3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

●085 第2课时函数奇偶性的应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.（重点） 1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养. 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的 2.借助奇偶性与单调性的应用，培养逻辑推理、数学运 问题.（难点、易错点） 算素养。 必备知识 探新知 知识点1函数的单调性与奇偶性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数（减函数），则f(x)在[-b,-a]上为 即在关于原点对称的区间上单调性 (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数（减函数），则f(x)在[-b,-a]上为 即在关于原点对称的区间上单调性 ●对应练习 1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，+0)上是增函数，则 A.f(3)<f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f-4)<f(3) C.f(3)<f八-m)<f-4) D.f(4)<f(-π)<f(3) 2.定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在区间[0,3]上的图像如图中曲线OAB,其中点O,A,B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则函数f八x)的单调递减区间是 知识点2函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f八x)的定义域为D,对Vx∈D都有f(a+x)=f(a-x)(a为常数)，则x= 是八x)的对称 轴. (2)若函数f(x)的定义域为D,对Hx∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数)，则 是f(x)的 对称中心 ●对应练习 思考辨析（正确的打“V√”，错误的打“×”） ()奇雨数)=士，当>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，+0)止的解析式 与(-，0)上的解析式也相同. (2)对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(1xl). (3)若存在x使f(1-x)=f1+x),则f(x)关于直线x=1对称. (4)若奇函数f(x)在(0，+∞)上有最小值a,则f(x)在(-∞，0)上有最大值-a. 086 关键能力 攻重难 ●题型一利用奇偶性求函数解析式 例 1.(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x-1,求函数 f(x)的解析式 (2)设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=e,求函数f(x),g(x)的 解析式. 归纳提升：利用函数 奇偶性求函数解析式 的步骤 (1)“求谁设谁”，即 在哪个区间上求解析 式，x就应在哪个区 间上设： [归纳提升] (2)转化到已知区间 提醒：若函数(x)的定义域内会0且为奇函裁，则必有f(0)=0,但若为偶函数， 上，代入已知的解 未必有f(0)=0.（易混点) 析式： 对点训练 (3)利用f(x)的奇偶 1.(1)f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，fx)=x(1+x3)+b,则当x<0时，(x)= 性写出-∫(x)或 () f(-x),从而解出 A.x(1+x3) B.-x(1-x3) f(x). C.x(1-x3) D.-x(1+x3) (2)已知八x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f八-1)+g(1)=2,f1)+g(-1)=4,则 归纳提升：判断含参 g(1)= 数的函数的奇偶性 ●题型二含有参数的函数的奇偶性的判断 时，应注意对参数进 2.设a为实数，讨论函数f(x)=x2+|x-al+1的奇偶性. 行分类讨论，若函数 思路探究：以a是否为0进行分类讨论 为非奇非偶函数时， 可用特值法进行判 断. [归纳提升] 对点训练 2.已知函数f(x)=x2+a,常数a∈R,讨论函数f代x)的奇偶性，并说明理由. ●087 ●题型三 函数奇偶性与图像的对称性的综合应用 归纳提升：（1)解决函数奇 例3(1)定义在R上的函数)在(-，2)上是增函数，且八：+2)为偶面 偶性与图像的对称性的综合 问题时，要注意把已知函数 数，则 (） 的奇偶性按定义转化，再判 A.f-1)<f(3) B.f0)>f(3) 断函数图像的对称轴或对称 C.f(-1)=f3) D.f(0)=f(3) 中心，也可利用图像变化关 (2)设是定义在R上的奇面数，且x)的图像关于直线=对称， 系得出函数图像的对称性. 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= >[归纳提升] 总之，要充分利用已知条件 进行适当转化 )对点训练 (2)关于函数的对称性 3求证：函数)-：的图像关于(-1,1)对称 函裁f(x)若对于任意x∈ R,a是常数 ①关于直线x=a对称 f(a+x)=f(a-x)(f(2a -x)=fx)), ②关于点(a,b)对称 台f(a+x)+f(a-x)= 2b(f(2a-x)+f(x)=2b), 特别地：关于点（a,0)对 称，则∫(a+h)= ○题型四函数奇偶性与单调性的综合问题 -f(a-h). 例4函数)为定义在R上的奇函数，已知当x≥0时x)=x本 (1)当x<0时，求f(x)的解析式； 归纳提升：利用函数的奇偶 (2)判断f(x)在[0，+∞)上的单调性，并利用单调性的定义证明； 性和单调性解不等式要注意 (3)若f(a+1)+f(2a-2)>0,求a的取值范围. 两点 (1)奇函数在定义域内的关 于原点对称的两个区间上单 调性相同，偶函数在定义域 内的关于原点对称的两个区 间上单调性相反 [归纳提升] (2)确定单调区间，依据题 对点训练 设条件将不等式转化为具体 4.设函数f(x)在R上是偶函数，在(-∞，0)上单调递增，且f(2a2+a+1)<不等式，在这个区间上解不 f(-3a2+2a-1).求实数a的取值范围. 等式 088 课堂检测 固双基 1.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 是 5,则f八x)在区间[-7，-3]上是 ) A.a>1 B.a<-2 A.增函数且有最大值-5 C.a>1或a<-2 D.-1<a<2 B.增函数且有最小值-5 4.已知fx)= C.减函数且有最大值-5 -3,x>0·是奇函数，则g(-3) lg(x),x<0 D.减函数且有最小值-5 2.已知偶函数在(-∞，0)上单调递增，则 )5.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，(x)=x+1, A.f1)>f2) B.f(1)<f(2) 则x>0时f(x)= C.f(1)=f(2) D.以上都有可能 夯基提能作业 3.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0， 请同学们认真完成练案[23] +o)上是增函数，f(3)<f(2a+1),则a的取值范围 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之 1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养 间的关系.（难点） 2.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，培养逻 2.会求函数的零点.（重点） 辑推理的素养. 3.掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零 3.利用零点法求不等式的解集，提升数学运算的素养 点法求不等式的解集，（重点、难点） 必备知识 探新知 思考1：(1)函数的零 知识点1 函数的零点 点是点吗？ (1)零点的概念：如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于零，即 ,则a (2)所有的函数都有 为函数f八x)的零点 零点吗？ (2)零点的意义 提示：(1)函数的零 点是实数，而不是点 函数y=fx)的零点a ≤ 如函数f(x)=x+1的 零点是-1，而不是 函数y=f(x)的图像 方程f(x)-0的根a (-1,0) 与x轴的公共点(a,0) (2)并不是所有的函 [思考1] 数都有零点，如函裁 ●对应练习 )=y=+1 函数f(x)=2x2-3x+1的零点是 均没有零点. A-2,-1 c分 D.z.g(-x)1=1-fx)g(x)1=f(x)g(x)I,所以lf(x)g(x)I是 偶函数，故D项错误，选AC 又-3)=00)=12)=5 3.AD①因为[x]指不超过x的最大整数，故[x]≤x,当且仅当 所以f(x)m=f0)=1, x为整数的时候取等号， m=-3)=0 ②当x为整数时f代x)=x>x-1成立，当x不为整数时，设x C组创新拓展 =[x]+t,则由[x]指不超过x的最大整数可知，0<t<1, B因为f代1+x)=f代1-x),所以f(x)的图像关于直线x=1 故[x]=x-t>x-1,A正确： 对称， f)=[】=0,f(0)=[0]=0,故fx)不是增函数，B 又因为f代x)是定义在R上的奇函数， 错误； 所以f1+x)=f(1-x)=-f代x-1),且f(0)=0,则f(x+2) =-fx), (-2)=[-2]=-1,f()=[2]=0,-) 所以fx+4)=-f(x+2)=f孔x), f(分不互为相反数.C错误： 所以f4)=f0)=0f3)=f-1)=-f1)=-2, 又因为f(x)的图像关于直线x=1对称， 由A项分析可知，设x=[x]+t,则0≤t<1, 所以f(2)=f(0)=0, 故y=x-[x]=te[0,1),D正确. 所以f2)+f(3)+f(4)=0-2+0=-2. 故选AD. 第2课时函数奇偶性的应用 4.5因为函数f(x)是定义在[-1-a,2a]上的偶函数，所以 : -1-a+2a=0,即a=1 必备知识探新知 因为fx)=f代-x), 知识点1：(1)增函数（减函数）相同(2)减函数（增函 所以ax2+bx+1=ax2-bx+1, 数)相反 所以b=0, !对应练习 所以fx)=x2+1, 1.C·f代x)是定义在R上的偶函数， 所以f2a-b)=f2)=5. .f-π）=fπ)，f-4)=f4), 5.-1当x>0时，fx)=2-3, 又f(x)在(0，+∞)上是增函数，0<3<T<4, f2)=22-3=1, .f3)<f(π)<f4),即f3)<f(-π)<f-4). 又f(x)为奇函数，f代-2)=-f(2)=-1. 2.[-1,0]和[1,3]利用偶函数的图像关于y轴对称，作出其 61)若西数=是是R上的偶喝数。 在[-3,0]上的图像后写出单调递减区间.由于函数f(x)是 [-3,3]上的偶函数，所以其图像如图所示.所以它的单调递 则f-x)=fx), 减区间为[-1,0]和[1,3] 即m(-x)+1-mx+1 1+(-x)2 1+x2, 解得m=0. (2)函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，理由如下： 由(1)知(x)=1+7 -3-2-10 设任意的x1,x2∈（-0,0]，且x1<x2, 知识点2：(1)a(2)(a,b) 1 1+x-1-x 对应练习 则()-()+1+寻 (1+x)(1+x2) (1)×(2)V(3)×(4)V =（x3+x1)(2-x) 关键能力攻重难 (1+x1)(1+x2) 例1：(1)当x<0时，-x>0,f-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2 因为x<2≤0， +2x-1, 所以x2+x1<0,x3-名1>0， 因为函数f代x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),所以x<0 (1+x)(1+x)>0, 时fx)=-x2-2x+1, 所以f代x)<f(x2), 又因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0.所以 所以函数f(x)在(-，0]上单调递增 rx2-2x-1(x>0), (3)由(2)知函数fx)在(-∞，0]上是增函数 fx)=0(x=0), 又f(x)是R上的偶函数， L-x2-2x+1(x<0). 所以f(x)在(0，+∞)上为减函数， (2):f代x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(-x)=-f(x), 所以f(x)在[-3,0]上为增函数， g(-x)=g(x). 在[0,2]上为减函数， 由f八x)+g(x)=e°，① -212 用-x代替x得f代-x)+g(-x)=e*, 所以f-1+h)+f(-1-h)=-2+业+2+h=2 ∴.-fx)+g(x）=e*,② h h 0-②》2，得)= 所以函数代x)=的图像关于(-1,1)对称 +1 (①+②)÷2，得g(x)=c+ 例4：(1)函数f(x)为定义在R上的奇函数，x≥0时，f(x) 2 对点训练1：(1)C(2)3(1)根据题意，f0)=b=0, =x+行 所以当x≥0时，x)=x(1+x3), 当x<0时，-x>0, 若x<0,则-x>0, 所以)=-)=4=产所以x<0时)的 则f(-x)=(-x)[1+（-x)3]=-x(1-x3),又由函数f(x) 为奇函数，则f(x)=-f代-x)=x(1-x3). 解析式为f代x)=一 x (2)由题意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+日 (2)f(x)在[0，+∞)上单调递增；任取x,2∈[0，+0)， g(-1)=f1)+g(1)=4,两式相加，解得g(1)=3. 例2：当a=0时，fx)=x2+lxl+1, 且x<,则fx)-x)=-名 x1+1x2+1 ∴f-x)=（-x)2+1-xl+1=x2+1x+1=f(x), =(名+1)-(+1) (+)(+D因为0≤斯< x1-X2 .当a=0时，函数f代x)为偶函数. (x1+1)(x2+1) 当a≠0时，f1)=2+11-al,f(-1)=2+1+al, 2,所以x-五<0，x+1>0,名+1>0，(+1)(3+ x1-x2 假设f1)=f-1), 则11-al=11+al,(1-a)2=(1+a)2, 0,即fx1)<fx2),所以fx)在[0，+o)上单调递增. ∴.a=0,这与a≠0矛盾， (3)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)在[0， 假设f(-1)=-f1),则2+11+a=-2-1-al这显然 +∞)上单调递增， 不可能成立(：2+1+al>0,-2-11-al<0), 所以函数f(x)在R上单调递增，由fa+1)+f(2a-2)>0 .f-1)≠f1)f(-1)≠-f1), 得a+)>2-2a),所以a+1>2-2a,解得a>号，所 .当a≠0时，函数f代x)是非奇非偶函数： 对点训练2：当a=0时，f代x)是偶函数； 以a的取值范围是（兮+x） 当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数. 对点训练4：fx)为偶函数，则f(-x)=f代x)=f1xl), 函数fx)的定义域为(-0,0)U(0,+0),定义域关于原点 因为f(x)在(-∞，0)上单调递增， 对称. 所以f代x)在(0，+∞)上单调递减 当a=0时，f-x)=(-x)2=x2=f(x), .函数f(x)为偶函数 又2r+a+1=20++>0,-30+20-1 当a≠0时f(1)=1+a,f(-1)=1-a, f代-1)≠f1),f(x)不是偶函数. -a-号<0， f(-1)+f1)=2≠0， 且f(2a2+a+1)<f-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1),所以 ∴f-1)≠-f1), 2a2+a+1>3a2-2a+1, ∴f代x)不是奇函数 即a2-3a<0,解得0<a<3,即a的取值范围为(0,3). ∴.(x)既不是奇函数，也不是偶函数. 课堂检测固双基 例3：(1)A(2)0(1)因为f(x+2)为偶函数，所以其图像关 1.A因为f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，所以 于y轴对称，由于fx+2)的图像可由f(x)的图像向左平移 f代3)=5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f代x)在区 2个单位长度得到，故f代x)的图像关于直线x=2对称.因 间[-7，-3]上为增函数，且有最大值f(-3)=-(3)= 为函数fx)在(-∞，2)上是增函数，所以f(x)在(2，+∞) -5.故选A 上是减函数，所以f代-1)=f(5)<f(4)=f0)<f(3). 2.Af(x)是偶函数，且在(-∞，0)上单调递增，f(x)在(0， (2)由f(x)是R上的奇函数，得f0)=0.f代x)的图像关 +∞)上单调递减，.f(1)>f(2),故选A. 于直线x=之对称，于是f()=f1-),…f1)=f0)=3.C因为函数代x)在实数集上是偶函数，且3)<f(2a+1), 0,f(2)=f-1)=-f1)=0,f3)=f(-2)=-f2)=0, 所以f代3)<f代12a+1I),又函数f(x)在[0，+)上是增函 f4)=f-3)=-f3)=0,f5)=f-4)=-f4)=0,从 数，所以3<12a+1,解得a>1或a<-2.故选C. 而f1)+f(2)+f(3)+f4)+f5)=0. 4.-33因为函数f(x)是奇函数，所以f(-3)=(-3)= -f3)=-6,所以fg(-3))=f代-6)=-f6)=-33. 对点训练3：任取heR且h≠0，因为f(-1+h)=-|+h- -1+h+1 =5.-x+1当x>0时，-x<0, -1-0=22 .f代-x)=-x+1, -h 又f代x)为偶函数，∴f代x)=-x+1. 213