四川省成都市2026-2027学年北师大版八年级上学期11月定时练习2

2026-2027学年度上期初2025级11月定时练习 数学试卷 时间 ：120分钟 总分 ：150分 A卷（100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1.在数，，，，中，无理数的个数是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，在中，，，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，小手盖住的点的坐标可能为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为 ，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若点在轴上，则点关于轴的对称点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.我国古代著作周髀算经中记载了“赵爽弦图”如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于，正方形的边长是，则正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，共20分。 9.若，则的值为             ． 10.的整数部分为，小数部分为，则        ． 11.若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为        ． 12.如图，以的三边为直径向外作半圆，其面积分别为，、，若，，则        ． 13.如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交边于点连接若，，则的长为        ． 三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分计算：； ； ； ． 15.本小题分已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． 求，，的值； 求的平方根． 16.本小题分如图，在中，，是边上一点，，，． 试判断的形状； 求的面积． 17.本小题分如图，中，点，，在所给直角坐标系中解答下列问题： 在图中画出关于轴对称的． 求的面积是______． 在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为______． 18.本小题分在中，，为平面上一点，分别连接，，  如图，当，点在边上时，以为腰在右侧作等腰直角，且，连接求证：；  如图，当，点在内部时，，，，求的长；  如图，当在外部，且，，设，，则的值是否发生变化，若不变，试求出这个值；若改变，请说明理由  B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，共20分） 19.比较大小：          ． 20.若，则的立方根为        ． 21.如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为        ． 22.如图所示，已知点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第个，第个，第个，则第个等边三角形的边长为        ；第个等边三角形的边长为        ． 23.如图，中，，分别以，，为边在外部作正方形，，将正方形沿直线翻折，得到正方形，与交于点，点在上，与交于点，记的面积为，四边形的面积为，若，，则         二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24.本小题分阅读材料：，的整数部分为，的小数部分为． 的小数部分是多少？ 已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 25.本小题分如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设 用含的代数式表示的长； 请问点满足什么条件时，的值最小？ 根据中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 26.本小题分在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． 如图，，点为中点，与交于点，若，求的长度； 如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； 如图，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 1.【答案】  【解析】解：在数，，，，中， ， 所以无理数有：，，共个． 故选：． 其中初中范围内学习的无理数有：、等；开方开不尽的数；以及像有规律但无限不循环的小数．根据无理数的定义，即可求解． 此题主要考查了无理数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 2.【答案】  【解析】解：、，， ， 不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、，， ， 能构成直角三角形， 故B符合题意； C、，， ， 不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、，， ， 不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：设，  ，  ，  在中，，  ，  ，  ，  ，  ，  即的面积为，  故选：． 设，在直角中，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，用面积计算公式即可解决． 本题考查了勾股定理的应用，设未知数，利用勾股定理列方程，是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】 解：由图得点位于第四象限， 故选D． 5.【答案】  【解析】解： 由勾股定理可得：，， ， ， 故选D． 首先利用勾股定理求出，，的长，再比较大小即可． 本题考查了勾股定理的运用以及比较实数的大小，熟记勾股定理是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大为：  当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，  此时杯内筷子长度：，  此时最小为：  故的取值范围是：  故选：． 先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到的范围． 本题考查勾股定理的实际应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 7.【答案】  【解析】解：点在轴上， ， 点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 即点关于轴的对称点在第一象限． 故选：． 根据在轴上的点的纵坐标为可得，再根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：已知的周长等于，正方形的边长是， ，， ， ， ，， ， ， 正方形的面积为， 故选：． 根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 9.【答案】  【解析】解：， ． 故答案为：． 直接根据立方根的定义可得答案． 此题考查的是立方根的概念，掌握其概念是解决此题的关键． 10.【答案】  【解析】解：， ， 的整数部分为，小数部分为， ，，， ， 故答案为：． 先估算出，进而得到的整数部分为，小数部分为，代入代数式求值即可得到答案． 本题考查代数式求值，涉及无理数整数部分与小数部分，熟练掌握无理数估算是解决问题的关键． 11.【答案】或  【解析】解：当是直角边时，第三边， 当是斜边时，第三边， 所以，第三边长为或． 故答案为：或． 