精品解析：四川省广安友谊中学2026-2027学年初二上学期第一学月自主定时训练数学试卷

友谊中学初2025级初二上第一学月自主定时训练 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷A卷部分选择题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题部分答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、涂写在答题卡上． 3．自主定时训练结束后，只交答题卡． A卷 （共100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列无理数中，在与1之间的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将点P（-1，6）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段不能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 4. 如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（　　） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 5. 一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ） A. 40° B. 60° C. 45° D. 50° 9. 如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF=110°，则∠1=（　　） A. 50° B. 35° C. 30° D. 40° 10. 在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 等腰三角形的两边分别为1和2，则其周长为_____． 12. 不等式的最小整数解是______． 13. 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为___cm． 14. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是_________________． 15. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 三．解答题（共40分） 16. 计算 （1） （2）①解方程组： ②解不等式组： 17. 先化简，再求值． ，其中． 18. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 19. 已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； （2）求出的面积． （3）在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留画图痕迹）． B卷 （共50分） 四．填空题（每小题4分，共20分） 21. 如图①②③，，，，则_____度． 22. 若点与点关于x轴对称，则______． 23. 已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为______. 24. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 25. 如图，△ABC纸片中，AB=AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论①DF=DA；②∠ABE＝22.5；③△BDF 的周长为8；④CD=2BE．正确的是________________（填上正确的结论序号）． 五．推理与论证（30分） 26. 如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 27. 已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点，． （1）求的度数； （2）如果，，求的面积． 28. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）_______；用含的代数式表示 （2）求证：≌； （3）当为何值时，是等边三角形？说明理由； （4）当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友谊中学初2025级初二上第一学月自主定时训练 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷A卷部分选择题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题部分答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、涂写在答题卡上． 3．自主定时训练结束后，只交答题卡． A卷 （共100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列无理数中，在与1之间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在与1之间的是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 2. 在平面直角坐标系中，将点P（-1，6）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答即可． 【详解】将点P（﹣1，6）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P′ 的坐标是（﹣1+3，6-2），即（2，4）． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 3. 下列各组线段不能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．∵，∴、、能组成三角形． B．∵，∴、、不能组成三角形． C．∵，∴、、能组成三角形． D．∵，∴、、能组成三角形． 4. 如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（　　） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】因为∠1与∠2互补，所以ab，又因为∠3=∠5，所以∠4与∠5互补，则∠4的度数可求． 【详解】解：如图： ∵∠1与∠2互补， ∴ab， ∵∠3=∠5，∠3=135°， ∴∠5=135°， ∵ab， ∴∠4与∠5互补， ∴∠4=180°-135°=45°． 故选A． 5. 一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（大于向右画；小于向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解：解集为在数轴上表示正确的是 ． 故选：A． 6. 在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形． 只有C沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形 考点：轴对称图形． 7. 如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析被墨迹污染后的三角形剩余部分的特征，并结合全等三角形的判定定理来判断． 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 8. 如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ） A. 40° B. 60° C. 45° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值，即可求出答案. 【详解】解：∵∠B=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°． 故选D． 【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 9. 如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF=110°，则∠1=（　　） A. 50° B. 35° C. 30° D. 40° 【答案】D 【解析】 【详解】 ． 故选D． 10. 在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】到三边的距离相等 是三条角平分线的交点 是的角平分线，是角平分线 ， 故选：A． 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 等腰三角形的两边分别为1和2，则其周长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分1是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】①1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2， ∴不能组成三角形； ②1是底边时，三角形的三边分别为1、2、2， 能组成三角形， 周长=1+2+2=5， 综上所述，三角形的周长为5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 12. 不等式的最小整数解是______． 【答案】3 【解析】 【详解】解不等式得；， ∵大于2.5的最小整数是3， ∴原不等式的最小整数解是3. 故答案是：3. 13. 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为___cm． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故CE+BE=AB，再由△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB即可得出结论． 【详解】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴AE=CE， ∴CE+BE=AB=10cm． ∵BC=8cm， ∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm． 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 14. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是_________________． 【答案】∠B=∠E （答案不唯一） 【解析】 【分析】∠B=∠E，根据SAS推出两三角形全等即可，答案不唯一，是一道开放型的题目． 【详解】解：∠B=∠E， 故答案为∠B=∠E. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 15. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 三．解答题（共40分） 16. 计算 （1） （2）①解方程组： ②解不等式组： 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 ①解：原方程组为， 给②两边同乘去分母，得， 整理得， ①③得， 解得， 将代入①，得， 解得， 因此方程组的解为； ②解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因此不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 18. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ． 【解析】 【详解】略 19. 已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】略 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； （2）求出的面积． （3）在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留画图痕迹）． 【答案】（1）解：如图所示： ，， （2）5 （3）解：如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】（1）先分别作点A、B、C关于x轴的对称点，，，再连接，，，再根据点所在位置写出各点的坐标即可； （2）利用矩形面积减去三个直角三角形的面积求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，再连接交y轴于点D，由轴对称知，此时的最小值就为，由两点之间线段最短，可得D点就是所求作的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 略 B卷 （共50分） 四．填空题（每小题4分，共20分） 21. 如图①②③，，，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】图①②③中，分别根据三角形的内角和、外角性质及互补关系推导出的度数，再相加即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴图①中 ∴ 图②中，， 图③中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 22. 若点与点关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得m、n的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ，， 解得，． ． 故答案为：． 23. 已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为______. 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵AB=AC=4，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC="AB=AC=4，" ∴△ABC的周长为12． 故答案为12. 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大． 24. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 25. 如图，△ABC纸片中，AB=AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论①DF=DA；②∠ABE＝22.5；③△BDF 的周长为8；④CD=2BE．正确的是________________（填上正确的结论序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB=22.5°，由余角的性质可得∠EBC=67.5°，可求∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，由线段的和差关系可求△BDF的周长为8，延长CA，BE交于点H，通过证明△BCE≌△HCE和△ACD≌△ABH，可证CD=2BE． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处， ∴△ACD≌△FCD， ∴AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB=22.5°，故①正确； ∵BE⊥CD， ∴∠EBC=67.5°， ∴∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，故②正确； ∵△BDF的周长=BD+DF+BF=BD+AD+BF=AC+BF=CF+BF， ∴△BDF的周长为8，故③正确， 如图，延长CA，BE交于点H， ∵∠ACD=∠BCD，CE=CE，∠BEC=∠CEH=90°， ∴△BCE≌△HCE（ASA） ∴BE=EH， ∴BH=2BE， ∵∠EBA=∠ACD=22.5°，∠BAH=∠CAD=90°，AC=AB， ∴△ACD≌△ABH（ASA） ∴CD=BH， ∴CD=2BE，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 五．推理与论证（30分） 26. 如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【答案】（1） 证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE． （2）90°． 【解析】 【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． 27. 已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点，． （1）求的度数； （2）如果，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积的求法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据已知条件得到，由等腰三角形的性质得到，根据是的角平分线，求得，于是得到，列方程即可得到结论； （2）根据已知条件求得，根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：且， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，是的角平分线，， ， 在与中， ， ∴， ∴，， ， ， ． 28. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）_______；用含的代数式表示 （2）求证：≌； （3）当为何值时，是等边三角形？说明理由； （4）当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：，， ， ． 在和中， ， ≌ （3） ， 当是等边三角形时，是等边三角形． ， ． ，， ， ， 当为时，是等边三角形． （4）为或时，为直角三角形 【解析】 【分析】（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半，即可得出的长，此题得解； （2）由，可得出，利用平行线的性质可得出，结合，即可证出≌； （3）由（2）可知：当是等边三角形时，是等边三角形，由可得出，进而可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由（2）可知：当为直角三角形时，是直角三角形，分和两种情况考虑，利用度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ． 在中，，，， ． 故答案为：； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ， 当为直角三角形时，是直角三角形． 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：． 综上所述：当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了解含度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半找出的长；（2）利用全等三角形的判定定理证出≌；（3）利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于的一元一次方程；（4）分和两种情况，利用度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $