2.4.2 圆的一般方程（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．圆的一般方程 圆的一般方程是______（______0），圆心为______，半径为______． 注意：（1）对于方程， ①当时，方程表示_圆_____； ②当时，方程表示一个点______； ③当时，方程__不表示任何图形____． （2）圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． （3）无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数a、b、r或D、E、F，因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 二次方程表示的曲线与圆的关系 基础知识 【核心知识】 圆的一般方程 满足条件时方程表示圆 表示一个点 方程无实数解不表示任何图形 方程中与系数必须相等且不为0不含交叉项 【方法技巧】 先整理二次方程化为标准形式 核对二次项系数是否相等且不为0检查无项 计算判别式根据结果判断曲线类型 含参问题注意列出全部限制条件不要遗漏二次项系数 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 【题型2】 求圆的一般方程 基础知识 【核心知识】 圆一般方程含三个独立参数已知三个条件可列三元一次方程组求解 已知圆心半径可先写标准方程再展开转化为一般方程 【方法技巧】 待定系数法设将已知点坐标代入联立方程组解 已知圆心半径优先写标准方程再展开整理得到一般方程 注意最后验证保证方程代表圆 典型例题 【例题1】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【例题2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. (1)求边上的中线的长； (2)求的外接圆方程. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高三上·陕西榆林·阶段检测）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 【题型3】 由点和圆的位置关系求参数范围 基础知识 【核心知识】 圆一般方程圆心半径 点在圆内 点在圆上 点在圆外 【方法技巧】 把点坐标直接代入圆一般方程左侧代数式 根据点在圆内圆上圆外列出不等关系 同时勿忘前提条件 联立不等式求解参数取值范围 典型例题 【例题1】（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4】 求圆过定点 基础知识 【核心知识】 含参数的圆方程无论参数取何值总有固定坐标满足等式 定点坐标与参数取值无关 【方法技巧】 整理方程将含参数项合并常数项单独放一侧 令参数的系数全部等于0联立得到方程组 解方程组得到定点坐标 把解代回原式检验是否满足方程 典型例题 【例题1】（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【例题2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【巩固练习2】在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【题型5】 与圆有关的对称/及求对称后圆的方程 基础知识 【核心知识】 圆对称变换后半径不变只改变圆心坐标 点关于点对称中点公式 点关于直线对称两点连线与对称轴垂直两点中点在对称轴上 【方法技巧】 第一步从原圆一般方程求出原圆心和半径 第二步求原圆心关于点或直线的对称点 半径保持不变 用新圆心与半径先写标准方程再展开整理成一般方程 典型例题 【例题1】（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例题2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【巩固练习2】已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为________． 【巩固练习3】已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【题型6】 与圆方程有关的轨迹及最值问题 基础知识 【核心知识】 轨迹问题找到动点满足的几何条件转化为等式 常见最值圆上点到定点距离最值圆上点到定直线距离最值 【方法技巧】 轨迹题设动点坐标(x,y）翻译几何条件化简得到方程剔除不符合条件的点 距离最值先求圆心到定点或定直线的距离 圆上点到定点距离最大值最小值 圆上点到定直线距离最大值最小值 含参圆先确定圆心轨迹再结合几何图形分析最值 典型例题 【例题1】（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 【例题2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（     ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【巩固练习3】（2026·山东济南·三模）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知方程表示圆，则其圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江西·阶段检测）已知方程表示圆，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 三、填空题 6．（上海市川沙中学、川沙中学友任分校、华东理工大学附属浦东科技高级中学三校联考2026-2027学年高二第一学期阶段一考试数学试题）已知表示圆，则实数a的取值范围是______． 7．（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 8．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 9．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 10．（专题15 《圆与方程》中的轨迹问题（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册））阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 11．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 12．（2026高三·全国·专题练习）若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 四、解答题 13．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 14．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知的三个顶点分别是，， (1)求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； (2)求的外接圆的方程． $2.4.2 圆的一般方程 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．圆的一般方程 圆的一般方程是______（______0），圆心为______，半径为______． 注意：（1）对于方程， ①当时，方程表示_圆_____； ②当时，方程表示一个点______； ③当时，方程__不表示任何图形____． （2）圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． （3）无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数a、b、r或D、E、F，因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 二次方程表示的曲线与圆的关系 基础知识 【核心知识】 圆的一般方程 满足条件时方程表示圆 表示一个点 方程无实数解不表示任何图形 方程中与系数必须相等且不为0不含交叉项 【方法技巧】 先整理二次方程化为标准形式 核对二次项系数是否相等且不为0检查无项 计算判别式根据结果判断曲线类型 含参问题注意列出全部限制条件不要遗漏二次项系数 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 【例题2】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 【巩固练习2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 【巩固练习3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由可得t的取值范围； （2）设圆心坐标为，则，进行坐标替换即可得所满足的等式关系，即可得圆心的轨迹方程； （3）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而得符合的圆的方程. 【详解】（1）原方程可整理为. 则，解得. （2）设圆心坐标为，则，由得. 消去t可得，此即为圆心的轨迹方程， （3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大， 则，. 所以当时，的最大值为，此时圆的方程为. 【题型2】 求圆的一般方程 基础知识 【核心知识】 圆一般方程含三个独立参数已知三个条件可列三元一次方程组求解 已知圆心半径可先写标准方程再展开转化为一般方程 【方法技巧】 待定系数法设将已知点坐标代入联立方程组解 已知圆心半径优先写标准方程再展开整理得到一般方程 注意最后验证保证方程代表圆 典型例题 【例题1】（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 【例题2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. (1)求边上的中线的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可. （2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可. 【详解】（1）由中点坐标公式得的中点， 由两点间距离公式得. （2）设三角形外接圆方程为， 因为点在所求的圆上，可得，解得， 则外接圆的方程为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出的垂直平分线方程为，设，则，再根据半径，列方程求出，进而得到圆的方程. 【详解】，，中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为， 设圆心为，则半径为，故， 所以，即， 解得或， 所以方程为或． 故选：BC． 【巩固练习2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 【巩固练习3】（24-25高三上·陕西榆林·阶段检测）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题意可得，，联立求解即可； （2）设，则的中点坐标为，分别将，两点坐标代入相应的直线方程，联立求出点坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【详解】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，，所以点的坐标为； （2）设，则的中点坐标为， 将代入直线的方程得③， 将代入直线的方程得④， 将③④联立解得，，即， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以的外接圆的一般方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 【题型3】 由点和圆的位置关系求参数范围 基础知识 【核心知识】 圆一般方程圆心半径 点在圆内 点在圆上 点在圆外 【方法技巧】 把点坐标直接代入圆一般方程左侧代数式 根据点在圆内圆上圆外列出不等关系 同时勿忘前提条件 联立不等式求解参数取值范围 典型例题 【例题1】（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 【例题2】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆上存在一点，在以为直径的圆外，即可求解. 【详解】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D 【巩固练习2】（25-26高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 【巩固练习3】（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 【题型4】 求圆过定点 基础知识 【核心知识】 含参数的圆方程无论参数取何值总有固定坐标满足等式 定点坐标与参数取值无关 【方法技巧】 整理方程将含参数项合并常数项单独放一侧 令参数的系数全部等于0联立得到方程组 解方程组得到定点坐标 把解代回原式检验是否满足方程 典型例题 【例题1】（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【例题2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2) 设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）略 【巩固练习2】在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由圆M过某一定点得，求解即可 【详解】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 【题型5】 与圆有关的对称/及求对称后圆的方程 基础知识 【核心知识】 圆对称变换后半径不变只改变圆心坐标 点关于点对称中点公式 点关于直线对称两点连线与对称轴垂直两点中点在对称轴上 【方法技巧】 第一步从原圆一般方程求出原圆心和半径 第二步求原圆心关于点或直线的对称点 半径保持不变 用新圆心与半径先写标准方程再展开整理成一般方程 典型例题 【例题1】（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 【例题2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 【巩固练习2】已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为________． 【答案】 【分析】求出的范围，由直线过圆心可得答案. 【详解】由已知得，解得或， 圆C:，圆心为， 若圆C关于直线对称，则， 解得，所以圆心坐标为 故答案为：. 【巩固练习3】已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 【题型6】 与圆方程有关的轨迹及最值问题 基础知识 【核心知识】 轨迹问题找到动点满足的几何条件转化为等式 常见最值圆上点到定点距离最值圆上点到定直线距离最值 【方法技巧】 轨迹题设动点坐标(x,y）翻译几何条件化简得到方程剔除不符合条件的点 距离最值先求圆心到定点或定直线的距离 圆上点到定点距离最大值最小值 圆上点到定直线距离最大值最小值 含参圆先确定圆心轨迹再结合几何图形分析最值 典型例题 【例题1】（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 【答案】 【分析】求出定点、坐标后，结合与的位置关系可得点轨迹，即可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】对，当时，，故， 对，当时，，故， 由，故， 故点在以为直径的圆上（不包括，两点）， 则，故, 则， 即，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 【例题2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【分析】先由距离之比求出点的轨迹圆方程，再利用阿波罗尼斯点的性质确定点关于该圆对应的圆内阿波罗尼斯点，将转化为，从而把目标式化为，最后用三角不等式求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（     ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项可通过分离参数求直线过的定点判断；B先求两直线定点及垂直关系，再用勾股定理求平方和即可判断；C利用参数方程表示和，结合辅助角公式求最大值；D由确定的轨迹为圆，再用圆心到原点的距离减去半径求最小值. 【详解】对于A：由得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于B：由得，故直线恒过定点, 由和, 满足，所以， 所以，则,所以B正确； 对于C：因为, 且，设为锐角, 则, ， 所以, 其中， 所以当时, 取最大值, 故选项C错误； 对于D：由,取中点，所以,所以在以为直径的圆上，圆心为中点，半径， 原点到圆心的距离，故 ，所以D正确. 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 【巩固练习3】（2026·山东济南·三模）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线为轴，设，其中，联立直线与求得交点坐标，利用条件推出点坐标满足的方程，从而确定点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），当最大时即可求得面积最大值. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以， 由知，所以，所以， 所以直线的方程为， ，所以直线的方程为， 因为为与的交点，所以，解得， 代入计算得，所以， 因为， ，， 由得，化简得， 所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以 ，因为，所以面积的最大值为.    课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知方程表示圆，则其圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程的特征，求解圆心坐标. 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆方程，对应，， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 3．（26-27高二上·江西·阶段检测）已知方程表示圆，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程整理可得， 由题意可得：，解得， 且，则，可得圆的半径， 所以的面积为. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 二、多选题 5．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 三、填空题 6．（上海市川沙中学、川沙中学友任分校、华东理工大学附属浦东科技高级中学三校联考2026-2027学年高二第一学期阶段一考试数学试题）已知表示圆，则实数a的取值范围是______． 【答案】或者. 【详解】转化为，根据圆的标准方程可知， 半径，故，解得或者. 7．（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 8．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 9．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 【答案】2 【详解】因为圆的方程化为标准式为， 可知圆心，半径， 则，当且仅当时，等号成立，可知点在圆外， 所以点和圆上点的最小距离． 10．（专题15 《圆与方程》中的轨迹问题（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册））阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 11．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 【答案】18 【分析】先由两直线方程确定两直线的位置关系以及所过定点，从而进一步确定交点的轨迹方程，确定所求表达式的几何意义后，再由与圆有关的最值问题处理方式即可求解． 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率， 可得，两直线垂直； 当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线仍垂直． 因此对任意实数，都有 ． 直线，当时，，则恒过定点； 直线，当时，，则恒过定点． 因为，交点为，所以． 代入坐标，可得， 即， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆． 而表示点到定点的距离的平方． 圆心到点的距离为， 圆上点到的最大距离为， 因此距离的平方最大值为． 12．（2026高三·全国·专题练习）若直线平分圆的周长，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】∵直线平分的周长， ∴圆心在直线上， 可得0，解得． ，当且仅当时等号成立， 因此的取值范围为． 四、解答题 13．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 14．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知的三个顶点分别是，， (1)求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，，所以， 所以边所在直线的方程为，即， 又的中点为，即， 所以边垂直平分线的方程为，即； （2）设的外接圆的方程为，其中， 依题意可得，解得， 所以，即， 即的外接圆的方程为． $