2.2 三角形全等的判定 题型专练 2026--2027学年青岛版八年级数学上册

青岛版（2024）八年级上册 2.2 三角形全等的判定 题型专练 【题型1】四边形的不稳定性及其应用 【典例】下列生活实物中，应用到四边形的不稳定性的是（　　） A．太阳能热水器 B．篮球架 C．三脚架 D．活动衣架 【举一反三1】四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（　　） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于360° 【举一反三2】如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半，则∠A1BC＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【举一反三3】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了　　；而活动挂架则用了四边形的　　． 【举一反三4】有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具，两根木条连接处钉一颗钉子，但他发现这个模具老是走形，为什么？如果他想把这个模具固定，再给一根木条给你，你怎么把它固定下来，画出示意图，并说出理由． 【题型2】三角形的稳定性 【典例】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三线合一 【举一反三1】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两定确定一条直线 D．三角形的稳定性 【举一反三2】如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做依据的道理是(　　)。 A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【举一反三3】木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是　　，其中所涉及的数学道理是　　． 【举一反三4】如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 　　． 【举一反三5】(华师课本P109复习题T10)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条?五边形木架和六边形木架呢? 【举一反三6】如图，ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉一根木条，现量得AB＝80cm，CD＝40cm，AD＝50cm，试问所需的木条长度至少要多长？（取整厘米数） 【题型3】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，AB=DF，∠B=∠F，下列四个条件中再添加一个，不能判定△ABC≌△DFE的是 A．AC=DE B．∠A=∠D C．BE=FC D．∠ACB=∠DEF 【举一反三1】如图，已知AB＝CD．若添加一个条件后，可得△ABC≌△CDA，则在下列条件中，可以添加的是（　　） A．∠B＝∠D B．AD∥BC C．AB∥CD D．AC平分∠BCD 【举一反三2】如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC=DF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，需要添加的一个条件可以是　　　　　　. 【举一反三3】(课本P106习题T5)如图，点 在 上, 与 全等吗? 与 呢? 请说明理由。 【题型4】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．要测量工件内槽宽，可以根据，测量即可，这里判定全等的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，下列结论不一定成立的是 A．AF=EF B．∠C=∠E C．BC=DE D．∠B=∠D 【举一反三2】如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三3】如图，点C、D在线段AB上，AC＝BD，AE＝BF，∠A＝∠B，CF与DE交于点G，若∠CGE＝94°，则∠GCD的度数为 　　． 【举一反三4】如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且AF＝DC，BC＝EF，BC∥EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝20°，∠AFE＝100°，求∠E的度数． 【举一反三5】如图1，已知和都是等腰三角形，且，，，点D在边上． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当，且时，求四边形的面积． 【题型5】SAS的实际应用 【典例】如图所示，用螺丝钉将两根小棒 的中点固定，利用全等三角形的知识，测得 的长就是锥形瓶内径 的长。其中，判定△ 和△ 全等的依据是(　　)。 A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【举一反三1】数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；②连接AC并延长到点D，使CD＝CA；③连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；④连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离．数学原理是△ABC和△DEC全等．请思考：△ABC≌△DEC所用的判定定理是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【举一反三2】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【举一反三3】如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________ 去（填序号）. 【举一反三4】小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 　　与点 　　之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论． 【举一反三5】(课本P104随堂练习T2)小明做了一只如图所示的风筝，其中 。将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道 ，请你说明理由。 【举一反三6】（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 【题型6】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，测量河两岸相对的A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED=AB，则测得ED的长就是A，B两点的距离.判定△EDC≌△ABC的依据是 A．“边边边” B．“角边角” C．“全等三角形定义” D．“边角边” 【举一反三1】如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是__________. 【举一反三2】如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，且AB⊥CD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△CDE．添加的条件是：　　．（写出一个即可） 【举一反三3】如图，，，垂足分别为，，与相交于点，且，求证：． 【举一反三4】如图，点E在外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若，，试说明：的理由. 【题型7】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图所示,,垂足为 ,垂足为 与 交于点 2,则 的长为(　　)。 A．2 B．5 C．3 D．7 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝EG，∠A＝2∠DEF，有下列结论：①∠DEF＝∠CBD；②∠ABE+∠CBD＝45°； ③EG⊥BC； ④BF＝CE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分为D、E，AD＝BD＝2，则AF+DC＝　　． 【举一反三3】在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F. 求证： (1)是等边三角形； (2). 【举一反三4】如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 【题型8】ASA的实际应用 【典例】如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．只有（1） B．（1）和（2）可以 C．（1）和（3）可以 D．（1）、（2）、（3）都可以 【举一反三1】如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 　　． 【举一反三2】如图，为了测量某河道的宽度，小明设计了如下方案： （1）从B点出发沿与AB垂直的方向，走出一段距离并标注为点C； （2）继续沿此方向走到与BC相同的距离并标注为点D； （3）从点D出发沿与BD垂直的方向走出一段距离标注为点F； （4）在DF上找到了一点E能够通过点C看到点A． 测量DE的长度即为该河道的宽度 此方案用到了一个重要的两个三角形有关的数学知识是 　　；这个数学知识成立的依据是 　　． 【举一反三3】生活中的数学： （1）如图①，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的数学知识是 　　； （2）如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB＝CD，连接BC、AD交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【举一反三4】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好阅读完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语CD，创设数学情境如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20米，根据上述信息杨阳同学求出了标语CD的长度．（请将杨阳同学的解答过程补充完整） 解：因为AB∥DC， 所以∠ABO＝∠CDO（依据是　　） 又因为DO⊥CD， 所以∠CDO＝90°， 所以∠　　＝90°， 所以BO⊥AB． 因为相邻两平行线间的距离相等， 所以　　＝　　． 在△BOA和△DOC中， ∠ABO＝∠CDO， 　　＝　　， ∠AOB＝∠COD，（依据是　对顶角相等　） 所以△BOA≌△DOC（　　）． 所以CD＝AB＝20米． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是 （      ）  A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．BD=DC D．AB=AC 【举一反三1】如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是 （      ）  A．SSA B．SAS C．ASA D．AAS 【举一反三2】如图，已知AB∥CD，且∠B＝∠D，要判定△ABC≌△CDA最直接的方法是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 【举一反三3】如图，已知 AD∥BC，∠ABC=∠CDA，则可由“AAS”直接判定__________ ≌__________ . 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、点E，AD与BE交于点F，要使△BDF≌△ADC，还需添加一个条件，这个条件可以是 　　（只需填写一个）． 【举一反三5】如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°.求证：△ABC≌△EAD. 【题型10】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为 （      ）  A．8 B．6 C．4 D．2 【举一反三1】如图，点O在线段AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝3，OB＝1，则OC的长为 　　． 【举一反三2】如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，. (1)求证：； (2)若，，求的长度. 【举一反三3】如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【题型11】AAS的实际应用 【典例】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【举一反三1】如图所示，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点 （即跷跷板的中点）到地面的距离是 ，当淇淇从水平位置 垂直上升 时，嘉嘉离地面的高度是 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三2】如图所示，在△ 中, 是 上一点, 交 于点 ,若 ,则图中阴影部分的面积为_____。 【举一反三3】(人教课本P59复习题T9)如图，两车从路段 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 两地. 两地到路段 的距离 相等吗? 为什么? 【题型12】用SSS判定三角形全等 【典例】如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【举一反三1】尺规作图中蕴含着丰富数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上的两点，且AE＝CF，DE＝BF，那么图中全等三角形有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【举一反三3】作一个角等于已知角的过程（如图），请问这两个三角形全等的理论依据是__________ . 【举一反三4】如图，AB＝FD，BD＝EC，AC＝FE，求证：△ABC≌△FDE． 【举一反三5】如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，△ABD与△ACE全等吗？请说明理由．图中还有全等的三角形吗？如果有，请把它们找出来，并说明理由． 【题型13】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，已知AB=DC，AE=DF，CE=BF，则下列结论中：①△ABE≌△DCF；②∠B=∠C；③∠CDF=∠BAE；④CF=BE；⑤∠BEA=∠CFD.正确的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三1】如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为 __________ . 【举一反三2】如图，已知，AB＝AD，BC＝CD. (1)求证：△ABC≌△ADC； (2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数. 【题型14】SSS的实际应用 【典例】在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务．某位同学的做法是：如图，在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP作法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【举一反三1】如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③量出DE的长am，FG的长bm．如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他得出此结论的依据是　　． 【举一反三2】如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船 　　（填“有”或“没有”）偏离航线． 【举一反三3】如图所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OP，OQ为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠POQ的平分线航行，航行途中，某时测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？并说明你的理由． 【举一反三4】校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）求草坪造型的面积． 【题型15】用HL判定直角三角形全等 【典例】综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ） A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 【举一反三1】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，添加下列条件后，不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB的是 （      ）  A．AB=DC B．AC=DB C．∠ABC=∠DCB D．CD=BD 【举一反三2】如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，可得△ABC≌△CDA，其判定定理是__________ .(填SAS，AAS或HL) 【举一反三3】如图，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AC=DF，若要利用“HL”证明△ABC≌△DEF，则需要添加条件__________ . 【举一反三4】如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O.求证：. 【举一反三5】（1）锐角中，，O是的三边垂直平分线的交点，则______. （2）如图1，中，，将的边延长到点D，使，过D作的垂线，E为垂线上一点，且，若，，求的长. （3）如图2，的面积为，，，，求的周长. 【题型16】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在中，，点在边上，延长到点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（ ） A．4 B．7 C． D． 【举一反三1】如图，四边形中，平分，过点作于点，若，则的值为（ ） A．7 B． C． D．9 【举一反三2】如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，∠C=∠D=90°，若用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则应添加的一个条件是__________ . 【举一反三4】在四边形ABCD中(BC＞AB)，BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于点E.若BC＝5，AB＝3，则CE的长为__________ . 【举一反三5】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC． 【举一反三6】如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且. (1)求证：； (2)若，求的度数. 【题型17】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 【典例】下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（　　） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．周长为的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【举一反三1】如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有 　　组． 【举一反三2】如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：其中正确的结论有__________ （填序号）． ；②；③；；⑤． 【举一反三3】已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE交于F，连接AF．求图中共有多少对全等的三角形． 【举一反三4】在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． (1)下列条件中，可以判定的是__________ ；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． (2)从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 【题型18】添加适当条件判定三角形全等 【典例】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件： ①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E． 其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【举一反三3】如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为__________ （只添加一个条件即可）； 【举一反三4】如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件有哪些？． 【题型19】全等三角形的性质与判定的综合 【典例】如图，△ABC的面积为9 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为 （      ）  A．3 cm2 B．4 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2 【举一反三1】如图，在 中，，已知 ，点 落在边 上， 是线段 上一点，若 的面积比 的面积大 25，则点 到线段 和线段 的距离之和为_____. 【举一反三2】如图，在矩形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处.分别交于点O、F，且，则的长为__________ . 【举一反三3】如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 青岛版（2024）八年级上册 2.2 三角形全等的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】四边形的不稳定性及其应用 【典例】下列生活实物中，应用到四边形的不稳定性的是（　　） A．太阳能热水器 B．篮球架 C．三脚架 D．活动衣架 【答案】D 【解析】A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、应用到三角形的稳定性，不符合题意； D、应用到四边形的不稳定性，符合题意， 故选：D． 【举一反三1】四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（　　） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于360° 【答案】C 【解析】升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是四边形的不稳定性． 故选：C． 【举一反三2】如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半，则∠A1BC＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】∵▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半， ∴▱A1BCD1中A1D1与BC之间的高为A1B的一半， 即A1E＝AB＝A1B， ∴∠A1BC＝30°． 故选：B． 【举一反三3】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了　　；而活动挂架则用了四边形的　　． 【答案】三角形的稳定性；不稳定性 【解析】由于造房子时屋顶用的是三角形结构，所以是利用三角形的稳定性； 而活动挂架是四边形结构，这是利用四边形的不稳定性． 故答案为：三角形的稳定性；不稳定性 【举一反三4】有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具，两根木条连接处钉一颗钉子，但他发现这个模具老是走形，为什么？如果他想把这个模具固定，再给一根木条给你，你怎么把它固定下来，画出示意图，并说出理由． 【答案】解：∵多边形ABCD是四边形，四边形具有不稳定性， ∴这个模具老是走形， 如图所示；在B、D处钉一颗钉子，把BD连接， 可以把把它固定下来，理由是三角形具有稳定性． 【题型2】三角形的稳定性 【典例】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三线合一 【答案】A 【解析】依题意，这里应用的几何原理是三角形的稳定性 故选：A. 【举一反三1】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两定确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【解析】一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 【举一反三2】如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做依据的道理是(　　)。 A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【举一反三3】木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是　　，其中所涉及的数学道理是　　． 【答案】构成三角形；三角形的稳定性 【解析】木工师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性来解决问题． 木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是 构成三角形，其中所涉及的数学道理是 三角形的稳定性． 故答案为：构成三角形；三角形的稳定性． 【举一反三4】如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 　　． 【答案】三角形的稳定性． 【解析】松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【举一反三5】(华师课本P109复习题T10)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条?五边形木架和六边形木架呢? 【答案】解　四边形木架至少再钉1根木条，五边形木架至少再钉2根木条，六边形木架至少再钉3根木条. 【举一反三6】如图，ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉一根木条，现量得AB＝80cm，CD＝40cm，AD＝50cm，试问所需的木条长度至少要多长？（取整厘米数） 【答案】1解：连接AC，BD，设所需的木条长度为x cm． ∵AB＝80cm，CD＝40cm，AD＝50cm， ∴AD﹣CD＜AC＜AD+CD，即50cm﹣40cm＜AC＜50cm+40cm， 即10cm＜AC＜90cm， AB﹣AD＜BD＜AB+AD，即30cm＜BD＜130cm， ∴所需的木条长度至少为11cm． 【题型3】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，AB=DF，∠B=∠F，下列四个条件中再添加一个，不能判定△ABC≌△DFE的是 A．AC=DE B．∠A=∠D C．BE=FC D．∠ACB=∠DEF 【答案】A 【解析】A选项，添加条件AC=DE不能判定△ABC≌△DFE，符合题意； B选项，添加条件∠A=∠D，判定△ABC≌△DFE用的判定方法是ASA，不符合题意； C选项，添加条件BE=FC，判定△ABC≌△DFE用的判定方法是SAS，不符合题意； D选项，添加条件∠ACB=∠DEF，判定△ABC≌△DFE用的判定方法是AAS，不符合题意. 【举一反三1】如图，已知AB＝CD．若添加一个条件后，可得△ABC≌△CDA，则在下列条件中，可以添加的是（　　） A．∠B＝∠D B．AD∥BC C．AB∥CD D．AC平分∠BCD 【答案】B 【解析】A、∵AB＝CD，AC＝AC，∠B＝∠D， ∴△ABC和△CDA不一定全等， 故A不符合题意； B、∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△CDA（SAS）， 故B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵AB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC和△CDA不一定全等， 故C不符合题意； D、∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD， ∵AB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC和△CDA不一定全等， 故D不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC=DF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，需要添加的一个条件可以是　　　　　　. 【答案】∠A=∠D（答案不唯一） 【解析】若添加∠A=∠D， 则在△ABC和△DEF中 所以△ABC≌△DEF(SAS). 【举一反三3】(课本P106习题T5)如图，点 在 上, 与 全等吗? 与 呢? 请说明理由。 【答案】解:。 理由:在 和 中, 因为, 所以(SAS)。 。理由如下:在 和 中, 因为, 所以(SAS)。 【题型4】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．要测量工件内槽宽，可以根据，测量即可，这里判定全等的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，，如图， ∵点O分别是、的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故选：B． 【举一反三1】如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，下列结论不一定成立的是 A．AF=EF B．∠C=∠E C．BC=DE D．∠B=∠D 【答案】A 【解析】因为∠BAE=∠DAC， 所以∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC， 即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， 所以△ABC≌△ADE(SAS). 所以∠C=∠E，BC=DE，∠B=∠D， 故选项B，C，D一定成立，选项A不一定成立. 【举一反三2】如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】∵CE是△ABC的中线， ∴AE＝BE， 在△AEG和△BEC中， ， ∴△AEG≌△BEC（SAS）， ∴GA＝BC，∠AGE＝∠BCE， ∴GA∥BC， 故②正确； 同理△ADF≌△CDB（SAS）， ∴AF＝BC，∠AFD＝∠CBD， ∴AG＝AF，AF∥BC， 故①正确； ∵AG∥BC，AF∥BC， ∴G、A、F三点在同一条直线上， ∴GF∥BC， 设两条平行线GF与BC之间的距离为h， ∵GA＝AF＝BC， ∴GA•h＝AF•h＝BC•h， ∴S△ABG＝S△ACF＝S△ABC＝S四边形GBCF， ∴S四边形GBCF＝3S△ABC， 故④正确； 在△BEG和△AEC中， ， ∴△BEG≌△AEC（SAS）， ∴GB＝AC， 故③正确， 故选：D． 【举一反三3】如图，点C、D在线段AB上，AC＝BD，AE＝BF，∠A＝∠B，CF与DE交于点G，若∠CGE＝94°，则∠GCD的度数为 　　． 【答案】47°． 【解析】∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BCF， ∵∠CGE＝∠ADE+∠BCF＝94°， ∴∠GCD＝∠BCF＝47°， 故答案为：47°． 【举一反三4】如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且AF＝DC，BC＝EF，BC∥EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝20°，∠AFE＝100°，求∠E的度数． 【答案】（1）证明：∵AF＝CD， ∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF， ∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）解：∵∠D＝∠A＝20°，∠AFE＝100°， ∴∠EFD＝180°﹣100°＝80°， ∴∠E＝180°﹣20°﹣80°＝80°． 【举一反三5】如图1，已知和都是等腰三角形，且，，，点D在边上． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的度数； (3)如图3，当，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， , ∴． (2)解：由（1）得， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴． (3)解：如图，过点A作于点F． ，，且， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中 , ∴， ∴ ∴ ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型5】SAS的实际应用 【典例】如图所示，用螺丝钉将两根小棒 的中点固定，利用全等三角形的知识，测得 的长就是锥形瓶内径 的长。其中，判定△ 和△ 全等的依据是(　　)。 A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解析】因为点 是 的中点, 所以 。 在 和 中, , 所以(SAS)， 所以 。 【举一反三1】数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；②连接AC并延长到点D，使CD＝CA；③连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；④连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离．数学原理是△ABC和△DEC全等．请思考：△ABC≌△DEC所用的判定定理是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】C 【解析】由题意知CD＝CA，CE＝CB， 在△DCE和△ABC中， ， ∴△DEC≌△ABC（SAS）． 即△ABC≌△DEC（SAS）． 故选：C． 【举一反三2】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】A 【解析】∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO＝A′O，BO＝B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB＝∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ∵， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′＝AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准， ∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS． 故选：A． 【举一反三3】如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________ 去（填序号）. 【答案】③ 【举一反三4】小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 　　与点 　　之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论． 【答案】D，C． 【解析】在△DCO和△BAO中， ， ∴△DCO≌△BAO（SAS）， ∴AB＝CD， 故只需测量点D与点C之间的距离，即为该花瓶内底的宽． 故答案为：D，C． 【举一反三5】(课本P104随堂练习T2)小明做了一只如图所示的风筝，其中 。将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道 ，请你说明理由。 【答案】解:在 和 中， 因为, 所以(SAS)，所以 ， 所以小明不用测量就能知道 。 【举一反三6】（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2）CB＝38cm． 理由如下：∵O是AB和CD的中点， ∴AO＝BO，CO＝DO， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， 又∵AD＝38cm， ∴BC＝AD＝38cm． 【题型6】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，测量河两岸相对的A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED=AB，则测得ED的长就是A，B两点的距离.判定△EDC≌△ABC的依据是 A．“边边边” B．“角边角” C．“全等三角形定义” D．“边角边” 【答案】B 【解析】因为∠ECD=∠ACB，CD=CB， ∠EDC=∠ABC=90°， 所以△EDC≌△ABC(ASA). 【举一反三1】如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是__________. 【答案】ASA 【解析】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边. 则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA. 故答案为：ASA. 【举一反三2】如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，且AB⊥CD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△CDE．添加的条件是：　　．（写出一个即可） 【答案】CE＝AC（答案不唯一）． 【解析】添加的条件是CE＝AC， 理由：设AB与CD相交于点F， ∵AB⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠A+∠ACF＝90°， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACF+∠DCE＝90°， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）， 故答案为：CE＝AC（答案不唯一）． 【举一反三3】如图，，，垂足分别为，，与相交于点，且，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴ ∴． 【举一反三4】如图，点E在外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若，，试说明：的理由. 【答案】∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠C=∠E； ∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF 即：∠BAC=∠DAE.又∵AC=AE，∠C=∠E，∴△ABC≌△ADE. 【题型7】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图所示,,垂足为 ,垂足为 与 交于点 2,则 的长为(　　)。 A．2 B．5 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为 , 所以, 所以, 所以。 在 和 中,,所以(ASA), 所以 ,所以 。 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝EG，∠A＝2∠DEF，有下列结论：①∠DEF＝∠CBD；②∠ABE+∠CBD＝45°； ③EG⊥BC； ④BF＝CE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】如图，作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠CAH， ∵BD⊥AC， ∴∠CBD+∠C＝∠CAH+∠C＝90°， ∴∠CAH＝∠CBD， ∴∠BAC＝2∠CBD， ∵∠BAC＝2∠DEF， ∴∠DEF＝∠CBD，故①正确； ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠ABD， ∵∠CBD＝∠BAC， ∴∠ABE+∠CBD＝（∠ABD+∠BAC）， ∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠CBD＝×90°＝45°，故②正确； ∵∠FBG＝∠CEG，∠BFG＝∠EFD， ∴∠FGB＝∠EDF＝90°， ∴EG⊥BC，故③正确； ∵EG⊥BC， ∴∠BGF＝∠EGC＝90°， 在△BFG和△ECG中， ， ∴△BFG≌△ECG（ASA）， ∴BF＝CE，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分为D、E，AD＝BD＝2，则AF+DC＝　　． 【答案】2 【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠BDF＝∠ADC＝90°， ∴∠DBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°， ∴∠DBF＝∠DAC， 在△BDF和△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴BD＝AD，DF＝CD， ∴AF+CD＝AF+DF＝AD＝BD． ∴AF+DC＝BD， ∵BD＝2， ∴AF+DC＝2． 故答案为：2． 【举一反三3】在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F. 求证： (1)是等边三角形； (2). 【答案】(1)， ， ， ， ， 是等边三角形； (2)是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， . 【举一反三4】如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 【答案】证明：∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） 解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） ∴S△ABE＝S△CAF， ∵CD＝2BD，△ABC的面积为15， ∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF． 【题型8】ASA的实际应用 【典例】如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．只有（1） B．（1）和（2）可以 C．（1）和（3）可以 D．（1）、（2）、（3）都可以 【答案】B 【解析】理由如下：只要能够找到全等的条件画一个和原来三角形全等的就可以． 第（3）个不能画，（1）符合“角边角”的条件，（2）符合“边角边”的条件． 故选：B． 【举一反三1】如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 　　． 【答案】ASA． 【解析】在△PMO与△PNO中， ， ∴△PMO≌△PNO（ASA）， 故答案为：ASA． 【举一反三2】如图，为了测量某河道的宽度，小明设计了如下方案： （1）从B点出发沿与AB垂直的方向，走出一段距离并标注为点C； （2）继续沿此方向走到与BC相同的距离并标注为点D； （3）从点D出发沿与BD垂直的方向走出一段距离标注为点F； （4）在DF上找到了一点E能够通过点C看到点A． 测量DE的长度即为该河道的宽度 此方案用到了一个重要的两个三角形有关的数学知识是 　　；这个数学知识成立的依据是 　　． 【答案】△EDC≌△ABC；ASA． 【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BF， ∴∠ABC＝∠BDE 在△EDC和△ABC中， ， ∴△EDC≌△ABC（ASA）． ∴ED＝AB 故答案为：△EDC≌△ABC；ASA． 【举一反三3】生活中的数学： （1）如图①，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的数学知识是 　　； （2）如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB＝CD，连接BC、AD交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】解：（1）三角形具有稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． （2）这样做合适， 理由：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， 在△AEB 与△DEC 中， ， ∴△AEB≌△DEC（ASA）， ∴AE＝DE． 【举一反三4】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好阅读完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语CD，创设数学情境如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20米，根据上述信息杨阳同学求出了标语CD的长度．（请将杨阳同学的解答过程补充完整） 解：因为AB∥DC， 所以∠ABO＝∠CDO（依据是　　） 又因为DO⊥CD， 所以∠CDO＝90°， 所以∠　　＝90°， 所以BO⊥AB． 因为相邻两平行线间的距离相等， 所以　　＝　　． 在△BOA和△DOC中， ∠ABO＝∠CDO， 　　＝　　， ∠AOB＝∠COD，（依据是　对顶角相等　） 所以△BOA≌△DOC（　　）． 所以CD＝AB＝20米． 【答案】解：因为AB∥DC， 所以∠ABO＝∠CDO（依据是两直线平行，内错角相等） 又因为DO⊥CD， 所以∠CDO＝90°， 所以∠ABO＝90°， 所以BO⊥AB． 因为相邻两平行线间的距离相等， 所以 BO＝DO， 在△BOA和△DOC中， ∠ABO＝∠CDO， BO＝DO， ∠AOB＝∠COD，（依据是对顶角相等） 所以△BOA≌△DOC（ASA）． 所以CD＝AB＝20米． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是 （      ）  A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．BD=DC D．AB=AC 【答案】B 【解析】由题可知，题目已经有∠1=∠2，AD=AD，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”. 【举一反三1】如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是 （      ）  A．SSA B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】D 【解析】在△BDE与△CDF中， 所以△BDE≌△CDF(AAS). 【举一反三2】如图，已知AB∥CD，且∠B＝∠D，要判定△ABC≌△CDA最直接的方法是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【解析】∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 在△ABC与△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（AAS）， 故选：A． 【举一反三3】如图，已知 AD∥BC，∠ABC=∠CDA，则可由“AAS”直接判定__________ ≌__________ . 【答案】△ABC ； △CDA 【解析】因为AD∥BC， 所以∠BCA=∠DAC， 在△ABC和△CDA中 所以△ABC≌△CDA(AAS). 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、点E，AD与BE交于点F，要使△BDF≌△ADC，还需添加一个条件，这个条件可以是 　　（只需填写一个）． 【答案】AD＝BD（答案不唯一）． 【解析】添加AD＝BD，理由如下： ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠BFD＝90°，∠C+∠CBE＝90°， ∴∠BFD＝∠C， 在△BDF和△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， 故答案为：AD＝BD（答案不唯一）． 【举一反三5】如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°.求证：△ABC≌△EAD. 【答案】证明：∵∠ECB＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠ECB＝110°. 又∵∠D＝110°， ∴∠ACB＝∠D. ∵AB∥DE， ∴∠CAB＝∠E. 在△ABC和△EAD中， ∵ ∴△ABC≌△EAD(AAS). 【题型10】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为 （      ）  A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解析】因为∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠B=∠E=∠ACD， 所以∠ACD+∠ACB+∠BAC=180°， 因为∠ACD+∠ACB+∠ECD=180°， 所以∠BAC=∠ECD， 在△ABC和△CED中， 所以△ABC≌△CED(AAS)， 所以BC=DE，AB=CE， 因为AB=2，BE=6， 所以DE=BC=BE-CE=BE-AB=6-2=4. 【举一反三1】如图，点O在线段AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝3，OB＝1，则OC的长为 　　． 【答案】2． 【解析】∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOB＝∠COD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OA＝OC，OB＝OD＝1， ∵AD＝3， ∴OA＝AD﹣OD＝3﹣1＝2， ∴OC＝OA＝2． 故答案为：2． 【举一反三2】如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，. (1)求证：； (2)若，，求的长度. 【答案】(1)证明：， . 在和中， . (2)解：， . ，， . ，且， . 【举一反三3】如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)证明：①，， ， ， ， ， ， ， ； ②由①知， ，， ． (2)证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． (3)解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【题型11】AAS的实际应用 【典例】如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【答案】A 【解析】由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故选：A． 【举一反三1】如图所示，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点 （即跷跷板的中点）到地面的距离是 ，当淇淇从水平位置 垂直上升 时，嘉嘉离地面的高度是 （      ）  A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，过点 作 地面于点 ，则 ， 由题意可知 ， (AAS)， ， 嘉嘉离地面的高度是 ，故选D. 【举一反三2】如图所示，在△ 中, 是 上一点, 交 于点 ,若 ,则图中阴影部分的面积为_____。 【答案】24 【解析】因为 ,所以。 在 和 中, 因为, 所以, 所以 , 所以题图中阴影部分的面积 。 【举一反三3】(人教课本P59复习题T9)如图，两车从路段 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 两地. 两地到路段 的距离 相等吗? 为什么? 【答案】解　 两地到路段 的距离 相等. 理由:∵. 在 和 中, (AAS). . 点拨:∵两车从路段 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 两地, 綊. 【题型12】用SSS判定三角形全等 【典例】如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【举一反三1】尺规作图中蕴含着丰富数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【举一反三2】如图，已知AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上的两点，且AE＝CF，DE＝BF，那么图中全等三角形有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【解析】在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SSS）， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE， 在△DEC和△BFA中， ， ∴△ABF≌△CDE（SSS）， 共3对全等三角形， 故选：B． 【举一反三3】作一个角等于已知角的过程（如图），请问这两个三角形全等的理论依据是__________ . 【答案】SSS 【解析】由作图知，两三角形的三边分别相等，所以两个三角形全等的理论依据是SSS. 【举一反三4】如图，AB＝FD，BD＝EC，AC＝FE，求证：△ABC≌△FDE． 【答案】证明：∵BD＝EC， ∴BD+DC＝DC+CE， 即BC＝DE， 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（SSS）． 【举一反三5】如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，△ABD与△ACE全等吗？请说明理由．图中还有全等的三角形吗？如果有，请把它们找出来，并说明理由． 【答案】解：△ABD与△ACE全等． 理由：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SSS）； 还有△ABE≌△ACD 理由：∵BD＝EC，DE＝ED， ∴BE＝CD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SSS）． 【题型13】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，已知AB=DC，AE=DF，CE=BF，则下列结论中：①△ABE≌△DCF；②∠B=∠C；③∠CDF=∠BAE；④CF=BE；⑤∠BEA=∠CFD.正确的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【举一反三1】如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为 __________ . 【答案】 【解析】∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：. 【举一反三2】如图，已知，AB＝AD，BC＝CD. (1)求证：△ABC≌△ADC； (2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数. 【答案】(1)证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）； (2)解：∵∠1＝30°，∠2＝50°， ∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵△ABC≌△ADC， ∴∠D＝∠B＝100°， 答：∠D的度数为100°. 【题型14】SSS的实际应用 【典例】在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务．某位同学的做法是：如图，在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP作法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【答案】A 【解析】做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS； 证明： ∵， ∴△ONP≌△OMP（SSS）， ∴∠NOP＝∠MOP， 故OP为∠AOB的平分线． 故选：A． 【举一反三1】如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③量出DE的长am，FG的长bm．如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他得出此结论的依据是　　． 【答案】两三角形全等，对应角相等 【解析】在△BDE和△CFG中， ． ∴△BDE≌△CFG（SSS）， ∴∠B＝∠C（两三角形全等，对应角相等）， 故答案为：两三角形全等，对应角相等． 【举一反三2】如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船 　　（填“有”或“没有”）偏离航线． 【答案】没有． 【解析】只要证明轮船与O点的连线平分∠AOB就说明轮船没有偏离航线，设P为轮船的位置，也就是证明∠AOP＝∠BOP，根据题意可知AP＝BP，OA＝OB，根据“SSS”证明△OAP≌△OBP，再根据全等三角形的性质，便可解答此题． 设P为轮船的位置，则AP＝BP．如图所示： ∵OA＝OB，OP＝OP，AP＝BP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴OP是∠AOB的角平分线， 故此时轮船没有偏离航线． 故答案为：没有． 【举一反三3】如图所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OP，OQ为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠POQ的平分线航行，航行途中，某时测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？并说明你的理由． 【答案】解：此时轮船没有偏离航线， 理由：连接OC，如图， 在△AOC与△BOC中， ， ∴△AOC≌△BOC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故此时轮船没有偏离航线． 【举一反三4】校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）求草坪造型的面积． 【答案】（1）证明：在△ABC和△CDA中， ∵， ∴△ABC≌△CDA（SSS）； （2）解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝2米，∠B＝30°， ∴AE＝1米， ∴S△ABC＝×3×1＝（平方米）， 则S△CDA＝（平方米）， ∴草坪造型的面积为：2×＝3（平方米）． 【题型15】用HL判定直角三角形全等 【典例】综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ） A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 【答案】D 【解析】由作图可知：， 在和中， ∵， ∴（）； 故选D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，添加下列条件后，不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB的是 （      ）  A．AB=DC B．AC=DB C．∠ABC=∠DCB D．CD=BD 【答案】D 【解析】因为∠A=∠D=90°，BC=CB， 所以A项，当添加AB=CD时，可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB； B项，当添加AC=DB时，可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB； C项，当添加∠ABC=∠DCB时，可根据“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DCB； D项，当添加CD=BD时，无法判定Rt△ABC≌Rt△DCB. 【举一反三2】如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，可得△ABC≌△CDA，其判定定理是__________ .(填SAS，AAS或HL) 【答案】HL 【解析】因为AB⊥AC，DC⊥AC， 所以∠BAC=∠ACD=90°， 在Rt△ABC和Rt△CDA中， 所以Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). 【举一反三3】如图，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AC=DF，若要利用“HL”证明△ABC≌△DEF，则需要添加条件__________ . 【答案】AB=DE（答案不唯一） 【解析】因为∠ABC=∠DEF=90°，AC=DF，且要利用“HL”证明△ABC≌△DEF， 所以需要添加条件AB=DE. 【举一反三4】如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O.求证：. 【答案】证明：， ，即， ， 在和中，， . 【举一反三5】（1）锐角中，，O是的三边垂直平分线的交点，则______. （2）如图1，中，，将的边延长到点D，使，过D作的垂线，E为垂线上一点，且，若，，求的长. （3）如图2，的面积为，，，，求的周长. 【答案】（1）如图， ∵O是的三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由题意知，， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得或， ∴的长为5或12； （3）如图2，过作于， ∵， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵的面积为， ∴， 整理得， ∵，， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴的周长为. 【题型16】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在中，，点在边上，延长到点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（ ） A．4 B．7 C． D． 【答案】C 【解析】在中，，，且的面积为， 则， 解得， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：C． 【举一反三1】如图，四边形中，平分，过点作于点，若，则的值为（ ） A．7 B． C． D．9 【答案】D 【解析】过点D作交延长线于E， ∵平分，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，∴， ∴. 故选：D. 【举一反三2】如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，过作于， 平分，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 与的差为， ， ， 故选：A 【举一反三3】如图，∠C=∠D=90°，若用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则应添加的一个条件是__________ . 【答案】AC=AD或BC=BD 【解析】因为∠C=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中， 或 所以Rt△ABC≌Rt△ABD(HL). 故应添加的一个条件是AC=AD或BC=BD. 【举一反三4】在四边形ABCD中(BC＞AB)，BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于点E.若BC＝5，AB＝3，则CE的长为__________ . 【答案】1 【解析】如答图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F. ∵DF⊥BA，DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴∠DFA＝∠DEC＝90°，DF＝DE. 又∵AD＝CD， ∴△DFA≌△DEC(HL)， ∴AF＝CE. ∵BD＝BD，∠DBF＝∠DBE，∠BFD＝∠BED＝90°， ∴△BFD≌△BED(AAS)， ∴BE＝BF＝AB＋AF＝AB＋CE＝3＋CE. 又∵BC＝BE＋CE＝5， ∴3＋CE＋CE＝5，∴CE＝1. 【举一反三5】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC． 【答案】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在△BED和△CFD中，， ∴△BED≌△CFD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC（等角对等边）． 【举一反三6】如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且. (1)求证：； (2)若，求的度数. 【答案】(1)， ， ， 又， ， . (2)，， ， ， 由（1）知，，可得， . 【题型17】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 【典例】下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（　　） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．周长为的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【答案】C 【解析】A、D、两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故A、D不符合题意； B、腰的夹角不一定相等，故B不符合题意； C、由判定两个等边三角形全等，故C符合题意． 故选：C． 【举一反三1】如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有 　　组． 【答案】3． 【解析】第①组AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF． 第②组AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF满足SAS，能证明△ABC≌△DEF． 第③组∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F满足ASA，能证明△ABC≌△DEF． 所以有3组能证明△ABC≌△DEF． 故答案为：3． 【举一反三2】如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：其中正确的结论有__________ （填序号）． ；②；③；；⑤． 【答案】①②③④⑤ 【解析】，，， ， ，，故②正确，符合题意； ，即，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【举一反三3】已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE交于F，连接AF．求图中共有多少对全等的三角形． 【答案】解：图中共有4对全等三角形． 分别是：△CAE≌△BAD，△DAF≌△EAF，△DCF≌△EBF，△ACF≌△ABF共4对三角形全等． 【举一反三4】在数学活动课上，同学们学习了三角形全等的判定后，继续探索特殊三角形的判定方法：若与均为等腰三角形，其中，． (1)下列条件中，可以判定的是__________ ；（填序号） ①，； ②，； ③，； ④，． (2)从（1）中选择一个合适的条件进行证明． 【解析】(1)②③ 【题型18】添加适当条件判定三角形全等 【典例】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在与中，已知，， A.添加，利用可证明，故此选项不符合题意； B.添加，利用可能证明，故此选项不符合题意； C.添加，不能证明，故此选项符合题意； D.添加，利用可能证明，故此选项不符合题意； 故选：C. 【举一反三1】如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 【举一反三2】如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件： ①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E． 其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】①∵∠C＝∠D，AC＝AD，AB＝AE， ∴△ABC和△AED不一定全等， 故①不符合题意； ②∵∠C＝∠D，AC＝AD，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED（SAS）， 故②符合题意； ③∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB， ∴∠CAB＝∠DAE， ∵∠C＝∠D，AC＝AD， ∴△ABC≌△AED（ASA）， 故③符合题意； ④∵∠B＝∠E，∠C＝∠D，AC＝AD， ∴△ABC≌△AED（AAS）， 故④符合题意； 所以，增加上列条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有3个， 故选：B． 【举一反三3】如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为__________ （只添加一个条件即可）； 【答案】∠A=∠D（或BC=EF或∠ACB=∠F） 【解析】可添加条件∠A=∠D，理由：∵在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（ASA）；可添加条件BC=EF，理由：∵在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）；可添加条件∠ACB=∠F，理由：∵在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）；故答案为∠A=∠D（或BC=EF或∠ACB=∠F）． 【举一反三4】如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件有哪些？． 【答案】①③④ 【解析】添加①满足SAS，符合题意； 添加②满足SSA．不符合题意； 添加③满足ASA，符合题意； 添加④满足AAS，符合题意； 故能使△ABC≌△AED的条件有①③④． 故答案为：①③④． 【题型19】全等三角形的性质与判定的综合 【典例】如图，△ABC的面积为9 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为 （      ）  A．3 cm2 B．4 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2 【答案】C 【解析】如图，延长AP交BC于点E， 因为BP平分∠ABC， 所以∠ABP=∠EBP， 因为AP⊥BP， 所以∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， 所以△ABP≌△EBP(ASA)， 所以AP=PE， 所以S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP， 所以S△PBC=S△ABC=×9=4.5(cm2). 【举一反三1】如图，在 中，，已知 ，点 落在边 上， 是线段 上一点，若 的面积比 的面积大 25，则点 到线段 和线段 的距离之和为_____. 【答案】 【解析】如图所示，过点 作 于点 ，作 于点 . ， 的面积 的面积， 的面积 的面积 的面积. 的面积比 的面积大 25， 的面积为 25， 的面积 . 【举一反三2】如图，在矩形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处.分别交于点O、F，且，则的长为__________ . 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：. 【举一反三3】如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)∵D为边的中点， ∴， ∵， ，， ； (2)由（1）可得：， ， 又， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $