精品解析：河北邢台市质检联盟2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题

高二数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.4． 一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 2. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式，将点和直线的系数代入计算即可． 【详解】点到直线的距离为 3. 已知直线将圆：的圆周平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线平分圆周，即直线过圆心.由圆的标准方程读出圆心坐标，代入直线方程求 . 【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径为 . 直线 将圆周平分，即该直线过圆心 . 将 代入直线方程：，解得 . 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由及，得， 而为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成的角为. 5. 在空间直角坐标系中，点，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示求解即可. 【详解】，. 因为，所以，即. 又， 所以，解得. 6. 已知点，在直线：的两侧，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线的方程可化为，得直线过定点， ，， 又因为点在直线的两侧， 即直线与线段相交(除两点)，所以． 7. 已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设动点， 由动点与两个定点，的距离之比为，即， 所以，即， 整理得，即， 所以动点的轨迹方程为． 8. 已知四棱锥的所有棱长均为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为空间向量的基底，先表示出，利用空间向量数量积的运算法则求. 【详解】如图， 以为空间向量的基底，则，， 又，所以，所以. 所以，. 又， 所以 . 所以. 9. 设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与三角形恰有一个交点时，该直线是三角形的支撑线，且交点只能是顶点，因此必经过的一个顶点和的一个顶点．枚举两个三角形顶点之间连线的斜率，先排除会穿过三角形内部的直线，再比较可行斜率即可． 【详解】若直线与一个三角形恰有一个交点，则交点只能是顶点． 若交点在某条边的内部而直线不与该边重合，直线会穿过三角形内部，与三角形的交集是一条线段； 若与该边重合，则交点也不止一个． 因此必经过的一个顶点和的一个顶点． 九条顶点连线的斜率分别为： 从出发，，，； 从出发，，，； 从出发，，，． 其中最小的候选斜率为，对应直线． 直线的方程为． 代入、，分别得到、，异号，所以点位于直线的两侧，直线穿过的内部，不符合题意． 再看斜率，对应直线，其方程为． 代入，所得值依次为，均为正数． 因此与直线只有交点，与直线只有交点，故斜率可以取得． 由于候选斜率中比更小的只有，且已被排除，所以直线的斜率最小值为． 10. 《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式，取余弦绝对值，得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】设底面扇环的圆心为，以为坐标原点，为轴，底面内垂直于向上为轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 已知底面扇环内外半径为和，圆心角为，曲池高为，为中点． 可得各点坐标：，，， ，，， 是中点，故．，． 计算数量积：， ，， 异面直线所成角范围是，余弦取绝对值： ． 11. 已知的三个顶点分别为，，，一束光线从点射出，经反射后，再经边上的点反射，落到点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图， 因为，，， 所以直线的方程为：，直线的方程为：. 设点关于直线的对称点为，则， 即. 设点关于直线的对称点为，则， 即. 所以直线的方程为：，化简得. 由，即所求点坐标为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 已知圆的方程为，点，，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 点在圆的内部 D. 点在圆的外部 【答案】ACD 【解析】 【详解】将圆的方程化为标准方程， 对于A，圆心的坐标为，故A正确； 对于B，圆的半径为，故B错误； 对于C，将点代入圆的方程得，所以点在圆的内部，故C正确； 对于D，将点代入圆的方程得，所以点在圆的外部，故D正确． 13. 如图，是等腰三角形，，，，是的中点，坐标原点在线段上，过点的直线与线段，分别交于，两点，则（ ） A. 直线的斜率的取值范围为 B. 点的纵坐标的最大值为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线斜率的最小值、最大值判断A；由方程组求出点纵坐标最大值判断B；求出点的坐标，利用两点间距离公式建立函数，进而求出指定式的最值判断CD. 【详解】对于A，当点与点重合时，直线的斜率， 点从点开始沿移动，直线绕点逆时针旋转到与点重合， 直线的斜率，因此直线的斜率的取值范围为，A正确； 对于B，由选项知，当直线过点时，点的纵坐标最大，直线， 直线，联立直线与直线的方程得， 即点的纵坐标的最大值为，B错误； 对于C，设直线的方程为， 而直线的方程分别为， 由，得点， 由，得点， 则， 而，令， 在上单调递增， 当时，，当时，，C正确； 对于D，由选项C，得，， 则， 当时，，当时，，D错误. 14. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为4，点满足，，，点满足，，点满足，则（ ） A. 点在正方形内（含边界） B. 当时，恒成立 C. 当时，满足的点的轨迹长度为 D. 当时，满足的点的轨迹围成的区域面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各关键点的坐标及动点的轨迹方程，然后结合空间向量垂直的坐标运算及几何性质，逐项判断即可. 【详解】以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 已知，且. 因为，，， 所以. 所以的坐标为. 因为，所以点在底面正方形内（含边界），故A正确. 对于B选项：当时，点满足，即. 点满足，即. 将点关于底面对称，得到点. 根据几何性质，，当且仅当，，三点共线时等号成立. . 所以恒成立，故B正确. 对于C选项：当时，. 则.又. 因为，所以，即. 化简得，即. 因为，所以. 点的轨迹是一条线段，其起点为时的点，终点为时的点. 该轨迹的长度为，故C错误. 对于D选项：当时，. 则，. 因为，所以. 即. 化简得，整理得. 令，代入得. 点的轨迹是圆心为，半径为1的圆. 因为该圆完全在正方形内部，所以该轨迹围成的区域面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 15. 若直线与直线平行，则______． 【答案】4 【解析】 【详解】已知直线，其斜率，在轴上的截距. 直线，其斜率，在轴上的截距. 因为直线与直线平行， 所以且. 即，且（恒成立）. 解方程，得， 即，解得. 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上，则圆心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】设圆心，由题意有， 则，解得， 所以圆心的坐标为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且，，为的中点，平面交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，根据向量的线性运算表示出，；设，求出，结合，，共面求解即可. 【详解】设，，，则. 因为，，，所以为等腰直角三角形， 则，即. 因为，，，则， . 因为为的中点，则，， 所以. 设，则，. 因为四点共面，所以共面， 所以存在实数，使得， 即， 因为不共面， 所以，解得. 所以. 四、解答题：本题共4小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知点，，． （1）若点在轴上，且，求直线的斜截式方程； （2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设轴上点，求出的斜率，由垂直直线的斜率关系求的坐标，再求的斜截式方程； （2）利用，得到，解方程求出轴上点，再根据的斜率求倾斜角． 【小问1详解】 设， 因为，，，， 所以，即， 解得，即， 因为，所以直线的斜截式方程为； 【小问2详解】 设， 因为，所以， 所以，即， 因为，，所以，解得，即， 设直线的倾斜角为，，且， 因为，所以，即直线的倾斜角为． 19. 如图，四边形是梯形，，，，，，，是线段的中点． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求直线到平面的距离． 【答案】（1）取的中点，连接，． 因为，，，所以． 因为，是的中点，所以． 又平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）法一：连接，．因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 同理可得平面． 又平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面． 法二：取的中点，连接，， 因为是的中点，所以，且． 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，求证平面即可； （2）求证平面，平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面或取的中点，证明即可； （3）以为坐标原点建系，利用坐标计算点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知． 在中，，，所以． 又，，所以，所以． 又，平面，所以平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则 令，得， 所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离为． 20. 如图1，在直角梯形中，，，，点在线段上，．将沿折起，使点移动到点的位置，连接，，得到如图2所示的四棱锥．设线段的中点为． （1）若，证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）方法一：连接， 依题意得，，均为等腰直角三角形， 则， 则，所以， 又，，所以，则， 因为，平面，所以平面． 方法二：由，得，． 又，，所以， 因为，， 所以，则， 所以，则， 又，，所以，则， 因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）折叠问题，先由平面图形得到，再用勾股逆定理证明，结合线面垂直判定定理完成证明； （2）取中点，根据长度，利用余弦定理确定角度，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，计算法向量夹角，得到二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，．因为，所以， 因为为的中位线，所以， 由（1）可知，所以， 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面， 因为，，所以， 则， 易得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 则 令，得， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为． 21. 在平面中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．已知，满足方程，记其构成的平面图形为，，，为平面图形上不同的三点，点在平面图形的内部． （1）求的值及的最小覆盖圆的方程； （2）求的最小覆盖圆的方程； （3）求平面图形的最小覆盖圆的半径． 【答案】（1），（或写成） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用锐角三角形的最小覆盖圆为外接圆即可求解； （2）利用钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆即可求解； （3）根据题意可得，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为点在曲线：上，所以，解得． 又与是不同的点，所以，即． , 因为，， 所以，故为锐角，而, 所以为锐角三角形，则其最小覆盖圆为的外接圆 当以的外心为圆心时，由的斜率为，可得的方程为， 易知的中垂线方程为，由得即， 此时外接圆的半径为． 所以的最小覆盖圆的方程为（或写成）． 【小问2详解】 在中，． ， 所以为钝角三角形，其最小覆盖圆是以为直径. 则以为圆心， 所以的最小覆盖圆的方程为． 【小问3详解】 设是平面图形上一点， 则（）． 当，即时，． 因为平面图形关于原点中心对称，所以平面图形的最小覆盖圆的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.4． 一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知直线将圆：的圆周平分，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，点，，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，在直线：的两侧，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥的所有棱长均为，且，，则（ ） A. B. C. D. 9. 设点，，，，，，若直线分别与、各恰有一个交点，则直线的斜率的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知的三个顶点分别为，，，一束光线从点射出，经反射后，再经边上的点反射，落到点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 已知圆的方程为，点，，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 点在圆的内部 D. 点在圆的外部 13. 如图，是等腰三角形，，，，是的中点，坐标原点在线段上，过点的直线与线段，分别交于，两点，则（ ） A. 直线的斜率的取值范围为 B. 点的纵坐标的最大值为 C. D. 14. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为4，点满足，，，点满足，，点满足，则（ ） A. 点在正方形内（含边界） B. 当时，恒成立 C. 当时，满足的点的轨迹长度为 D. 当时，满足的点的轨迹围成的区域面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 15. 若直线与直线平行，则______． 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上，则圆心的坐标为______． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且，，为的中点，平面交于点，则______． 四、解答题：本题共4小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知点，，． （1）若点在轴上，且，求直线的斜截式方程； （2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 19. 如图，四边形是梯形，，，，，，，是线段的中点． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求直线到平面的距离． 20. 如图1，在直角梯形中，，，，点在线段上，．将沿折起，使点移动到点的位置，连接，，得到如图2所示的四棱锥．设线段的中点为． （1）若，证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 21. 在平面中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．已知，满足方程，记其构成的平面图形为，，，为平面图形上不同的三点，点在平面图形的内部． （1）求的值及的最小覆盖圆的方程； （2）求的最小覆盖圆的方程； （3）求平面图形的最小覆盖圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $