18.1.2 分式的基本性质教学设计 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦分式的基本性质及约分、通分、变号等应用，通过分蛋糕情境从分数基本性质类比迁移，搭建“数式通性”学习支架，梳理分式性质与分数性质的内在联系。 以“四化”（简化、同化、整化、正化）统领教学，结合数学审美驱动知识生成，如分蛋糕“简约美”引出最简分式，典例强化条件意识（C≠0），培养学生抽象能力与推理意识，帮助教师高效落实重点、突破难点，提升课堂教学质量。

18.1.2　分式的基本性质 课题 18.1.2　分式的基本性质 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1. 理解并掌握分式的基本性质，能用字母表示基本性质并说明其含义； 2. 能运用分式的基本性质对分式进行恒等变形，掌握分式的约分、通分方法，会把分式化为最简分式或同分母分式； 3. 在探究中学会用类比的方法，由分数的基本性质迁移得出分式的基本性质，体会“数式通性”思想。 教学重点 分式的基本性质及其运用（约分、通分、变号）。 教学难点 灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形。 教学方法 讲授法、探究法、类比法、演示法 教学准备 多媒体课件、直尺 课后练习 教科书P141-142第1、2、3题，P144练习，P145习题18.1第5、6、7、8、9、10、12题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 创设情境，激趣导入 教师播放“自然景色美”短片营造氛围，并点题：数学因简约、对称、和谐而美。 2. 分蛋糕，探简约之美 展示分蛋糕的图片，从图中得到三个分数： 、、 问题1：根据数学的“审美标准”，上面哪个分数最具“简约之美”？ 答：（分子分母互质，不能再约简）。 问题2：从 、到，我们实施了怎样的变形？ 答：把分数的分子、分母都除以它们的公因数，叫作分数的约分。 问题3：这种变形的依据是什么？其内容是什么？ 答：变形的依据是分数的基本性质——分数的分子与分母同乘以或同除以同一个不为零的数，分数的值不变。 教师设问：类比分数的基本性质，聪明的你能猜想出分式有什么性质吗？由此揭示课题。 观察分蛋糕图，辨识三个分数，回答“简约之美”与约分依据，类比分数基本性质大胆猜想分式性质。 以“简约美”驱动学生从蛋糕等分图中找出最简分数，由分数约分依据自然过渡到分式性质的猜想，激发探究欲。 二、探究归纳 活动一 基本性质 活动一：探究分式的基本性质 1. 数式类比，辨析判断 与相等吗？与相等吗？为什么？ 归纳：；。 2. 说过程、谈依据 说出与之间、与之间变形的过程，并说明变形依据。 答：分数的分子、分母同除以它们的公因数；分式的分子、分母同除以它们的公因式，依据是各自对应的基本性质。 3. 类比猜想，归纳性质 （1）文字语言：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 （2）字母表示：，（C≠0），其中A、B、C是整式。 点拨：应用时需保证分式有意义（B≠0），且同乘或同除的整式C不等于0。 通过数式类比判断分式是否相等，口述变形过程与依据，类比分数基本性质猜想并归纳分式的基本性质。 以分数基本性质为脚手架，通过数式通性类比实现知识迁移，让学生自主生成分式基本性质并强化条件意识（C≠0）。 三、探究归纳 活动二 约分 活动二：探究分式的约分 1. 指出变形过程 （1）=　　（2）=（b≠0） 答：（1）中分子、分母同除以；（2）中分子、分母同乘以 b。 2. 分数引入 对分数怎样化简？答：约去分子、分母的公因数4，得。 3. 类比分式的约分：类似地，分式也可以约分，把分子、分母的公因式约去。 4. 填空约分 （1）=　（2）= （3）=　（4）= 归纳： （1）约分：把分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分； （2）最简分式：分式的分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 注意：约分的依据是分式的基本性质，约分的结果一般是最简分式或整式。 口答变形的依据，复习分数约分方法，类比完成4道分式约分填空，归纳约分与最简分式的定义。 从分数约分迁移至分式约分，突出“约去公因式”的本质，通过有字母分子分母的约分落实定义。 四、探究归纳 活动三 通分 活动三：探究分式的通分 1. 观察共性 分式、、有什么共同点？ 答：它们都不是最简分式，并且分母都相同。 2. 化异分母为同分母 约分后分别得到：、、；此时分母相同。若约分后分母不同，则需要把它们变形成分母相同的分式，即通分。 归纳： （1）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分； （2）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积。 注意：通分的依据是分式的基本性质。 比较三个分式，找出同分母共同点，比较约分前后分母的变化，归纳通分与最简公分母的概念。 通过对比约分前后分母的变化，自然引出“化异分母为同分母”的通分需求，建立最简公分母的概念。 五、探究归纳 活动四 应用举例 【典例精讲】 例1　下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）=（c≠0）　　（2）= 【答案】 （1）由c≠0，知==。 （2）由x≠0，知==。 想一想：为什么（1）要给出c≠0，而（2）没有给出x≠0？ 答：因为（1）等号左边的分母b中没有出现c，需明确c≠0；（2）等号左边的分式分母中已含x，若x=0，则给出的分式本身无意义。 点拨：应用分式基本性质变形时，一定要确定分式有意义且同乘（或同除）的整式不为零。 例2　不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”： （1）　　（2）　　（3） 【答案】 （1）=　　（2）=　　（3）= 变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式值不变（可用“负负得正”的口诀记忆）。 例3　约分： （1）　　（2）　　（3） 【答案】 （1）= （2）== （3）== 约分的方法： ①把分子、分母分解因式；②约去分子、分母相同因式的最低次幂；③尽量把分子、分母最高次项的系数化为正数。 注意：分子、分母是多项式时，应先分解因式再约分；注意完全平方公式的应用。 例4　通分： （1）与　　（2）与 【答案】 （1）最简公分母是。 ==；== （2）最简公分母是。 =；= 确定最简公分母的方法： ①找系数——取各分母系数的最小公倍数；②找字母——凡各分母因式中出现的字母或含字母的式子都要选取；③找指数——取各分母因式中出现字母的最高次幂。 跟随例1例2例3例4完成恒等变形、变号、约分、通分，思考“为什么给出c≠0”等问题，归纳约分、通分与最简公分母的确定方法。 以“性质—变号—约分—通分”为主线完整落实分式基本性质的应用，通过追问强化莫忘条件（C≠0、分式有意义），突出重点、化解难点。 六、交流反思 课堂小结 1. 知识梳理 分式的基本性质：，（C≠0）。 2. “四化”运用 简化——约分（化为最简分式或整式）；同化——通分（化为同分母分式）；整化——化为整式形式；正化——通过变号使分子、分母最高次项系数为正。 3. 思想方法 由分数到分式的研究贯穿类比（数式通性）思想，约分、通分、变号均依据分式的基本性质。 梳理基本性质与“四化”应用，回顾类比与式不变的变形思想，畅谈收获。 以“四化”整合约分、通分、整化、正化，提炼类比思想，帮助学生形成完整知识网络。 七、当堂检测 1. 下列各式约分中，正确的是（　　） A.=　B.=　C.=　D.= 答案：B（其余分别为 x/y、x+1、不可约。） 2. 下列分式是最简分式的是（　　） A.　B.　C.　D. 答案：D（A、B、C都可进一步约分。） 3. 下列等式成立的是（　　） A.=　B.=　C.=　D.= 答案：B（涉及分子、分母与分式本身的变号法则。） 4. 若分式 中a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（　　） A.是原来的20倍　B.是原来的10倍　C.是原来的　D.不变 答案：B（分子扩大100倍、分母扩大10倍，故值扩大10倍。） 5. 化简的结果为＿＿＿；分式、、的最简公分母是＿＿＿。 答案：x+2；。 6. 约分与通分 约分：（1）（2）（3） 通分：（1）与（2）与（3）与 答案：约分（1）（2）（3） 通分：（1）最简公分母（2）（3） 7. 不改变下列分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数为正数： （1）　　（2） 答案：（1）（2） 8. 请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简：、、 答案（示例）：== 独立完成选择与填空，口述约分、通分的依据，板演约分通分与变号题，同桌互批订正。 即时反馈熟练掌握基本性质、约分、通分与变号四类运算的达成度，落实“做中学”。 八、布置作业 必做： 教科书P141-142第1、2、3题，P144练习。 选做： 教科书P145习题18.1第5、6、7、8、9、10、12题。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固基础，选做题拓展提升。 板书设计 18.1.2　分式的基本性质 一、分式的基本性质 A/B = A·C/(B·C)（C≠0） A/B = (A÷C)/(B÷C)（C≠0） 依据：分式基本性质,需有意义 二、“四化”运用 简化→约分（最简分式、整式） 同化→通分（最简公分母） 整化→化为整式 正化→变号，最高次项系数为正 三、约分·通分方法 约分：分解因式 → 约公因式 通分：最小公倍数 × 最高次幂 变号：分子分母分式变两处 学生板演区 教学反思 本节内容涵盖三个知识点：分式的基本性质、约分、通分。分式的基本性质与分数的基本性质一理相通，故教学采用类比策略，由学生自主猜想、归纳与表达，感悟“数式通性”与类比思想；约分、通分都依据分式的基本性质，但由于需要先对分子、分母进行因式分解、再确定最简公分母，且要兼顾分式是否有意义，其实际运算比分数更为复杂。 本设计以“四化”——简化（约分）、同化（通分）、整化、正化——统领全课，从数学美的角度自然引出四类问题，让学生的审美直觉驱动知识生成，同时通过变号处理（使分子、分母的最高次项系数为正）强化符号意识训练。教学中注意复习因式分解、完全平方公式等前置知识，为约分、通分扫清计算障碍。 学科网（北京）股份有限公司 $