分是直角边和斜边两种情况讨论分别求解． 本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．正确分情况讨论是解题的关键．也考查了二次根式的应用． 12.【答案】  【解析】解：是直角三角形， ， ，，， ， ， 故答案为：． 根据勾股定理得出，再分别表示出，、，即可推出结果． 本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：设直线与交于点， 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ，点为的中点，， ， ， 点为的中点， ， ． 故答案为：． 设直线与交于点，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，，进而可得点为的中点，则，再利用勾股定理可求出的长． 本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键． 14.【答案】   ，    【解析】 ； ； ， ， ， ，； ， ， ， ． 先计算算术平方根、负整数指数幂、绝对值，再去括号、计算加减，得到答案； 先计算乘方、化简二次根式，再计算减法，得到答案； 先移项、合并，再利用平方根的定义求出答案； 先移项，再两边同时乘以，再利用立方根的定义求出答案． 本题考查了实数的运算，掌握平方根，立方根和算术平方根的定义及绝对值的性质是解答本题的关键． 15.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ，， ， 的整数部分是， ． 将，，代入得：， 的平方根是．  【解析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值； 将、、的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 16.【答案】，，， ． ， 是直角三角形    【解析】解：，，， ． ， 是直角三角形． 由知，是直角三角形，且， ． 设， ， ． ， ， 解得． ． ． 根据勾股定理的逆定理求解即可； 设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 本题主要考查了勾股定理和其逆定理，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长． 17.【答案】解：如图，即为所求； ； ．  【解析】【分析】 本题考查了作图轴对称变换，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，也考查了最短路径问题． 利用轴对称的性质找出、、关于轴对称的点、、，然后连线即可； 利用割补法与三角形的面积计算公式解答即可； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短判断点满足条件，然后写出点坐标． 【解答】 解：见答案； ； 故答案为； 作点关于轴的对称点，连接，交轴于，如图， 则， 此时，最小， 设直线的解析式为，则： 解得： 直线的解析式为， 令，得， 解得：， 点的坐标为． 故答案为． 18.【答案】证明：为等腰直角三角形，  ，  又，，  ，  在和中，  ，  ≌，  ；    如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，    ，，，，  为等边三角形，  ，，  ，  在中，，  ；    解：不变，  如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，    ，，，，，  ，  又，，  ，  ，  又，  ，  ，  又，  ，  ，  ，  ，  ．  【解析】利用三角形与三角形全等来证明即可；  将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可；  将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据等腰三角形的性质以及含角的直角三角形性质求解即可． 本题主要考查了三角形的综合题，利用旋转构造等腰三角形以及直角三角形是本题解题的关键． 19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查实数的大小比较  比较两者平方后的值即可． 【解答】 解：，， ， ． 故答案为． 20.【答案】  【解析】解：由题意可得： 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 先根据非负性列式求出，的值，进而得到的值，再利用立方根定义求解，即可解题． 本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，以及立方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 21.【答案】  【解析】解：由数轴可得， ， 原式 ． 故答案为：． 根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，立方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 本题考查了实数与数轴，实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 22.【答案】   23.【答案】  【解析】解：，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， ， 解得：， ， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ≌， ， ， ，，则． 故答案为：． 根据题意利用勾股定理求得，进而在，中，得出，进而求得，证明≌得出，即可求得，进而可得，即可求解． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24.【答案】    【解析】解：， 的整数部分为，小数部分为． ， 的整数部分为，小数部分为， 是的整数部分，是的小数部分， ， ． 根据即解答即可； 根据得到，确定整数部分为，小数部分为，结合已知，确定，的值，解答即可． 本题考查了无理数的估算，熟练掌握该知识点是关键． 25.【答案】解：；      当、、三点共线时，的值最小；      如右图所示，作，过点作，过点作，使，，   连接交于点，设，则的长即为代数式的最小值．   过点作交的延长线于点，得矩形，   则，，，   所以，   即的最小值为   故代数式的最小值为．  【解析】由于和都是直角三角形，故AC，可由勾股定理求得；   若点不在的连线上，根据三角形中任意两边之和第三边知，，故当、、三点共线时，的值最小；   由的结果可作，过点作，过点作，使，，连接交于点，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值．  此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 26.【答案】  证明见解答过程    【解析】解：，， ， ，， ， 点为中点， ， ， 将绕着点逆时针方向旋转得到， ，， ； 证明：如图，过点作交于点， ，， ，， ， ，， ，， ， 将绕着点逆时针方向旋转得到， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ≌， ， ， 当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图， ，， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ， 又， 点，点，点三点共线， 由折叠的性质得：， ， ，， ， ， ， ， ． 由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解； 由“”可证≌，可得，，由“”可得≌，可得，可得结论； 先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $