3.1.1-5难点突破：函数解析式的五种类型 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

学案导学 编号：qyj-bx1-3-5 培优：求函数解析式的五种类型（解析） 课堂讲练 题型探究 一、待定系数法：在已知函数的解析式结构时，用待定系数法。 例1 已知是一次函数，且，求 【答案】 或 【解析】 为一次函数，设 由 ，对应系数相等： ①当：，得 ②当：，得。 综上： 或 。 二、配凑法：已知复合函数，配凑出形式，注意定义域是的值域 例 2 已知 ，求的解析式。 【答案】 【解析】完全平方公式配凑：所以：。 ，由基本不等式：，即括号内整体的取值范围。 把整体替换成，得到： 三、换元法：已知复合函数求 例 3 已知 ，求。 【答案】 【解析】令 ，则 。将代入原式右侧： 把自变量符号改写回，得到：。 四、构造方程组法：对变量做置换，联立方程组消元 例 4 设函数满足 ，求。 【答案】 【解析】 原式：将式子中全部替换成，得： 把、当作两个未知数，联立方程组。 由②式变形：，代入①式：式子出现，定义域。 五、相关点法：利用对称点坐标关系求解析式 例 5 已知已知函数 与 的图象关于点 对称，求 的解析式。 【答案】 【解析】 设是图像上任意一点。 则点 关于对称中心 的对称点 在 的图象上。 两点关于点 对称，则对称中心是两点中点： 解出： 因为 在 上，所以满足 。把 代入上式： 化简计算得： 即： 5‑1 已知：函数与的图象关于直线对称，求的解析式。 【答案】 【解析】 设为上任意一点，关于直线的对称点。 关于竖直线对称：纵坐标不变，。 在上：代入并化简：得 。 课后练 题型一：拼凑法求解析 1、已知 ，则 。 【答案】 【解析】 配凑：，把整体，并用替换，得到。 2、已知 ，则 。 【答案】 【解析】 立方和公式： 令，则。 替换自变量：，即，定义域。 3、已知 ，，则；。 【答案】； 【解析】 复合函数代入： ； 。 题型二：换元法求解析式 4、已知 ，求，。 【答案】； 【解析】 方法一（换元）：令， 。 求：把替换成 5、已知 ，，则 。 【答案】： 【解析】 先写出右侧表达式：=2+3 = 2+1，所以=2+1 令 ，则 ，代入得： 换回： 题型三：待定系数法求解析式 6、已知是一次函数，且，求。 【答案】，化简： 或 【解析】 设与对比系数： ①：， ②：，。 7. 已知二次函数满足，，求。 【答案】 【解析】换元法：令，得 ，代入得。。 8. 已知函数，其中是的正比例函数，是的反比例函数，且，，求的解析式，并指出定义域。 【答案】，定义域{ 【解析】 正比例：设；反比例：设。 则 。 代入条件化简得：。 ，定义域{x|。 题型四：方程组法求解析式 9、已知函数满足 ，求。 【答案】 【解析】 ②： ③①：，两边除以 3： 10、已知函数满足 ，求。 【答案】 。 【解析】 原式： 令 ，解出，将原式中替换为： 化简系数：②式两边同乘： 用③①： 。 题型五：相关点法求解析式 11、(1) 若函数与的图象关于点对称，求的解析式。 【答案】 【解析】 设是上任意一点，对称点，关于中心对称。 中点公式：，得到：。 在上，代入化简得：。 (2) 若函数与的图象关于直线对称，求的解析式。 【答案】 【解析】 设为上任意一点，关于对称点，。 在上，代入化简得：。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：qyj-bx1-3-5 培优：求函数解析式的五种类型 课堂讲练 学习目标：掌握求函数解析式的常见五种类型及对应方法 题型探究： 一、待定系数法：在已知函数的解析式结构时，用待定系数法。 例1 已知是一次函数，且，求 二、配凑法：已知复合函数的表达式，求 f(x) 的解析式，的表达式容易配 成g(x) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 f(x) 的定义域是g(x)的值域。 例2 已知 ，求 的解析式 三、换元法：已知复合函数 的表达式，求 f(x) 的解析式还可以用换元法。 例3 已知 求. 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设函数满足求 五、相关点法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般相关点法。 例5、已知：函数的图象关于点对称，求的解析式 5-1、已知：函数的图象关于直线对称，求的解析式 课后练 题型一：拼凑法求解析 1、 已知，则. . 2、 , 则 . 3、已知，，则 . ; . . 题型二：换元法求解析式 4、已知 , 求 , = . 5、已知 则 . 题型三：待定系数法求解析式 6、已知是一次函数，且，求. 7.已知二次函数满足，, 求. 8.已知函数，其中是的正比例函数，是的反比例函数， 且，.求F(x)的解析式，并指出定义域. 题型四：方程组法求解析式 9、已知函数满足 求 10、已知函数满足 求 题型五：相关点法求解析式 11、(1)若函数的图象关于点对称，求的解析式. (2)若函数的图象关于直线对称，求的解析式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $