4.4 等腰三角形-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

4.4等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质（答案P19) ←通基础 7.如图所示，在△ABC中，点M,N是BC边上 的两点，BM=CN,连接AM,AN,AM= 知识点1等腰三角形的轴对称性 AN,求证：AB=AC. 1.等腰三角形的对称轴是( ) A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线 2.如图所示的三角形中是轴对称图形的有 (填序号). 知识点3三线合一 8.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC, ① 点D是BC的中点，则下列结论不正确的 知识点2等边对等角 是() 3.若等腰三角形的顶角是70°，则它的底角 A.∠B=∠C B.AD⊥BC 是() C.∠BAD=∠CAD D.AB=2BC A.70°或55° B.70 C.55° D.40° 4.在等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三 角形的顶角的度数为() B A.509 B.50°或80° 第8题图 第9题图 C.80° D.70°或80 9.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, 5.(烟台芝罘区期中)如图所示，在△ABC中， ∠BAD=35°，则∠BAC的度数为() AC=BC,∠C=50°，DE⊥AC于点E,FDL A.35 B.45 AB于点D,则∠EDF的度数是 C.55° D.70° 10.推理能力如图所示，在△ABC中，AB= AC,D是BC的中点，E,F分别是AB,AC 上的点，且AE=AF,求证：DE=DF 第5题图 第6题图 6.(北京朝阳区期中)如图所示，在△ABC中， AC=BC,点E是BC延长线上一点， ∠ACE=100°，则∠A= 84 优计学案·课时通 ☆易错点题目中未给出明确图形时考虑不全 16.（北京海淀区期中)如图所示，已知△ABC,边 11.在等腰三角形ABC中，∠A=40°，∠B的度 AC的垂直平分线与AB相交于点D,与AC 数为 相交于点E,且BD=BC. (1)若∠A=35°，则∠ACB的度数为 ←通能力wwww恤 (2)写出∠ACB与∠A的数量关系，并说明 12.(北京海淀区期中)已知等腰三角形的两条边 理由. 长分别为2和5，则它的周长为() A.9 B.12 C.9或12 D.5 13.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC 于点D,BE⊥AC于点E.下列结论不成立的 是() 通素养 A.∠1=∠2 B.∠EBC=∠2 17.如图所示，在△ABC中，AB=AC,小聪同学 C.∠BAC=∠AFED.∠AFE=∠C 利用直尺和圆规完成了如下操作： 14.推理能力如图所示，在△ABC中，AB= ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D; AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°，则 ②作AB的垂直平分线EF,EF与AM相交 ∠A的度数是() 于点P; ③连接PB,PC 请你观察图形解答下列问题. (1)线段PA,PB,PC之间的数量关系 是 A.45° B.70° (2)若∠ABC=70°，求∠BPC的度数 C.65° D.50° 15.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是 △ABC的中线，边AB的垂直平分线交AC 于点E,连接BE,交AD于点F.若∠C= 66°，则∠AFE的度数为( A.48° B.62 C.72 D.82° △八年级·上册·数学.QD 85 第2课时 等腰三角形的判定与 等边三角形的性质（答案P20) ←通基础 6.如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边 上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.求证： 知识点1)等腰三角形的判定 △ADC是等腰三角形. 1.如图所示，等腰三角形有() A.4个B.5个 C.3个 D.2个 A 729 36 36° B 第1题图 第2题图 2.如图所示，已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若 知识点2)用尺规作等腰三角形 OD=3cm,则CD等于() 7.尺规作图：如图所示。 A.3 cm B.4 cm 已知：线段a,b. C.1.5 cm D.2 cm 求作：等腰三角形ABC,使AB=AC,BC=a, 3.如图所示，在△ABC中，AC=8,点D,E分别 BC边上的高为b. 在BC,AC上，F是BD的中点.若AB=AD, b EF=EC,则EF的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 第3题图 第4题图 4.(淄博临淄区期末)如图所示，已知AB=AC, 知识点3等边三角形的性质 ∠A=36°，AB的垂直平分线MD交AC于点 8.如图所示，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点 D,交AB于点M,以下结论：①△BCD是等腰 C在直线b上，若∠1=42°，则∠2的度数 三角形；②射线BD是△ACB的角平分线； 为() ③△BCD的周长C△BCD=AC+BC; A.92°B.102° C.112° D.1149 ④△ADM≌△BCD.正确的有() A.①②B.①③C.①②③D.③④ 5.如图所示，已知AD平分∠CAE,AD∥BC.求 证：△ABC是等腰三角形， 第8题图 第9题图 9.如图所示，AB∥CD,△ACE为等边三角形， ∠DCE=40°，则∠EAB等于() A.40° B.30° C.20° D.15° 86 优+学率·课时通△ 10.如图所示，P是等边三角形ABC的边AC的 中点，E为BC边延长线上一点，PE=PB,则 ∠CPE的度数为() A.20°B.25° C.30° D.35 D 第10题图 第11题图 15.如图所示，在3×3的正方形网格图中，点A, ☆易错点因不明确等腰三角形腰长和底边长而 B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC 漏解 是等腰三角形，则符合条件的点C有() 11.如图所示，∠AOB=40°，OC平分∠AOB,如 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三 角形，∠OEC的度数为 ←通能力ym 12.在△ABC中，已知a,b,c分别是∠A,∠B, 第15题图 第16题图 ∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC 16.推理能方如图所示，已知等边三角形ABC, 是等腰三角形的是( 直线11∥L2,∠1=50°，则∠2=() A.a=5,b=1,c=5 B.a:b:c=3:4:4 A.60°B.80° C.70° D.100° C.∠A=40°，∠C=70° 17.如图所示，△ABC的点A,C在直线1上， D.∠A:∠B:∠C=3:4:11 ∠B=120°，∠ACB=40°，若点P在直线1上 13.如图所示，AD是等边三角形ABC的中线， 运动，当△ABP成为等腰三角形时，∠ABP 点E在AC上，AE=AD,则∠EDC等 的度数是 于() 18.如图所示，在等边三角形ABC中，点D,E分 别是BC,AC的中点，AD=8cm,点P是AD D 边上的一个动点， A.15° B.20° (1)PC+PE的最小值为 cm. C.25° D.30° (2)当PC+PE最小时，求∠CPE= 14.应用意识如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺 作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形 是等腰三角形，其作法错误的是() △八年级·上册·数学.QD 87 19.推理能力如图所示，E在△ABC的边AC 通素养 VKK11141 的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于 点F,DF=EF,BD=CE.求证：△ABC是 21.结论开放在一次数学课上，老师在屏幕上出 等腰三角形 示了一个例题： 在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的一 点，BE与CD交于点O,画出图形如图所示. 给出下列四个条件： ①∠DBO=∠ECO; ②∠BDO=∠CEO: ③BD=CE; ④OB=OC. (1)要求从这四个等式中选出两个作为已知 条件，可判定△ABC是等腰三角形.请你写 出所有情形 (2)选择第(1)题中的一种情形，说明△ABC 是等腰三角形的理由. 20.如图所示，在等边三角形ABC中，点D,E分 别在BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F.求证： △CEF是等腰三角形. 88 优十学案·课时通△所以PC=PD, 11.解：过点M作MH⊥AB于点 H,如图所示 因为∠BAD=30°，∠BAC=60°， 所以∠CAM=∠BAC ∠BAD=60°-30°=30°， 所以AM平分∠BAC. 因为MC⊥AC,MH⊥AB 所以MH=MC, 即MC的长度就等于点M到AB的距离. 12.解：(1)证明：如图所示，过点E作EH⊥AB,交BA的延长 线于点H,作EF⊥BC于点F,作EG⊥AD于点G 因为AD平分∠BAC,∠BAC=120°， 所以∠BAD=∠CAD=60°. 因为∠CAH=180°-120°=60°， 所以AE平分∠HAD,所以EH=EG. 因为BE平分∠ABC,EH⊥AB,EF⊥BC, 所以EH=EF, 所以EF=EG,所以点E到DA,DC的距离相等， 、H (2)由(1)知，DE平分∠ADC 因为∠EDC=∠DEB十∠DBE, 所以号∠CDA=∠DEB+号∠ABC, 所以∠DEB=合（∠CDA-∠ABC)=克∠BAD=30 阶段检测二（4.2~4.3) 1.A2.B3.B4.C5.D6.A 7.238.40°9.9.6 10.解：(1)因为BD是线段AE的垂直平分线， 所以AB=BE,AD=DE. 因为△ABC的周长为18，△DEC的周长为6， 所以AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE= CD+CE+AD=6, 所以AB+BE=18-6=12, 所以AB=6. (2)因为∠ABC=30°，∠C=45°， 所以∠BAC=180°-30°-45°=105°. 在△BAD和△BED中， BA=BE, BD=BD, DA-DE, 所以△BAD≌△BED(SSS), 所以∠BED=∠BAC=105°， 所以∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60° 11.解：(1)补全图形如图所示 (2)如图所示. 因为DE垂直平分AB, 所以EA=EB, 所以△EBC的周长=EB十EC十 BC=EA+EC+BC= AC+BC. 因为AC=8cm,△EBC的周长是 14cm, 所以BC=14-8=6(cm). 12.解：(1)证明：因为AE是∠BAD的平分线， 所以∠BAD=2∠BAF. 因为∠BFE=45°， 所以∠FBA+∠BAF=45°， 所以2∠FBA+2∠BAF=90° 因为AD为BC边上的高， 所以∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°， 所以2∠FBA=∠EBF+∠FBA, 所以∠EBF=∠FBA, 所以BF平分∠ABE. (2)证明：过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N,如 图所示. 因为BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB, 所以FM=FN. 因为S△ABF=S△cBP, 即号AB·FN=2BC·FM, 所以AB=BC: 在△ABF和△CBF中， (BA=BC, ∠ABF=∠CBF, BF=BF, 所以△ABF≌△CBF(SAS), 所以∠AFB=∠CFB. 因为∠BFE=45°， 所以∠AFB=135°， 所以∠CFB=135°， 所以∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-45°=90°， 所以∠AFC=90°. (3)因为△ABF≌△CBF, 所以AF=FC. 因为∠AFC=∠ADC=90°， ∠AGF=∠CGD, 所以∠FAG=∠FCE. 在△AFG和△CFE中， I∠AFG=∠CFE, AF=CF, ∠FAG=∠FCE 所以△AFG≌△CFE(ASA), 所以AG=EC=4.5. 因为BE=3, 所以BC=BE+EC=7.5. 因为△ABF≌△CBF, 所以AB=BC=7.5. 4.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1.D2.②④⑤ 3.C4.B5.65°6.50 7.证明：因为AM=AN, 所以∠AMN=∠ANM, 所以∠AMB=∠ANC. 在△ABM和△ACN中， (AM-AN, ∠AMB=∠ANC, BM=CN, 所以△ABM≌△ACN(SAS), 所以AB=AC. 8.D9.D 10.证明：连接AD,如图所示 因为AB=AC,D是BC的中点， 所以∠EAD=∠FAD, 在△AED和△AFD中， (AE=AF, ∠EAD=∠FAD, AD-AD, 所以△AED2△AFD(SAS), 所以DE=DF. 11.40°或70°或1009 12.B13.C14.D15.C 16.解：(1)105 (2)∠ACB=3∠A.理由：连接CD.因为DE垂直平分AC, 所以∠ACD=∠A,所以∠BDC=2∠A.因为BD=BC, 所以∠BCD=∠BDC, 所以∠BCD=2∠A, 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=3∠A. 17.解：(1)PA=PB=PC (2)因为AM平分∠BAC,AB=AC,∠ABC=70°，所以 AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=90°-∠ABC=90°-70°= 20°.因为EF是线段AB的垂直平分线，所以PA=PB, 所以∠PBA=∠PAB=20°.因为∠BPD是△PAB的外 角，所以∠BPD=∠PAB+∠PBA=20°+20°=40°，所 以∠BPD=∠CPD=40°，所以∠BPC=∠BPD+ ∠CPD=40°+40°=80°. 第2课时等腰三角形的判定与 等边三角形的性质 1.B2.A3.B4.B 5.证明：因为AD平分∠CAE, 所以∠EAD=∠CAD, 因为AD∥BC, 所以∠EAD=∠B,∠CAD=∠C, 所以∠B=∠C, 所以AB=AC 故△ABC是等腰三角形 6.证明：因为AB=AC, 所以∠B=∠C=30° 因为∠C+∠BAC+∠B=180°， 所以∠BAC=180°-30°-30°=120， 因为∠DAB=45°， 所以∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°. 因为∠DAB=45°，∠B=30°， 所以∠ADC=∠B+∠DAB=75°， 所以∠DAC=∠ADC, 所以DC=AC, 所以△ADC是等腰三角形. 7.解：如图所示，△ABC即为所求作的三角形. 8.B9.C10.C11.140°或80°或20 12.D13.A 14.C15.C16.C 17.10°或80°或20°或140 18.(1)8(2)60 19.证明：过点D作DG∥AC交BC于点 G,如图所示 因为DG∥AC, 所以∠GDF=∠E,∠DGB= ∠ACB. 在△GDF和△CEF中， I∠GDF=∠E, DF=EF, I∠DFG=∠EFC, 所以△GDF≌△CEF(ASA), 所以GD=CE 因为BD=CE, 所以BD=GD, 所以∠B=∠DGB=∠ACB,所以AB=AC, 所以△ABC是等腰三角形. 20.证明：因为△ABC是等边三角形， 所以∠A=∠B=∠ACB=60. 因为DE∥AB, 所以∠EDC=∠B=60°， 所以∠EDC=∠ECD=∠CED=60°， 因为EF⊥DE, 所以∠DEF=90°， 所以∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30° 因为∠F+∠FEC=∠ECD=60°， 所以∠FEC=∠EFC=30°， 所以CE=CF, 所以△CEF是等腰三角形， 21.解：(1)①③，①④，②③和②④. (2)以①④为条件.理由： 因为OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB. 又因为∠DBO=∠ECO, 所以∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB, 所以AB=AC, 所以△ABC是等腰三角形.（答案不唯一） 专题六等腰三角形中的分类讨论 1.C2.D3.D 4.2 5.解：设腰长为2xcm,则(2x十x)一(5十x)=3或(5十x)一 (2x十x)=3.解得x=4或x=1,所以2x=8或2x=2.①当 三边长分别是2,2,5时，2+2=4<5，所以不能构成三角形； ②当三边长分别是8,8,5时，符合三角形三边关系，能构成三 角形.综上所述，腰长为8cm. 6.D7.A 8.60°或120 9.80°或50°或209 10.解：(1)35° (2)40°或70°或100 分两种情况： ①当90°≤a<180时，∠A只能为顶角， 所以∠B的度数只有一个 ②当0°<a<90时， 若∠A为顶角，则∠B=2(180°-a)=90° 20: 若∠A为底角，∠B为顶角， 0