18.1.2　分式的基本性质 （第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.1.2　分式的基本性质（第1课时） 一、教材分析 本课在分式一章里处在承上启下的腰眼位置。往前看，上一节课刚把分式的概念立起来，学生知道了什么是分式、分式何时有意义；往后看，约分、通分、四则运算、分式方程的求解，每一步都在执行本课给出的性质。可以说，上一节课解决的是“分式是什么”，这一节课解决的是“分式凭什么可以变形”，后者才是运算能力的根。 教材的处理方式是类比：由分数的基本性质，猜出分式的基本性质，再把猜想的结论放到字母范围里检验。这个类比不是装饰，而是本章反复使用的思想方法——后面学分式的运算，还是走“分数怎么算、分式就怎么算”的路子。本课要把类比这个工具郑重地交到学生手里，并让他们第一次体会类比的边界：分数里乘除的是不为零的数，分式里乘除的是不为零的整式，“不为零”从一眼能看出的数字，变成了需要讨论条件的字母。 本课的落点有三个：一是性质本身，含文字语言与字母表示两种形态；二是性质的第一个应用——约分，伴随“最简分式”的概念；三是第二个应用——通分，伴随“最简公分母”的概念。约分与通分一收一放：约分把分式变简单，通分把几个分式变整齐，两者方向相反、依据相同，教学中宜对照着讲，让学生看清“变来变去，值不变”这条底线。 另有一点需要预留伏笔：本课所有变形都要求“乘（或除以）同一个不等于零的整式”，这个不等于零，有的题目直接给出，有的隐含在分式有意义之中。教材在例1之后专门安排“想一想”，追问为什么有的字母要附加条件——这正是本课最容易滑过去的思想细节。 从课标角度看，本课对应“数与代数”领域“会用分式的基本性质进行约分和通分”的要求，属于运算能力与推理能力的交叉地带。课标不要求证明这条性质，但要求学生能说明理由——说理的最自然方式就是回到除法与分数，这一点将在环节二的活动一里落实。本课不引入“分式的符号法则”这一术语，符号处理全部归结为“同乘或同除以 −1”，让性质一条走天下，减轻记忆负担。 二、学情分析 学生带着三样东西进课堂：小学的分数运算经验、上一节课的分式概念、上学期的因式分解。三样都熟，但三样没有合过龙。作业里反复出现的问题是，他们把因式分解当成一项孤立的技能，想不到“先分解、再约分”是一条流水线。 具体到本课，预判四类典型错误。第一类，漏条件：写 A/B = (AC)/(BC) 时不提 C ≠ 0，性质抄对了，前提丢了。这类错误平时不发作，一到字母 讨论 就露馅。第二类，乱约分：见到 (a+b²)/(a+b) 就把 a 约掉、b² 与 b 约掉，把约分做成“消项”，根源是不明白约分约的是公因式，不是公共字母。 第三类，符号乱：形如 (−3a)/(−7b) 的式子，负号放哪、变几个，学生心里没有章法，十个里有三个会写出 (3a)/(7b) 之外的错误答案。第四类，找最简公分母时漏因式：对 5/(x+3) 与 1/(3−x) 这类分母一正一反的情形，要么漏掉 (3−x) 需要变号这一步，要么把两个因式都乘上去，得到冗长的公分母。 还有一类隐性问题：因式分解生疏。上学期的提公因式法与公式法掌握得参差，(x²−1)/(x²−2x+1) 摆在面前，能同时想到平方差与完全平方的学生不足一半。本课例3之前须安排一分钟的分解热身，否则约分会卡在分解上，性质反而没时间练。 此外还有一个态度层面的观察：学生普遍觉得“性质就是一句话，背下来就行”，对“条件”缺乏敬畏。本课要借两次翻车体验（一次漏条件、一次乱约分）让条件意识落地——变形前先问一句“乘除的这个整式，凭什么不为零”，这句话说出口了，性质才算真学会了。 三、教学目标 1. 能用文字语言和符号语言各说一遍分式的基本性质，符号表达式中完整写出 C ≠ 0 的条件，并解释“为什么必须 C ≠ 0”。 2. 给定四个填空式约分与通分问题，能独立完成，并说明每一步变形依据的是性质的哪半句话；约分结果必须是最简分式或整式。 3. 对两个异分母分式，能按“系数取最小公倍数、因式取所有、指数取最高次幂”三步写出最简公分母，并把各分式通分到位。 四、教学重点与难点 教学重点：分式的基本性质及其在约分、通分中的运用。要练到的程度是——给一个等式变形，能一句话说清“分子分母同乘（或同除）了哪个整式”；给一个分式，能约就约，约到最简为止，中间步骤不跳行。 教学难点：性质的“不等于零”条件与符号处理。卡点有两处：一是 C ≠ 0 什么时候要写出来、什么时候已经隐含；二是 (y−x) 与 (x−y) 这类互为相反的因式在约分中的变号。两处都打算用“错例手术”的方式处理：把错误答案写到黑板上，让学生自己找出错在哪一步。 五、教学方法与教学准备 类比探究为主线：每一个分式的结论都先在分数里走一遍，再迁过来。教师只提问题、改错题，结论由学生自己说出。全课所有变形题，学生答题必须带上依据半句话，如“分子分母同除以 x”，不写依据的按半对处理。 教学准备：多媒体课件（蛋糕图片、问题串）、学习任务单（含检测题与分层作业）、两色磁贴（黑板上摆约分前后对照）、红笔（圈错误前提）。 六、教学过程 环节一　创设情境，导入新课（约5分钟） 图 1　把一块蛋糕平均分成 16 份 【师】屏幕上这块蛋糕被平均切成了十六份。看图写出三个分数：整个的四分之一、八分之二、十六分之四，写在任务单上。 【生】1/4，2/8，4/16。 【师追问】三个分数指的是同样多的蛋糕。按“简约、对称、和谐”的审美标准，哪个写得最漂亮？ 【生甲】1/4，分子分母都最小。 【师追问】从 4/16 到 1/4，我们做了一件什么事？依据是什么？ 【生乙】约分。用的是分数的基本性质——上下同乘或同除一个相同的非零数，大小不变。 【师追问】1/4 与 2/8 也能互化，靠的是什么？同除以 2、同乘 2。也就是说，分数可以化妆，但体重不变。 【生丙】老师，分式也能化妆吗？ 【师】这个问题就是今天的课。化妆有规矩——用的是哪瓶粉底、用量是多少，一步都不能错。 【师】说得好。分数有这条性质，那分式呢？分式的分子分母同乘一个整式，它还等于原来的分式吗？这节课就把这条性质搬到分式里来，先立性质，再学两样手艺：约分和通分。板书课题。 环节二　探究新知（约14分钟） 活动一　类比猜想：分式的基本性质 【师】先在分数里热身。3/4 与 15/20 相等吗？9/24 与 3/8 相等吗？相等的话，说出从左边到右边的变形过程和依据。 【生甲】相等。15/20 到 3/4，是分子分母同除以 5；3/8 到 9/24，是分子分母同乘 3。 【师追问】把这里的 5 和 3 换成整式，行不行？换成哪些整式不行？ 【生乙】换成整式也行，但不能是 0。乘 0 或除以 0，分母变 0，分式就没有意义了。 【师追问】那我干脆规定“任何整式都行”，不行吗？拿 C = 0 代进去看看。 【生丙】分母变成 0，分式没了，别说什么值不变了。 【师】所以“不等于零”不是客套话，是性质能不能用的生死线。 【师】这正是分数与分式的分界线。分数里乘除的是数，一眼看出是不是 0；分式里乘除的是整式，它取值随字母变，所以条件必须白纸黑字写出来。 （板书）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：A/B = (A·C)/(B·C)，A/B = (A÷C)/(B÷C)（C ≠ 0），其中 A，B，C 是整式。 【师追问】性质里有三个关键词，谁能挑出来？ 【生丙】“同一个”和“不等于 0”。 【师】对。不是同一个整式，值会变；是同一个但取零，分式直接没意义。这两个词就是判断变形合法与否的尺子。 活动二　性质的第一件应用：约分 【师】看两个现成的等式，说说右边的式子是怎么从左边变过来的：x⁴/(x²y) = x²/y；(a−b)/a = (ab−b²)/(ab)（b ≠ 0）。 【生甲】第一式分子分母同除以 x²；第二式分子分母同乘 b，因为给了 b ≠ 0。 【师追问】第一式为什么不附条件 x ≠ 0，第二式却要附 b ≠ 0？ 【生乙】因为 x 已经在分母上，分式有意义就保证了它不为 0；b 原来不在式子里，必须另外说明。 【师】这个区别就是教材例1 之后那个“想一想”要说的话，你现在自己说出来了。再问：分数 8/12 怎么化简？ 【生丙】约去公因数 4，得 2/3。 【师】分式 (4x²y³)/(6x²y²) 呢？先别急着写答案，说思路。 【生丁】分子分母都是乘积形式，直接约去公因式 2x²y²，得 (2y)/3。 【师】完成下面的填空，每空写清同乘或同除的是谁。 （1）(2b)/(2a) = ＿＿＿＿；（2）(3a+3b)/(9c) = ＿＿＿＿； （3）(ac)/(a²) = ＿＿＿＿；（4）x/(6x²y²) = ＿＿＿＿。 【生甲】（1）同除以 2，得 b/a；（2）同除以 3，得 (a+b)/(3c)；（3）同除以 a，得 c/a；（4）同除以 x，得 1/(6xy²)。 【师追问】第（2）小题分子是 3a+3b，为什么能同除以 3？ 【生乙】3 是分子每一项的公因式，先提出来变成 3(a+b)，再约。 （板书）约分：把分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。最简分式：分子与分母没有公因式的分式。约分的依据是分式的基本性质，结果必须是最简分式或整式。 活动三　性质的另一件应用：通分 【师】把 (2x)/(6x²y²)、(3y)/(6x²y²)、(4xy)/(6x²y²) 三个分式先化简。 【生甲】分别得 1/(3xy²)、1/(2x²y)、2/(3xy)。 【师追问】化简前它们分母相同，化简后分母还相同吗？要做加减法就得让它们重新拥有相同的分母，怎么办？ 【生乙】反着来，用性质把分子分母同乘合适的整式，凑出公共分母。 【师】这个“反着来”叫通分。公分母取哪一个最划算？ 【生丙】把每个分母都拆成乘积，系数取最小公倍数，每个因式都收进来，次数取最高的那一次，一个不多、一个不少。 （板书）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式。最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。 本环节预设三处错误，当场纠正。 预设错误一：写 A/B = (AC)/(BC) 不附 C ≠ 0。纠正办法：请他代 C = 0，看分母归零，回到性质原文补上条件。 预设错误二：把 (a+b²)/(a+b) 约成 b，以为约掉了“公因式 a”。纠正办法：先问 a+b² 能不能分解出 a，再回到“约的是公因式，不是公共字母”。 预设错误三：找最简公分母时把 (3−x) 与 (x−3) 当作两个不同因式都收进来。纠正办法：让学生比较两式，发现只差一个负号，先变号再取幂。 环节三　例题精讲（约12分钟） 例1　看变形，说依据 例1　下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）a/(2b) = (ac)/(2bc)（c ≠ 0）；（2）x³/(xy) = x²/y。 【师】第一题，比较左右两边的分子与分母，谁变了？ 【生甲】分子 a 变成 ac，分母 2b 变成 2bc，两边同乘了 c。 【师】条件 c ≠ 0 用在哪？ 【生甲】保证同乘的这个整式不为零。 【师追问】第二题没有任何附加条件，凭什么直接除？ 【生乙】x 原本就在分母上，分式有意义已经把 x ≠ 0 定死了，不用再写。 【师追问】如果第（2）小题改成 x³/(xy) = x²/y 之后，还要继续除以 x，行不行？ 【生丙】不行了，x 约完就不在分母上了，再除一次得先补 x ≠ 0。 【师】对，条件跟着式子走，式子变了条件要重新盘。 【师】把两题的解合起来看：变形前先看要乘除的整式是否已在分母里，在就不用补条件，不在必须补。 解：（1）由 c ≠ 0，分子分母同乘 c，得 a/(2b) = (a·c)/(2b·c) = (ac)/(2bc)。（2）由分式有意义知 x ≠ 0，分子分母同除以 x，得 x³/(xy) = (x³÷x)/(xy÷x) = x²/y。 例2　符号搬家 例2　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“−”号。 （1）(−x)/(5y)；（2）(−3a)/(−7b)；（3）−(10m)/(−3n)。 【师】第（1）小题只有一个负号，放在分子上，怎么办？ 【生甲】把负号提到分式前面，(−x)/(5y) = −x/(5y)。 【师追问】凭什么能提？值的变了吗？ 【生甲】没变。相当于分子分母同乘 −1。 【师】第（2）小题分子分母各一个负号。 【生乙】负负得正，同乘 −1 后两个负号一起消失，得 (3a)/(7b)。 【师】第（3）小题三个负号，一个在分子、一个在分母、一个在分式前面。先化简谁？ 【生丙】分子分母的负号相消，得 (10m)/(3n)，再带上外面的负号，结果是 −(10m)/(3n)。 【师追问】先别下结论，代个数试试。取 m = 10，n = 3，原式 −(10m)/(−3n) = −10/(−9)，等于多少？ 【生丙】10/9，是正的！我刚才算错了。 【师】错在哪一步？ 【生丙】外面的负号是取相反数，而 (10m)/(−3n) 本身是负数，负数的相反数是正数，所以结果不带负号。 【师】对。三层符号不要一次数完，分两步走：先化简分式内部，再处理分式前面的符号，一次只动一处。 解：（1）(−x)/(5y) = −x/(5y)；（2）(−3a)/(−7b) = (3a)/(7b)；（3）−(10m)/(−3n) = (10m)/(3n)。 【师】口诀送给大家：分式内部先定号，前面符号后处理；负号个数为偶全消，为奇留一。 例3　约分三连 例3　约分： （1）(−3a³)/(a⁴)；（2）(12a³(y−x)²)/(27a(x−y))；（3）(x²−1)/(x²−2x+1)。 【师】第（1）小题，公因式是谁？ 【生甲】a³，还有个负号，结果是 −3/a。 【师】第（2）小题先别动笔，观察分子分母里的两个括号。 【生乙】(y−x)² 与 (x−y) 互为相反，平方以后变成一样，(y−x)² = (x−y)²。 【师】对，偶次幂吞掉负号。系数 12 与 27 也先约。 【生乙】约去 3a 与一个 (x−y)，得 (4a²(x−y))/9。 【师】第（3）小题分子分母都是多项式，第一步做什么？ 【生丙】分解因式。分子用平方差，得 (x+1)(x−1)；分母是完全平方，得 (x−1)²。 【师】然后呢？ 【生丙】约去一个 (x−1)，得 (x+1)/(x−1)。 【师追问】能不能约成 x+1/x 或直接得 x？ 【生丙】不能，约的是公因式 (x−1)，不是把减法消掉。 【师追问】例3 的三小题，哪一题不动笔就能看出结果？ 【生丁】第（1）小题，公因式一眼可见；第（2）（3）小题必须先分解。 【师】所以拿到约分题先扫一眼：单项式直接约，多项式先分解，别一上来就乱乘乱除。 （板书）约分三步：一分解——分子分母是多项式先分解因式；二约分——约去相同因式的最低次幂；三看号——把最高次项系数化为正数。 例4　通分两连 例4　通分： （1）3/(2a²b) 与 (a−b)/(ab²c)；（2）2x/(x−5) 与 3x/(x+5)。 【师】通分第一步定公分母。第（1）小题，系数取谁？ 【生甲】2 和 1 的最小公倍数 2。 【师】字母取谁？ 【生甲】a 取 a²，b 取 b²，c 只有一个分母有也必须收进来，得 2a²b²c。 【师】各分式怎么补齐？ 【生甲】3/(2a²b) 分子分母同乘 bc；第二个分式同乘 2a。 【生乙】第（2）小题分母是 x−5 与 x+5，都是一次，公分母就是乘积 (x+5)(x−5)。 【师】通分后各自变成什么？ 【生乙】2x/(x−5) = (2x²+10x)/[(x−5)(x+5)]；3x/(x+5) = (3x²−15x)/[(x−5)(x+5)]。 （板书）定最简公分母三找：一找系数——取各分母系数的最小公倍数；二找因式——凡出现的字母或含字母式子全部选取；三找指数——取相同因式的最高次幂。 环节四　变式训练（约5分钟，课内选做） 变式1（由例3 第（3）小题改写，课内选做）约分：(x²−9)/(x²−6x+9)。 变式2（由例4 第（2）小题改写，课内选做）通分：x/(x−3) 与 2x/(x+3)。 【师】变式1 与例3 第（3）小题只换了数据，套路一样：先分解，再约分，最后看符号。 【生甲】(x²−9) = (x+3)(x−3)，分母 = (x−3)²，约分得 (x+3)/(x−3)。 【生乙】变式2 的最简公分母是 (x−3)(x+3)，通分得 x(x+3)/[(x−3)(x+3)] 与 2x(x−3)/[(x−3)(x+3)]。 【师追问】变式2 若再问“这两个分式的最简公分母是什么”，一句话怎么答？ 【生丙】(x+3)(x−3)，也可以写成 x²−9。 环节五　交流反思（约4分钟） 【师】合上任务单，同桌互相考一考：这节课的分式变形，最后都归到哪一句话上？ 【生甲】归到分式的基本性质——分子分母同乘或同除一个不为零的整式，值不变。 【生乙】约分是同除，通分是同乘，方向相反，依据相同。 【师】补三点。第一，性质的前提 C ≠ 0，有的题直接给，有的藏在“分式有意义”里，答题时先判断属于哪种。第二，约分约的是公因式，先分解因式再动手，别把减法当除法消。第三，找最简公分母按“系数、因式、指数”三步走，遇到互为相反的因式先变号。 【师追问】π 出现在分母上，通分时把它当字母收进公分母吗？ 【生丙】不用，π 是常数，跟系数一起取最小公倍数。 【师】记住这一条，下节课算带 π 的分式就不会乱。 环节六　当堂检测（约8分钟，限时完成，当堂收回） 1. 下列各式约分中，正确的是（　　） A．(a+b²)/(a+b) = b　　　　B．(−a−b)/(a+b) = −1 C．(−a−b)/(a−b) = −1　　　　D．(a²−b²)/(a−b) = a−b 2. 下列分式是最简分式的是（　　） A．(2a)/(3a²b)　　　　B．a/(a²−3a) C．(a+b)/(a²+b²)　　　　D．(a²−ab)/(a²−b²) 3. 下列等式成立的是（　　） A．(−x+y)/z = −(x+y)/z　　　　B．(−x+y)/z = −(−x−y)/z C．(−x−y)/z = −(x+y)/z　　　　D．(−x−y)/z = −(x−y)/z 4. 若分式 (2a)/(a+b) 中的 a，b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则此分式的值（　　） A．是原来的 20 倍　　　　B．是原来的 10 倍 C．是原来的 1/10　　　　D．不变 5. 化简 (a²−8a+16)/(a²−16) 的结果为 ＿＿＿＿；分式 5/(x+3)，(4x)/(9−x²)，1/(3−x)，1/(x²−6x+9) 的最简公分母是 ＿＿＿＿。 6. 约分： （1）(−15(a+b)²)/(−25(a+b))；（2）(x²y+xy²)/(2xy)；（3）(m²−3m)/(9−m²)。 通分： （1）x/(3y) 与 (3x)/(2y²)；（2）(x−y)/(2x+2y) 与 (xy)/((x+y)²)；（3）(2mn)/(4m²−9) 与 (2m−3)/(2m+3)。 7. 不改变下列分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数为正数。 （1）(7x−x²+10)/(2−x²)；（2）(1−x³)/(3+2x+5x²)。 8. 请从下列三个代数式中任意选两个构成一个分式，并化简该分式。 x²−4xy+4y²，x²−4y²，x−2y。 七、板书设计 主板书分三区。左区立性质：标题下方写分式的基本性质文字与 A/B = (AC)/(BC)（C ≠ 0），下面并列约分、通分两条小结论，中间用双向箭头连接，箭头上写“同除”“同乘”。 中区放例题：例1 写“看变化—找整式—验条件”三步；例2 写符号口诀“负号几处定去留”；例3 写约分三步“一分解、二约分、三看号”；例4 写“三找”口诀。 右区留给学生：约分与通分的课堂生成结果用磁贴摆放，错例保留红笔痕迹，不擦，供反思环节回看。 八、分层作业设计 A 层（全体必做，约 10 分钟）：教科书第141—142页第 1，2，3 题；把例3 第（3）小题的约分过程完整重写一遍，每步标依据。 B 层（选做，约 8 分钟）：教科书第144页练习、第145页习题18.1 第 5，6，7，8，9，10，12 题；给同桌出一道“判断约分正误”题并附答案。 C 层（挑战，约 10 分钟）：自编一个分式，使它约分前后的分子分母各含因式 (x−2y)，约分结果为整式；写出原式与约分过程，并说明你构造时用到了性质的哪半句话。 九、教学反思 本课最顺的是情境导入。蛋糕图一出来，三个分数几乎不用教，学生自己写完就喊出“约分”，性质的水到渠成靠的是这张图，不是我讲得好。下次保留。 最不顺的有两处。一是例2 第（3）小题，我在课上把“三个负号”讲成了一遍又一遍，越讲越绕，一名学生课后追着问“到底数几个负号”。复盘下来，问题出在我没有先把 (10m)/(−3n) 单独化成正的、再处理式子前面的负号，而是把三层符号搅在一起说。下次改成两步走：先内后外，每步只动一处符号，并在黑板上写“一次只动一处”。 二是例3 第（2）小题，我在备课时默认学生记得 (y−x)² = (x−y)²，课上才发现近三分之一的人卡在这里。因式分解的欠账在八下期中还要还利息，本课算是提前收到催款单。调整：下节课课前五分钟固定安排分解热身，连续两周，内容锁定提公因式、平方差、完全平方三样。 学生给我上的课是检测第 4 题。多数人先代数算，也有学生直接说“分子是一次的，分母有一项只含 a，另一项含 a 和 b，同时扩大 10 倍后约掉 10，值不变”。这个说法比我准备的“代入验证”更接近性质本身，我把它原样写进了板书右区。以后讲此类题，先问“谁能不计算说结论”，把估算和结构观察放在动笔之前。 待改进的一点是时间的账。探究环节我放得太开，活动三的通分讨论超时四分钟，挤压了例4，导致通分“三找”口诀只来得及念一遍。下次把活动三的三个分式化简改为课前任务单前置完成，课上只对答案、只讨论“公分母取谁”，把整块时间还给例4。 最后记一笔教研账：本课的板书三区里，右区的错例保留效果出乎意料。交流反思时我指着红笔痕迹问“当时错在哪一步”，答对的学生比讲评新题时多。可见错误的痕迹也是教学资源，擦黑板前先想一想这块板上还有没有没榨干的汁。下节课的板书继续预留错例区，但要做到“留痕不留名”，保护出错学生的面子。 【参考答案与解析】 第 1 题：答案 B。解析：约分约去的是分子分母的公因式。A 中 a+b² 不能提出公因式，不能约成 b；B 中 −a−b = −(a+b)，与分母 a+b 约去后得 −1，正确；C 中 −a−b 与 a−b 不是公因式关系，约不成 −1；D 中 (a²−b²)/(a−b) = (a+b)(a−b)/(a−b) = a+b，不是 a−b。验算：给 B 取 a = 1，b = 2，左边 = (−3)/3 = −1，右边 = −1，两边相等；给 D 取 a = 2，b = 1，左边 = 3，右边 = 1，不相等，确认 D 错。 第 2 题：答案 C。解析：最简分式要求分子分母没有公因式。A 可约去 a；B 分母 a²−3a = a(a−3)，可约去 a；C 的分子 a+b 与分母 a²+b² 没有公因式，是最简分式；D 分子 = a(a−b)，分母 = (a−b)(a+b)，可约去 (a−b)。验算：给 D 取 a = 2，b = 1，原式 = 2/3，约分后 a/(a+b) = 2/3，两者相等，说明确能约分，不是最简。 第 3 题：答案 C。解析：C 中 −x−y = −(x+y)，故 (−x−y)/z = −(x+y)/z，成立。A 中左边 = (y−x)/z，右边 = (−x−y)/z，不等；B 中右边 = −(−x−y)/z = (x+y)/z，与左边 (y−x)/z 不等；D 中右边 = −(x−y)/z = (y−x)/z，与左边 (−x−y)/z 不等。验算：取 x = 1，y = 2，z = 1：C 左边 = (−3)/1 = −3，右边 = −3，成立；A 左边 = 1，右边 = −3，不成立。 第 4 题：答案 D。解析：把 a，b 同时换成 10a，10b，得 (2×10a)/(10a+10b) = 20a/[10(a+b)] = 2a/(a+b)，与原分式相同。验算：取 a = 1，b = 2，原式 = 2/3；扩大后 (2×10)/(10+20) = 20/30 = 2/3，值不变。 第 5 题：答案 (a−4)/(a+4)；最简公分母 (x+3)(x−3)²。解析：分子 a²−8a+16 = (a−4)²，分母 a²−16 = (a−4)(a+4)，约去 (a−4) 得 (a−4)/(a+4)。四个分母分别为 (x+3)，(3−x)(3+x)，−(x−3)，(x−3)²，把 (3−x) 变号为 (x−3)，取所有因式最高次幂，得 (x+3)(x−3)²。验算：取 a = 5，原式 = (25−40+16)/(25−16) = 1/9，化简式 = 1/9，一致。 第 6 题：答案（1）3(a+b)/5；（2）(x+y)/2；（3）−m/(m+3)。解析：（1）分子分母同除以 −5(a+b)，负负得正，得 3(a+b)/5。（2）分子提出 xy，约去 xy，得 (x+y)/2。（3）分子 = m(m−3)，分母 = (3−m)(3+m)，把 (3−m) 变号为 −(m−3)，约去 (m−3) 得 −m/(m+3)。验算：（1）取 a = 1，b = 2，原式 = [−15×9]/[−25×3] = 135/75 = 9/5，化简式 = 3×3/5 = 9/5，一致；（3）取 m = 1，原式 = (−2)/8 = −1/4，化简式 = −1/4，一致。 第 7 题：答案（1）(x²−7x−10)/(x²−2)；（2）−(x³−1)/(5x²+2x+3)。解析：（1）分子最高次项 −x² 的系数为负，提出 −1 得 −(x²−7x−10)；分母最高次项 −x² 同样为负，提出 −1 得 −(x²−2)；分子分母各提出一个 −1，相当于同乘 −1，值不变，结果为 (x²−7x−10)/(x²−2)。（2）分子提出 −1 得 −(x³−1)，分母 5x²+2x+3 最高次项系数为正，不动，负号提到分式前面。验算：（1）取 x = 1：原式 = (7−1+10)/(2−1) = 16，新式 = (1−7−10)/(1−2) = (−16)/(−1) = 16，一致。 第 8 题：答案示例（答案不唯一，符合条件即可）。选 x²−4xy+4y² 作分子、x−2y 作分母：(x²−4xy+4y²)/(x−2y) = (x−2y)²/(x−2y) = x−2y。验算：取 x = 3，y = 1：原式 = (9−12+4)/1 = 1，化简式 = 3−2 = 1，一致。另一示例：选 x²−4y² 作分子、x²−4xy+4y² 作分母，分解得 (x+2y)/(x−2y)。 变式 1：答案 (x+3)/(x−3)。解析：分子 = (x+3)(x−3)，分母 = (x−3)²，约去 (x−3) 得 (x+3)/(x−3)。验算：取 x = 0，原式 = (−9)/9 = −1，化简式 = 3/(−3) = −1，一致。 变式 2：答案 x(x+3)/[(x−3)(x+3)] 与 2x(x−3)/[(x−3)(x+3)]。解析：最简公分母为 (x−3)(x+3)；第一个分式分子分母同乘 (x+3)，第二个同乘 (x−3)。验算：取 x = 1，通分前两式分别为 1/(−2) = −1/2 与 2/4 = 1/2；通分式分别为 1×4/(−2×4) = −1/2 与 2×(−2)/(−8) = 1/2，一致。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $