2.5.1 直线和圆的位置关系讲义（9个核心题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线和圆的位置关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _两个____ __一个___ __零个___ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 __ ___ __ ___ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _ ____ _____ _____ 2．若直线与圆相交，则圆的半径r，弦心距d，与弦长的一半满足______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断直线和圆的位置关系 基础知识 核心知识 圆标准方程圆心半径 点到直线距离公式 相离无交点 相切1个交点 相交2个交点 联立方程利用判别式判断相交相切相离 方法技巧 优先选用几何法比较与计算量更小 代数法联立方程组适合题目要求交点相关证明时使用 典型例题 【例题 1】已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用几何法判断.由圆心到直线的距离与半径的大小关系，则可判断直线与圆的位置关系. 【详解】由已知得：圆的圆心为，半径为， ∵是圆内异于圆心的一点， ∴，∴， 则圆心到直线的距离为：， 故直线与圆相离. 【例题2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在直线上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据点与圆的位置关系得到关于的等式或不等式，再通过圆心到直线的距离与半径的大小判断A，B，C；表示出三角形面积后利用基本不等式求面积的最小值判断D. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 选项A：点在直线上，则，此时，直线与圆相切，故A正确. 选项B：点在圆外，则，此时，直线与圆相交，故B错误. 选项C：点在圆内，则，此时，直线与圆相离，故C正确. 选项D：点在圆上，则.直线与轴交于（），与轴交于（）， 围成三角形的面积为.由，得，故， 当且仅当时取等号，面积最小值为1，故D正确. 【巩固练习2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离公式和点的位置判断即可得出答案. 【详解】由题可得圆的半径为，圆心坐标为， 对于A，若点在圆上，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相交，故C错误； 对于D，若点在直线上，则，即， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故D正确； 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知直线，圆，点，则（） A．若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B．若M在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D．若M在直线l上，则直线l与圆C相离 【答案】BC 【分析】先推导出圆心到直线距离，再根据点在圆上、圆内、圆外或在直线上，比较d与半径1的大小，判断直线与圆位置关系. 【详解】圆，圆心，半径，圆心到直线的距离为，点，记，于是. 选项A，若在圆上：，此时直线与圆相切，不是相交，A错误； 选项B，若在圆内：，圆心距大于半径，直线与圆相离，B正确； 选项C，若在圆外：，圆心距小于半径，直线与圆相交，C正确； 选项D，若在直线上：，直线与圆相切，不是相离，D错误. 【题型2】 由直线和圆的位置关系求参数 基础知识 核心知识 几何法：列出和的不等或等式关系 代数法：联立直线与圆方程利用判别式列不等式 方法技巧 先写出圆心半径写出圆心到直线距离表达式 根据位置关系写出对应条件求解参数范围 注意直线斜率不存在的特殊情况不要漏解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】问题转换成直线与半圆的交点个数，结合直线斜率变化规律，数形结合即可求解. 【详解】不妨令， 则由得， 直线经过定点， 如图，当直线与半圆相切时，此时， 则， 当直线与半圆恰有两个公共点时符合题意， 数形结合可知，的取值范围为． 【例题2】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到曲线为圆心为，半径为2的下半圆，求出特殊位置时直线的斜率，数形结合得到答案 【详解】，两边平方得， 故曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 如图所示， 当过点时，斜率为，当过点时，斜率为， 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线有1个交点，不合要求， 设直线为， 若直线与相切，则，解得或0， 由图可知，直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 则的斜率的取值范围是 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）以为圆心，且和直线相切的圆的半径为_____． 【答案】 【分析】利用圆与直线相切时半径等于圆心到切线的距离，代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由圆与直线相切的性质可知，圆的半径等于圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式： ， 所以，所求圆的半径为. 【巩固练习2】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为________． 提示：二元一次不等式（或）在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域（不包括边界）． 【答案】 【分析】作出曲线与直线的图形，由题意根据图形计算可解． 【详解】由，平方后整理得，表示圆心在原点且半径为1的圆， 又有，即，其表示的区域为直线的左上方区域（包括边界）， 则表示的图形为如图所示的半圆． 又有表示恒过定点的直线， 且直线与曲线有两个不同的交点， 即半圆和直线始终有两个公共点， 则当圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时，知， 则由图形可知，当时，均满足题意； 当时，切点不在图示半圆内， 故由图形可知，当时，均不符合题意． 故实数的取值范围为． 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 【答案】 【分析】由直线与两圆相切建立关于，的方程组，解方程组即可. 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径， 即，，所以，所以（舍）或者， 则，代入得， ，化简得， 因为直线与圆相切， 所以， 解得（舍去负值），. 【题型3】 求圆的弦长，弧长，面积 基础知识 核心知识 弦长公式为圆心到直线距离 弧长公式为圆心角弧度制 扇形面积公式 方法技巧 垂径定理是核心圆心弦中点弦端点构成直角三角形 优先几何法求弦长避免联立方程复杂计算 求面积先找圆心角利用三角函数计算三角形高 典型例题 【例题1】（2026·黑龙江大庆·一模）已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 由弦长公式可得，故D正确. 【例题2】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)过点的直线与直线垂直，且直线与圆交于、两点，求. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）根据直线是圆的对称轴可知圆心在直线上，将圆心坐标代入直线方程即可求出的值，从而求出圆心和半径； （2）先由垂直关系求出直线的方程，再求出点到直线的距离，最后利用弦长公式求出弦长. 【详解】（1）由题可知圆心，半径，又直线为圆的对称轴，则圆心在直线上， 所以，解得，所以圆心，半径. （2）因为直线与直线垂直，所以设直线的方程为， 又点在直线上，则，所以， 因此，直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为， 因此弦长. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线过点，且_____． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆相切； ②其倾斜角的余弦值为； ③直线的一个方向向量为． (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所选条件求出直线的斜率，结合点的坐标由点斜式写方程并转化为一般式即可. （2）将曲线化为圆的标准方程，用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长. 【详解】（1） 若选①：将代入圆方程得，故点在圆上. 圆的圆心为，圆心与连线的斜率为. 因为直线与圆相切，切线与半径垂直，故直线的斜率为. 由点斜式得，整理为一般式得. 若选②：设直线倾斜角为，由， 得，故斜率. 由点斜式得，整理为一般式得. 若选③：直线的方向向量为，故斜率. 由点斜式得，整理为一般式得. （2）将曲线配方得，可知曲线是圆心为、半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以曲线与直线相交. 由垂径定理得弦长. 【巩固练习2】（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：与圆：交于，两点，则________． 【答案】8 【分析】由圆方程得到圆圆心为，半径为.根据点到直线的距离公式求得，然后利用勾股定理求解可得. 【详解】由可得， 所以圆圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以 【巩固练习3】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，则的面积__________. 【答案】 【分析】先利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以， 所以. 【题型4】 由三角形面积，弦长等求参数 基础知识 核心知识 弦长圆心到直线距离 为弦对应的圆心角 弦长 方法技巧 把面积条件转化为关于的方程 代入距离公式求解参数 检验参数是否满足直线存在的前提 典型例题 【例题1】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【详解】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 【例题2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知点，，． (1)求的外接圆的方程； (2)若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三个顶点坐标求解系数后化为标准方程； （2）由圆心角为推导圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式列方程求. 【详解】（1）设外接圆的一般方程为（满足）， 将、、分别代入方程得：，解得：， 因此圆的方程为，配方得标准方程：. （2）由（1）得圆的圆心为，半径. 因为，且，所以圆心到直线的距离. 将直线整理为， 由点到直线距离公式得：， 解得：或. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线经过点，：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若该直线与圆相交于，两点，且面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)直线的方程为或. (2)和， 【分析】（1）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，结合即可求解； （2）由题意可求得，设直线的方程为，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】（1）由题可得的圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，直线与圆相切，符合条件. 当直线斜率存在时，设直线方程为，即. 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得. 代入得直线方程. 故切线方程为或. （2）设圆心到直线的距离为， 因为，所以， 所以， 所以， 结合（1）可知所求直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 则，整理得，解得：， 所以直线方程是和， 整理得和. 【巩固练习2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 【答案】 【详解】圆的方程可化为，故圆心为，半径，其中． 由及的面积不为零，知，为直线与圆的两个不同交点，圆心到该直线的距离为． 由，得，再由半径、半弦长与弦心距的关系，得，所以，解得． 此时，直线与圆相交，且的面积为，符合题意． 【巩固练习3】（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据圆的弦长公式推导、与圆心坐标的关系，再结合各选项的约束条件逐一判断正误. 【详解】∵ ⊙的方程为，半径， 圆心到轴的距离为，到轴的距离为， 由弦长公式可得，， 且弦长存在，则，，即，. 对选项A：∵，即，不能取任意实数，A错误. 对选项B：若，则，即， 只要满足，即可，符合条件的圆心有无数个， B正确. 对选项C：若圆心在⊙上，则， ∴，，则， 因为，由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立， ∴的最大值为，C正确. 对选项D：∵，，令，， ∴. ∵圆心在直线上，∴， 代入得：， 结合弦长存在的约束，可得当时，取得最小值， 此时取最大值，故， 由基本不等式可得 ∴，即，∴， 当且仅当（即，结合可解得，满足）时等号成立. 故的最大值为，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查圆的弦长公式、不等式求最值，解题时先推导弦长与圆心坐标的关系，再结合约束条件转化为代数最值问题求解. 【题型5】 求圆外一点/圆上一点的切线方程 基础知识 核心知识 圆上一点处切线方程 切线性质圆心与切点连线垂直切线 点到直线距离等于半径 方法技巧 圆上一点直接套切线公式或者利用垂直求斜率 圆外一点设切线方程注意斜率不存在的切线 利用列方程求斜率一般会得到两条切线 典型例题 【例题1】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【例题2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆：． (1)求的取值范围． (2)已知直线：与圆交于，两点，且．求过点的圆切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将圆化为标准方程，根据半径恒为正列不等式求的取值范围； （2）根据弦长公式，建立方程，求出参数；再分斜率不存在和存在两种情况，设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求切线． 【详解】（1）由题意得，则，得，所以的取值范围为． （2）设圆的半径为，由题意得圆心到直线的距离 因为，解得，所以，解得． 因此圆. 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为； 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即, 得， 所以所求的切线方程为，即． 综上，过点的圆的切线方程为或． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先由圆的方程求出的范围，再由直线与圆相交的弦长公式求解即可； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，根据，求解即可. 【详解】（1）因为圆， 所以，解得， 且圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 由弦长公式可得， 所以，解得，满足， 所以. （2）当时，则圆心，半径， 设直线的方程为， 由圆心到直线的距离， 又因为直线与圆C相切， 所以， 即， 解得或， 所以直线的方程为或. 【巩固练习2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时，直线与圆心距距离，为圆的切线； 当斜率存在时，设切线方程，即. ，整理得. 切线方程得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，圆. (1)若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. (2)若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式列式求解. （2）按直线的斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 点到直线的距离为， 由弦的长为，得，所以. （2）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到此直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 【题型6】 切点弦方程及其应用 基础知识 核心知识 圆外一点 切点弦方程 切点弦是两个切点连成的直线不是过的切线 方法技巧 直接套用切点弦公式快速写出方程 可用于求切点坐标求切点弦长度求三角形面积 区分切线方程和切点弦方程避免公式混淆 典型例题 【例题1】（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知圆，为圆心），动点，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（     ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点为 【答案】AB 【分析】A选项，得到在直线上运动，当⊥直线时，四边形的面积最小，求出最小值，A正确；BC选项，在A基础上，求出弦最小值为，并得到四点共圆，求出以为直径的圆的方程，可得弦的直线方程；D选项，设，求出以为直径的圆的方程，进而得到直线的方程，求出所过定点. 【详解】A选项，中，令，则， 即在直线上运动， 的圆心为，半径为，故， 四边形的面积为， 要想四边形的面积最小，只需最小，而， 故只需最小，显然当⊥直线时，最小， 最小值为，此时，， 故四边形的面积最小值为，A正确； BC选项，最短时，由A知，四边形的面积取得最小值，， 此时⊥，四边形的面积等于， 故，解得，故弦长为，B正确； 四点共圆，此圆的直径为， 由垂直关系可知直线的斜率为，故直线的方程为，即， 联立与得，故， 故的中点坐标为，而， 故以为直径的圆的半径为，故方程为， 与相减可得， 所以弦直线方程为，C错误； D选项，设，则， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 化简得， 与相减得， 即直线的方程为， 其中，故直线的方程为， 变形得到， 令，解得， 故直线过定点为，D错误. 【例题2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】先将圆化为标准方程，从而得到圆心的坐标和半径为，设，从而得到切点弦的直线方程，即可得到直线恒过定点的坐标，再根据圆的性质得到点在以为直径的圆上，进而根据点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】由圆，则其标准方程为， 则圆心为，半径为， 由动点在直线上，则设， 则切点弦的直线方程为， 整理得， 则，解得，，即直线恒过定点， 又直线和相交于点，即，则点在以为直径的圆上， 所以圆的圆心坐标为，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江西·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 【答案】ACD 【分析】利用圆的切点弦（极线）方程表示直线，再结合切线长和点到直线距离，分别判断各选项． 【详解】对于A，圆的方程化为，故圆心为，半径为． 设，由在直线上，得． 由圆的切点弦方程，直线满足， 即． 当时，由得， 所以的方程为，选项A正确； 对于B，此时． 在直角三角形中，，且． 又平分等腰三角形的顶角， 所以，不等于，选项B错误； 对于C，由于，，且， 四边形的面积为． 又，所以四边形面积最小时，取最小值， 即为圆心到直线的垂足． ， 故，选项C正确； 对于D，圆心到直线的垂足为． 代入切点弦方程，得， 即，选项D正确． 【巩固练习2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． (1)若，求直线的方程； (2)求的最小值； (3)若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆上一点的切线方程，由点在两条切线上，得到两点共同满足的方程，即为切点弦方程； （2）先写出通用切点弦方程，求圆心到的距离，结合弦长公式，分析距离的最大值，从而求出弦长最小值； （3）设切线斜率，由相切条件得到斜率的一元二次方程，用韦达定理与斜率差公式表示，进而求最小值． 【详解】（1）已知圆心，设切点，取切线上任意异于点的一点，则， 故， 则，展开整理得，， 故过点的切线方程为， 点在切线上，故， 整理可得， 同理，切点也满足此方程，故切点弦的方程为． （2）结合（1）结论，对任意参数，切点弦的方程为：， 圆心到直线的距离， 当且仅当时取最大值， 弦长，故的最小值为． （3）设过点的切线斜率为，则切线方程为， 即， 由相切关系得，即，整理得 ， 两条直线对应的斜率，则 ， 切线与轴交点纵坐标为，即， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 【巩固练习3】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（      ） A．圆的标准方程 B．四边形周长的最小值为 C．直线过定点 D．若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】本题是圆的综合题，要结合圆的方程，直线与圆的位置关系，切线长公式以及直线过定点问题和绝对值函数的性质，逐项进行分析解答. 【详解】A：圆关于直线和对称，因此圆心是这两条线的交点. 联立方程：解得，即圆心. 圆C经过点，半径为圆心到的距离， 因此圆的标准方程为，A正确； B：四边形的周长为（为切线长）. 切线长因此周长为 要使周长最小，需最小（在直线上）. 的最小值为圆心到直线的距离： 此时周长最小值为，B正确； C：设满足以为直径的圆的方程为 与圆的方程相减得公共弦(即切点弦)的方程 整理得代入 变形为代入上式，整理得， 联立，可得，说明直线所过定点为 错误； ：由， 表示圆上的点到直线、距离和的倍， 要使的取值与无关，只需圆在两条直线之间，如上图， 又到的距离，即直线与圆相离， 若过圆心，则，即直线过圆心，则为，显然， 所以，只需在圆的另一侧与圆相切或相离即可，即且， 所以，即D选项正确. 【题型7】 圆上的点到直线距离为定值的点的个数 基础知识 核心知识 设圆心到直线距离为半径 看和与定值的大小关系判断交点个数 方法技巧 先算圆心到直线距离 在圆心向直线方向做平行线距离等于 看平行线与圆交点数量就是满足条件点的个数 画简易示意图辅助判断减少漏数 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆 上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将圆上距离已知直线距离为的点有且仅有个，转换为圆与平行于已知直线且距离为的两条直线的交点数总和为. 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 【例题2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，列式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为1， 说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 【巩固练习2】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 【巩固练习3】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 【题型8】 直线与圆中几种常见代数式的最值 基础知识 核心知识 几何意义圆上动点与定点连线斜率 设即是直线纵截距 圆上动点到原点距离平方 方法技巧 全部转化几何意义用圆心到直线距离结合半径求最值 斜率最值利用切线临界位置求解 距离类最值 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由圆的标准方程即可求解；对于B，设，代入圆的方程中，得关于的一元二次方程，根据方程有实数解，判别式大于等于0，可列出关于的不等式，即可求解；对于C，利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解；对于D，根据几何意义，将所求式子转化为向量与向量的夹角的余弦值的两倍，求出圆的过原点的两条切线方程，得到与向量的夹角的范围，进而求得式子的取值范围. 【详解】对于A，因为圆的方程为， 所以圆心为，半径为，故A正确； 对于B，设，则， 将其代入圆的方程中得：， 即， 因为有实数解，所以判别式， 即， 化简得：， 解得：， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，（）的几何意义是圆上点与原点连线的斜率， 设，则直线方程为，即， 直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离， 即，所以，解得或， 因此（）的取值范围是，故C错误. 对于D，式子的几何意义是： 向量与向量的夹角的余弦值的两倍， 过原点作圆的切线，设方程为， 圆心到切线的距离，解得， 所以两条切线方程为和，且两切线的倾斜角分别为， 射线介于这两条切线之间， 所以与向量的夹角，则， 所以，故D正确. 【例题2】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)40；10. (2)． 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解； （2）解法一：设，代入利用三角恒等变换化简计算求解即可；解法二：根据的几何意义，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】（1）表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ， 即的最大值为40，最小值为10. （2）解法一：设， 则 ， ∴其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 【巩固练习3】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知直线，点，，，则（     ）． A．点的集合是 B．点的集合是 C．点到直线的距离的取值范围是 D．点到直线的距离的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据原点到直线的距离，确定直线的特征，再结合点和直线的关系，判断AB，根据原点到直线的距离，再结合点与圆的位置关系，即可判断CD. 【详解】原点到直线的距离， 因此直线都是圆的切线， ，，所以点始终不在任何切线上， 即点在圆的内部，满足，故A错误，B正确； 原点到直线的距离， 所以直线在圆外，圆内点到直线的最小距离为，最大距离为， 又不包含圆的边界，因此距离的取值范围是，故C正确，D错误. 【题型9】 平面向量与直线与圆的综合 基础知识 核心知识 向量数量积 向量坐标运算圆上点坐标满足圆方程 方法技巧 方法一坐标法设点代入向量表达式转化函数求范围 方法二向量极化恒等式简化数量积 结合圆几何性质找动点临界位置优先几何法减少运算 注意动点在圆上最值一般在动点与圆心连线方向取得 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为 ，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 【例题2】（2026·河北唐山·模拟预测）已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算得到，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设的中点为，根据圆的性质可得，如图所示. 则， 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，其方程为. 因为,所以，. 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2， 因为，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点A，再找出弦的中点的轨迹方程，最后数形结合求出的最小值. 【详解】已知直线恒过定点A， 即对任意恒成立， 则，解得，所以定点A的坐标为. 由，可知P、A、Q三点共线， 设弦的中点为，连接，如图，则，即， 所以 ，由此可得E的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为，则到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则R是的中点， 所以 ，即， 则 【巩固练习2】（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 【巩固练习3】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，动点P满足，若直线上的两个点M，N满足，则面积的最大值为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 【答案】B 【分析】设，根据可得，可知在以为圆心，半径为4的圆上，进而求出点到的距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设，则， 由，得，整理得， 故在以为圆心，半径为4的圆上， 点到的距离， 故点到的距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为，由是圆内异于圆心的一点，得，从而． 圆心到直线的距离， 故直线与圆相离． 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心与半径，根据圆上存在4个到直线距离为1的点，推出圆心到直线的距离小于半径减1，代入点到直线距离公式求解b的范围 【详解】由圆可得，圆心为，半径. 若圆上存在四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足， 根据点到直线的距离公式，，代入不等式得： ， 化简得，即，解得. 3．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，若直线：上总存在、两点，使得恒成立，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部（包含边界），结合点到直线的距离公式，进而得到圆的半径的最小值，即可求解. 【详解】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部（包含边界）， 点P、Q在直线上， 而点到直线l：的距离为， 则以为直径的圆的半径的最小值为3， 所以的最小值为6，则线段PQ长度的取值范围是. 4．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知实数，，，满足，，，则2 的最大值为（    ） A． B．8+ C． D．10+ 【答案】C 【分析】设，是单位圆上的两点，且，利用点到直线的距离公式，推导出2 等于MN的三等分点C（靠近M）到直线的距离的倍，结合  算出CD长的最大值，进而可得所求答案. 【详解】由，， 可知点，在圆O：上， 因为，所以，即， 设直线l：，则2， 表示点M到直线l距离的2倍， ， 表示点N到直线l距离的倍， 根据题意，圆O：在直线l的下方， 故点M、N都在直线的下方， 取MN的三等分点C（靠近M），过M、N、C分别作直线l的垂线，垂足分别为A、B、D， 可得2 ， ， 不妨设，若过点N作交分别于，则， 所以， 所以2 ， 由， ，， 在中，由余弦定理得  ,得， 因为点O到直线l的距离， 所以点C到直线l的距离， 所以当CD经过原点O时， 2，取得最大值． 二、多选题 5．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线平分圆 【答案】ABC 【详解】对于A选项，变形为， 故圆的半径为，A正确； 对于B选项，可以看出直线恒过点，B正确； 对于C选项，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 即当时，直线与圆只有个公共点，即直线与圆相切，C正确； 对于D选项，当时，直线的方程为， 由于圆心不在上，故直线不平分圆，D错误. 6．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知圆，直线，则（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线恒过定点 C．圆心到直线的最大距离为 D．设直线与圆相交于两点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，利用圆的标准方程求出圆心和半径；选项B，将直线整理为，该式对任意实数恒成立得到，解出的值，从而得到定点的坐标；选项C，由直线恒过定点 ，得到圆心C到直线的距离d最大为，利用两点间的距离公式求解；选项D，由弦长公式求，最大时最小，利用勾股定理求出. 【详解】对于选项A，因为得， 所以圆的圆心坐标为，半径为，故A正确； 对于选项B，将直线的方程整理为， 该式对任意实数恒成立， 因此需满足，解得，即定点的坐标为，故B正确； 对于选项C，因为直线恒过定点， 所以圆心到直线的距离最大为， ，故C错误； 对于选项D，由弦长公式得， 因此最大时最小，所以，故D正确. 7．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆与轴切于点，圆心在直线上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．若为圆上的动点，则的最大值为 C．当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时， D．若，则在圆上不存在点，使得 【答案】ABD 【分析】确定圆心和半径，可得圆的方程，可判断A的真假；设，利用圆心到直线的距离不大于圆的半径，可求的取值范围，判断B的真假；利用圆心到直线的距离等于1，可求的值，判断C的真假；过点作圆的切线，根据两切线的夹角，可得的最大值，即可判断D的真假. 【详解】因为圆与轴切于点，所以圆心在轴上， 又直线与轴的交点为， 所以圆心到的距离为，是圆的半径. 对A，可得圆的标准方程为：，故A正确； 对B，设，即， 因为直线与圆有公共点，所以 ， 所以的最大值为，故B正确； 对C，当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为. 所以 或，故C错误； 对D，过点作圆的切线，可知切线必存在斜率. 设切线方程为，即， 由 或，所以两切线的倾斜角分别为和， 所以两切线的夹角为. 所以. 因为，所以在圆上不存在点，使得.故D正确. 8．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故最大值为，A正确. AI对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得， 所以的最小值为，不是，故B错误； AI对C选项，过斜率为的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以 ， 因为，所以 ， 所以，故D正确. AI 三、填空题 9．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 【答案】 【分析】在以为圆心，3为半径的圆上，设，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求出答案 【详解】，即， 故在以为圆心，3为半径的圆上， 设，即，表示直线， 要与有公共点， 故，解得， 故的最大值为 10．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，然后对的斜率是否为进行分类讨论，由此列方程求得直线的斜率. 【详解】圆，即， 所以圆是圆心为，半径为的圆. 由于，所以点在圆外. 当直线l斜率为0时，直线的方程为， 圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线l：，则由题意C到l的距离等于，即， 解得，故直线的斜率为. 11．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知，，若曲线和有公共点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由曲线有公共点，整理得到关于的直线方程，为原点到点距离的平方，利用点到直线距离不等式放缩，化简分母并用辅助角公式求其最值，从而得到的最小值. 【详解】与有公共点， 可知存在实数，使得， 整理得， 将上式看作关于变量的直线方程， 表示坐标原点到点的距离的平方，点在上述直线上， 根据点到直线的距离公式，原点到该直线的距离：， ，即， ， ，其中， 又，故， 所以， 要使最小，则分母取最大值， 所以， 故的最小值为, 12．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆：，圆：，直线l过两圆圆心，且直线l与圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，点P在x轴上，则的最小值为__________． 【答案】10 【分析】分别求出两个圆的标准方程，进而求得圆心和半径，根据直线l过两圆圆心，求得直线的方程，利用向量的线性运算表示，，，，从而可以化简，设出点坐标为，从而将式子变为关于的二次函数，即可求其最小值. 【详解】 圆的标准方程为：，圆心为，半径为1， 圆的标准方程为：，圆心为，半径为2， 因为直线l过两圆圆心， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， ，， 所以， ， 所以， 设点， 所以 ， 这是关于的二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 所以当时，取得最小值为10. 13．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分 只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 四、解答题 14．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）已知圆经过，，三点，设圆的一般方程为，其中， 将各点代入方程，可得，解得， 所以圆的一般方程为. （2）由（1）可知，圆的一般方程为，即，圆心，半径， 如图所示，圆心到直线的距离， 根据弦长公式，弦长. 15．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆， (1)直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)已知直线，求直线被圆截得的最短弦长． 【答案】(1) 直线的方程为和 (2) 最短弦长为 【分析】（1）圆的圆心和半径，设直线的方程为：，根据直线过点且与圆相切结合点到直线的距离公式，求得直线的方程； （2）求得直线所过定点，分析知当直线与垂直时，弦长最短，并求得最短弦长. 【详解】（1）圆的圆心为，半径. 设直线的方程为：， 因为过点，所以，. 因为直线与圆相切， 所以，即， 化简得，， 当时，，直线 的方程为，即； 当时，，，直线 的方程为，即. 所以直线的方程为和. （2）由，得， 由 ，得， 所以直线过定点. 易知，当时，圆心到直线的距离最大， 因为半径为定值，所以此时弦长最短， 因为， 最短弦长为. 16．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆经过点，，且 ． (1)求圆的标准方程； (2)若直线：与圆相交于，两点． （ⅰ）求； （ii）求过，两点且面积最小的圆的方程． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)（i）  （ii）（或） 【分析】（1）选① ：解法一：设圆的标准方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程；解法二：设圆的一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程. 选②：解法一：先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程；解法二：根据圆心在直线上，设圆心，再由可得，从而可得圆的标准方程； （2）由（1）知圆的标准方程，解法一：利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得；解法二：通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. 【详解】（1）选①： （解法一）:设圆的标准方程为． 因为圆经过点，，三个点， 所以，消去得，解得， 再将代入解得， 圆的标准方程为． （解法二）:设圆的一般方程为． 由题意可得，， 消去得，解得，再代入方程解得. 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选②： （解法一）：由，，得，中点为， 线段的垂直平分线为，即． 又圆心在直线上， 联立，解得，即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （解法二）：因为圆心在直线上， 所以设圆心，且，在圆上， ，， 整理得，解得. 所以圆心． 圆的标准方程为． （2）（i）（解法一）：由（1）知圆的标准方程为，                              所以圆心到直线的距离. 因为圆的半径，所以弦长． （解法二）：联立直线方程与圆的方程得， 消去，化简整理得，解得或， 当时，代入得； 当时，代入得. 所以交点，由两点间距离公式得． （ii）（法一：几何法）当圆的面积最小时，该圆以为直径，由（i）知， 过圆心且垂直于的直线方程为， 联立与得，所以该圆的圆心为， 则该圆方程为． （法二：圆系方程）设过两点的圆的方程为， 整理得， 则， 当且仅当时，该圆的半径最小，此时圆的方程为． 17．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆，直线． (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)设直线与圆交于，两点，弦长，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）将圆化为标准方程，利用圆心到直线距离小于半径的条件建立关于的不等式． （2）用弦长与弦心距的关系把弦长范围转化为的范围，再代入点到直线距离公式求，并与相交条件取交集． 【详解】（1）将圆化为标准方程：，故圆心，半径． 直线化为一般式，所以圆心到直线的距离为． 直线与圆相交的充要条件是，因此． 两边均非负且，平方得，解得或． （2）由圆心到弦所在直线的距离为，弦长公式得． 由，得，即． 又且，所以． 由，得，故． 由，得． 方程的两根为，故或． 结合（1）的相交条件或，取交集得或． 18．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，动点满足，直线：． (1)求证：直线恒过定点； (2)求的轨迹曲线的方程； (3)若曲线上有且只有3点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】(1)整理为关于的一元一次方程， 对任意的恒成立， 所以，解得，所以直线恒过定点. (2)的轨迹曲线的方程为. (3)直线方程为或. 【分析】(1)将过定点问题转化为等式恒成立问题，进而求解； （2）设，根据建立方程即得到的轨迹曲线的方程； （3）曲线上有且只有3点到直线的距离为，得到，即，再结合点到直线距离公式建立方程求得或，将的值代入原直线方程即可求解. 【详解】（1）略. （2）设，则， ，因为，即， 所以，即， 所以的轨迹曲线的方程为 （3）由（2）知，曲线为圆心为，半径为的圆. 设圆心到直线的距离为， 因为曲线上有且只有3点到直线的距离为， 所以,即, 解得. 同时根据点到直线距离公式， . 当时，， 解得或. 所以直线方程为或. $2.5.1 直线和圆的位置关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _两个____ __一个___ __零个___ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 __ ___ __ ___ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _ ____ _____ _____ 2．若直线与圆相交，则圆的半径r，弦心距d，与弦长的一半满足______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断直线和圆的位置关系 基础知识 核心知识 圆标准方程圆心半径 点到直线距离公式 相离无交点 相切1个交点 相交2个交点 联立方程利用判别式判断相交相切相离 方法技巧 优先选用几何法比较与计算量更小 代数法联立方程组适合题目要求交点相关证明时使用 典型例题 【例题 1】已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【例题2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在直线上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为 【巩固练习2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知直线，圆，点，则（） A．若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B．若M在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D．若M在直线l上，则直线l与圆C相离 【题型2】 由直线和圆的位置关系求参数 基础知识 核心知识 几何法：列出和的不等或等式关系 代数法：联立直线与圆方程利用判别式列不等式 方法技巧 先写出圆心半径写出圆心到直线距离表达式 根据位置关系写出对应条件求解参数范围 注意直线斜率不存在的特殊情况不要漏解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为______． 【例题2】（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）以为圆心，且和直线相切的圆的半径为_____． 【巩固练习2】（26-27高二上·山西太原·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为________． 提示：二元一次不等式（或）在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域（不包括边界）． 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 【题型3】 求圆的弦长，弧长，面积 基础知识 核心知识 弦长公式为圆心到直线距离 弧长公式为圆心角弧度制 扇形面积公式 方法技巧 垂径定理是核心圆心弦中点弦端点构成直角三角形 优先几何法求弦长避免联立方程复杂计算 求面积先找圆心角利用三角函数计算三角形高 典型例题 【例题1】（2026·黑龙江大庆·一模）已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)过点的直线与直线垂直，且直线与圆交于、两点，求. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线过点，且_____． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆相切； ②其倾斜角的余弦值为； ③直线的一个方向向量为． (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长． 【巩固练习2】（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：与圆：交于，两点，则________． 【巩固练习3】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，则的面积__________. 【题型4】 由三角形面积，弦长等求参数 基础知识 核心知识 弦长圆心到直线距离 为弦对应的圆心角 弦长 方法技巧 把面积条件转化为关于的方程 代入距离公式求解参数 检验参数是否满足直线存在的前提 典型例题 【例题1】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知点，，． (1)求的外接圆的方程； (2)若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线经过点，：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若该直线与圆相交于，两点，且面积为2，求直线的方程． 【巩固练习2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 【巩固练习3】（26-27高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．可以取任意实数 B．满足的有无数个 C．若圆心在上，则的最大值为 D．若圆心在直线上，则的最大值为 【题型5】 求圆外一点/圆上一点的切线方程 基础知识 核心知识 圆上一点处切线方程 切线性质圆心与切点连线垂直切线 点到直线距离等于半径 方法技巧 圆上一点直接套切线公式或者利用垂直求斜率 圆外一点设切线方程注意斜率不存在的切线 利用列方程求斜率一般会得到两条切线 典型例题 【例题1】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【例题2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆：． (1)求的取值范围． (2)已知直线：与圆交于，两点，且．求过点的圆切线方程． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 【巩固练习2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）过点作圆的切线，则的方程为________. 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，圆. (1)若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. (2)若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 【题型6】 切点弦方程及其应用 基础知识 核心知识 圆外一点 切点弦方程 切点弦是两个切点连成的直线不是过的切线 方法技巧 直接套用切点弦公式快速写出方程 可用于求切点坐标求切点弦长度求三角形面积 区分切线方程和切点弦方程避免公式混淆 典型例题 【例题1】（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）已知圆，为圆心），动点，直线，分别与圆切于点，．则下列说法正确的是（     ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦直线方程为 D．直线过定点为 【例题2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江西·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 【巩固练习2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． (1)若，求直线的方程； (2)求的最小值； (3)若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． 【巩固练习3】（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（      ） A．圆的标准方程 B．四边形周长的最小值为 C．直线过定点 D．若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 【题型7】 圆上的点到直线距离为定值的点的个数 基础知识 核心知识 设圆心到直线距离为半径 看和与定值的大小关系判断交点个数 方法技巧 先算圆心到直线距离 在圆心向直线方向做平行线距离等于 看平行线与圆交点数量就是满足条件点的个数 画简易示意图辅助判断减少漏数 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆 上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习2】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】 直线与圆中几种常见代数式的最值 基础知识 核心知识 几何意义圆上动点与定点连线斜率 设即是直线纵截距 圆上动点到原点距离平方 方法技巧 全部转化几何意义用圆心到直线距离结合半径求最值 斜率最值利用切线临界位置求解 距离类最值 典型例题 【例题1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【例题2】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【巩固练习3】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知直线，点，，，则（     ）． A．点的集合是 B．点的集合是 C．点到直线的距离的取值范围是 D．点到直线的距离的取值范围是 【题型9】 平面向量与直线与圆的综合 基础知识 核心知识 向量数量积 向量坐标运算圆上点坐标满足圆方程 方法技巧 方法一坐标法设点代入向量表达式转化函数求范围 方法二向量极化恒等式简化数量积 结合圆几何性质找动点临界位置优先几何法减少运算 注意动点在圆上最值一般在动点与圆心连线方向取得 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【例题2】（2026·河北唐山·模拟预测）已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 【巩固练习2】（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，动点P满足，若直线上的两个点M，N满足，则面积的最大值为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，若直线：上总存在、两点，使得恒成立，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知实数，，，满足，，，则2 的最大值为（    ） A． B．8+ C． D．10+ 二、多选题 5．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相切 D．当时，直线平分圆 6．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知圆，直线，则（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线恒过定点 C．圆心到直线的最大距离为 D．设直线与圆相交于两点，则的最小值为 7．（26-27高二上·山东泰安·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆与轴切于点，圆心在直线上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．若为圆上的动点，则的最大值为 C．当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为时， D．若，则在圆上不存在点，使得 8．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 三、填空题 9．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 10．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 11．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知，，若曲线和有公共点，则的最小值为______． 12．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆：，圆：，直线l过两圆圆心，且直线l与圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，点P在x轴上，则的最小值为__________． 13．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 14．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长． 15．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆， (1)直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)已知直线，求直线被圆截得的最短弦长． 16．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆经过点，，且 ． (1)求圆的标准方程； (2)若直线：与圆相交于，两点． （ⅰ）求； （ii）求过，两点且面积最小的圆的方程． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆，直线． (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)设直线与圆交于，两点，弦长，求实数的取值范围． 18．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，动点满足，直线：． (1)求证：直线恒过定点； (2)求的轨迹曲线的方程； (3)若曲线上有且只有3点到直线的距离为，求直线的方程． $