30°，则图中等腰三角形共有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】 ∵∠ACE＝90°，∠A＝∠B＝30° ∴∠AEC＝∠ACE﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCE＝∠AEC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°． 同理，可求得∠BDC＝60°，∠ACD＝30°． 综上，∠A＝∠ACD＝30°，∠CDE＝∠CED＝60°，∠B＝∠BCE，∠A＝∠B， ∴△ACD、△CDE、△BCE和△ABC都是等腰三角形． 故选：D． 【举一反三2】题目：“如图，已知∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，OM＝x，MN＝2，P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围．”对于其答案，甲答：x＝0，乙答：0＜x＜2，丙答：2＜x＜4，则正确的是（　 　） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【解析】①如图：当x＝0时，存在满足条件的三个点P； ②当x＝2时，存在满足条件的点P只有1个； ③当x＝4时，存在满足条件的点P只有2个； ④当2＜x＜4时，存在满足条件的三个点P； ⑤0＜x＜2时，存在满足条件的四个点P； 故选：B． 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝__________时，△ABC为等腰三角形． 【答案】40°或70°或100° 【解析】①当AB＝AC时， ∵∠A＝40°， ∠C＝∠B＝70°． ②当CA＝CB时， ∵∠A＝∠B＝40°， ∴∠C＝100°． ③当BA＝BC时， ∴∠C＝∠A＝40°， 综上所述，∠C的值为40°或70°或100°， 故答案为：40°或70°或100°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．写出图中三角形中所有的等腰三角形：__________． 【答案】△ABD，△BCD，△ABC，△ACF，△ABF． 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°，△ABC是等腰三角形， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°＝∠BAC， ∴AD＝BD，∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝72°＝∠ACB， ∴△ABD是等腰三角形，BD＝BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∵AD＝BD，E是AB的中点， ∴DE是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝72°，△ABF是等腰三角形， ∴∠CAF＝36°＝∠AFB， ∴AC＝CF， ∴△ACF是等腰三角形， 故答案为：△ABD，△BCD，△ABC，△ACF，△ABF． 【举一反三5】已知，如图，在△AOB中，点C在OA上，点E、D在OB上，且AB＝AD，CD∥AB，CE∥AD，问：△CDE是否为等腰三角形？为什么？ 【答案】解：△CDE是等腰三角形． ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠B， 又∵CE∥AD， ∴∠CED＝∠ADB， 又∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， ∴∠CDE＝∠CED， ∴△CDE是等腰三角形． 【题型12】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 【典例】在平面直角坐标系中有点A（6，﹣1）和点O（0，0），若△ABO是等腰三角形，AO是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　 　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】如图， 由图可知，①以O为圆心，OA长为半径的圆交x轴于B1，B3，则可与A、O构成等腰三角形； ②以A为圆心，OA长为半径的圆交x轴于B，可与A、O构成等腰三角形； ③作线段OA的垂直平分线，交x轴于B2，则可与A、O构成等腰三角形，但是此时AO为底边，不符合题意； 综上所述，构成以AO为腰的等腰三角形的点，共有3种可能情况， ∴符合题意的B点有3个； 故选：B． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】当时 已知，根据两点间距离公式，可得. 因为点在轴上，设，则. 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点. 当时 设，，根据两点间距离公式，. 因为，且，所以. 两边同时平方可得，即. 开方得. 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去. 当时，，此时点的坐标为，有个点. 当时 设，，，. 由，即. 两边同时平方可得. 展开得. 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点. 综上，符合条件的点有，，，，共个. 故选：D. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 __________个． 【答案】4 【解析】观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个； 若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个； 线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点； ∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个）， 故答案为：4． 【举一反三3】如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标__________ ；满足条件的点C一共有__________个． 【答案】（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2）；8． 【解析】满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个， 故答案为：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点. (1)求一次函数的表达式： (2)当时，的取值范围是__________ ； (3)若一次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上（不包括坐标原点），且是等腰三角形.直接写出所有点的坐标. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【解析】(1)把点B的坐标代入得，解得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； (2)∵， ∴， 解得， ∴当时，的取值范围是； (3)在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的横坐标为，即点P的坐标为； 当时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则此时点P与点O重合，不符合题意； 综上所述，点P的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $