精品解析：河北省邢台市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

邢台一中2026－2027学年第一学期第一次月考 高二年级数学试题 考试范围：选修一第一章、第二章第一节 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于坐标平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 以下命题错误的为（ ） A. 直线的方向向量，直线的方向向量，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 3. 如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，表述错误的是（ ） A. 表示向量的有向线段在直线上，则直线的倾斜角为 B. 若将直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C. 若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 D. 若直线、的倾斜角分别为、，则“”是“”的充要条件 11. 如图，点，，，在水平放置的以为球心的半球面上，半球的半径为3，，，两两垂直，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 六面体体积的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 13. 如图，在平行六面体中，O是AC与BD交点．记， 则________（结果用表达）． 14. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面．若存在，指明点的位置并给出证明，若不存在，说明理由． 17. 在中，，，分别为内角，，的对边，且，． （1）若，求； （2）若，在边上且，求证：； （3）求面积的最大值． 18. 如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． （1）求证：； （2）若，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若，求该五面体的体积的取值范围． 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过，的直线的点方向式方程； （2）已知平面：，平面：，平面：，若，，证明： （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2026－2027学年第一学期第一次月考 高二年级数学试题 考试范围：选修一第一章、第二章第一节 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于坐标平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得的坐标为． 2. 以下命题错误的为（ ） A. 直线的方向向量，直线的方向向量，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行或垂直的坐标表示判断选项AB；根据向量夹角的计算公式及充分条件、必要条件判断选项C；根据平面的法向量判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以直线与直线的方向向量共线，所以，A正确. 对于B，，所以， 所以平面或平面，B错误. 对于C，若，即，所以， 故空间向量、共线反向或夹角为钝角， 所以“”不能推出“与的夹角为钝角”. 若“与的夹角为钝角”，则，所以， 所以“与的夹角为钝角”能推出“”. 故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C正确. 对于D，，. 因为向量是平面的一个法向量， 所以，即，解得，所以，D正确. 3. 如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 4. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由向量共面定理得四点共面，所以本题转化为求点到平面距离，这个距离即的最小值，建立空间坐标系用点到平面的距离公式计算可得.法二：用等体积法求三棱锥底面上的高. 【详解】，由得， 四点共面. 的最小值即求点到平面距离. 法一：以为原点建立坐标系如图: , 设平面的法向量为 ，，取得 . 法二：由正方体的棱长为2， 所以三棱锥是边长为的正四面体. 的最小值也就是三棱锥以为底面上的高. 因为， 由， 所以，得. 5. 已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】球面与侧面的交线即在平面内到点距离为2的点的轨迹，据此可得答案. 【详解】由题可得，由余弦定理可得. 又，则.又由题可得平面，平面， 则，结合侧面，可得平面. 注意到球面与侧面的交线即在平面内到距离为2的点的轨迹，结合， 可得轨迹为在平面内到距离为的轨迹， 即平面内，以为圆心，半径为的一段弧，因，则弧长为. 6. 在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，设，进而得，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设，所以， 因为平面， 所以，解得， 所以， 显然平面的一个法向量为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值，即， 所以，所以. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件推导面面垂直关系，再建立空间直角坐标系确定各点坐标，最后通过向量垂直的条件求解平面法向量，再用点到面的距离公式计算即可. 【详解】在四边形中，连接，由题意可知是边长为1的等边三角形， 则，，，则，可知， 即，且，由，，， 则，可知. 由，，平面， 可得平面，又因为平面，所以平面平面 取中点O，中点H，连，，则，，可得， 因为为等边三角形，则，平面平面， 平面，所以平面. 以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，可得，，. 设平面的法向量， 则，令，则，， 可得， 由点F为线段的中点，知点F到平面的距离是点B到平面的距离的. 平面的一个法向量，， 点B到平面的距离 ，所以点F到平面的距离为. 故选：B. 8. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，结合充分条件，逐一分析判断选项． 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A选项，因为，故、、共面， 即不能构成空间的一个基底，A不符合要求； 对于B选项，因为， 故、、共面， 即不能构成空间的一个基底，B不符合要求； 对于C选项，设、、共面， 则存在实数、使得， 因为是构成空间的一个基底，由空间向量基本定理可得，矛盾， 故假设不成立，即能构成空间的一个基底，C符合要求； 对于D选项，设、、共面， 则存在实数、使得， 因为是构成空间的一个基底，由空间向量基本定理可得，矛盾， 故假设不成立，即能构成空间的一个基底，D符合要求. 10. 下列说法中，表述错误的是（ ） A. 表示向量的有向线段在直线上，则直线的倾斜角为 B. 若将直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C. 若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 D. 若直线、的倾斜角分别为、，则“”是“”的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线的斜率与方向向量的关系，直线的斜率与倾斜角的关系可判断A选项；设直线的方程为，利用平移法则求出直线方程，结合题意得出的值，可判断B选项；利用直线倾斜角的概念可判断C选项；利用直线垂直与倾斜角的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，设直线的倾斜角为，则， 因为表示向量的有向线段在直线上，则该直线的斜率为， 故，A对； 对于B选项，由题意可知直线的斜率存在，设该直线的方程为， 将直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 所得到的直线的方程为， 因为直线与直线重合，所以，解得， 故直线的斜率为，B错； 对于C选项，当时，，， 直线绕点顺时针旋转后得直线， 此时直线的倾斜角为，C错； 对于D选项，直线、的倾斜角分别为、，且、， 所以， 若，则，即，此时， 故“”“”， 若，不妨取，，此时，则， 但， 故“”“”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，D错. 11. 如图，点，，，在水平放置的以为球心的半球面上，半球的半径为3，，，两两垂直，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 六面体体积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 取 中点 ，由球的性质得 平面 ，又 平面 ，故 ，结合线面平行判定得证；B. 补成长方体，平面 与 为对角面，仅正方体时垂直，一般长方体不垂直，故错误；C. 将六面体分割为三个四面体，体积为，由 及基本不等式求最大值；D. 补成长方体，外接球半径 3 得 ，由基本不等式推导，得最大值. 【详解】A选项：取 中点 ，连接 ，则 是 的外心， 则由球的截面性质（垂径定理）有 平面 ， 因为 ，， 两两垂直，平面 ，所以平面 ， 则 ，又 平面 ， 平面，故 平面，故A正确； B选项：把四面体 补成长方体，球心 是长方体中心， 则平面、平面 对应长方体的两个对角面，即平面 ，平面 ， 只有当长方体是正方体时对角面才垂直，一般长方体的对角面不垂直， 所以平面 、平面 不一定垂直，故 B错误； C选项：​ ， 将四面体补成长方体，长方体的外接球即为该半球所在的球， 所以 ， 由基本不等式， 得​，当且仅当时取等号， 所以体积最大值​，故C正确； D选项：由C选项的分析知， 由基本不等式可得，，， 将上述三个不等式相加，得， 即， 因为， 代入得， 则，当且仅当 时取等号， 所以的最大值为 ​，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 13. 如图，在平行六面体中，O是AC与BD交点．记， 则________（结果用表达）． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的一个基底表示作答. 【详解】在平行六面体中，，则O是BD的中点， 即， 所以. 故答案为： 14. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是_________．若空间中点满足，则的最大值是_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离；设出点坐标，求出的中点，的中点，根据求出点的轨迹，再根据，求出的最大值即可得解. 【详解】①，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 所以点到平面的距离为. ②设，由题意得的中点，的中点， ， 又，则， 即点在以为球心，半径的球面上. 同理，， 又， 则， ， 故， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率． 【答案】（1） （2）的所有可能值为；估计大于零的概率为 【解析】 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间和最高气温低于的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率； （2）按照温度分类，求出可能的取值，进而能估计大于零的概率． 【小问1详解】 由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间和最高气温低于的天数为， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关． 如果最高气温不低于，需求量为瓶，如果最高气温位于区间，需求量为瓶，如果最高气温低于，需求量为瓶， 所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率． 【小问2详解】 当温度大于等于时，需求量为，所以利润元， 当温度在时，需求量为，利润元， 当温度低于时，需求量为，利润元， 当温度大于等于时，利润， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于的天数有：， 所以估计大于零的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面．若存在，指明点的位置并给出证明，若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为底面，平面，所以, 又底面为正方形，所以，，所以平面， 又平面，所以平面平面，得证. （2）在棱上是存在一点且为的中点，使平面. 证明：取的中点，的中点，连接， 在中，因为分别为的中点， 所以有，， 因为为棱的中点，， 所以，，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，面，面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）利用三角形中位线，平行四边形的性质以及线面平行的判定定理分析即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，，，分别为内角，，的对边，且，． （1）若，求； （2）若，在边上且，求证：； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，， 所以，即 化简得. （3） 【解析】 【分析】（1）直接由余弦定理即可计算求解； （2）利用即可计算求解； （3）先求出，令，再结合辅助角公式变形得到，利用建立关于y的不等关系即可由题意计算求解. 【小问1详解】 若则，则由余弦定理得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由余弦定理且、可得， 而， 令，则，即， 则，其中， 因为，所以，所以的终边经过点， 因此取为锐角，则，所以，解得. 所以最大值为. 18. 如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． （1）求证：； （2）若，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若，求该五面体的体积的取值范围． 【答案】（1）如图，取的中点，连接，，，， 由题意易得，可得，是的中点， 所以， 因为是边长为2的等边三角形，故，又为的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，，，先证明平面，再由线面垂直得线线垂直. （2）以为空间的一组基底，把用基底表示，根据向量夹角公式计算可得. （3）将五面体补形成三棱柱,要求的五面体体积为三棱柱体积的一半，三棱柱的体积以为底面，高为得出.只要将的面积用含的代数式表示，根据可以确定体积取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，即，又因为是边长为2的等边三角形， 以为空间的一组基底， ，， ， 又， ， 所以， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为 . 【小问3详解】 如图，将该五面体补形成三棱柱，, 过B作于，由对称性，得，， 以为底边上的高， , 又， , ． 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过，的直线的点方向式方程； （2）已知平面：，平面：，平面：，若，，证明： （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）（形式不唯一） （2）由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）按照题中的新定义先求出直线的方向向量，在代入到题中的点方向式方程公式中求解. （2）先求出平面和平面两个平面交线的方向向量，再求出平面的法向量，利用，且，证明. （3）先求出平面与平面的交线的方向向量为，在求出平面的法向量，经判断交线与平面平行，所以求得参数，确定多面体与坐标轴交于各点坐标，利用空间向量求解两个平面的夹角，求解多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 由，得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易得侧面所在平面的法向量， 由平面可知，平面的法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，所以集合， 可知多面体与坐标轴交于各点， ，，，，，，如图所示， 由集合所有的点构成了多面体的各个面， 点，，均满足方程， 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， ， 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为， 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为， 综上，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $