1.1 集合讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕集合专题，覆盖元素特征、集合关系、基本运算及应用等高考核心考点，按“知识点-题型-真题”逻辑架构梳理，通过考点系统梳理、解题方法指导、三年真题演练等环节，帮助学生突破元素互异性、空集处理等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出核心素养培养，如通过描述法元素辨析训练数学眼光，集合关系推理强化数学思维。设计题型分层突破，如题型三强调空集分类讨论，题型五结合容斥原理解决实际问题，配合真题演练提升复习效率，助力学生构建解题框架，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1.1　集　合 目录 知识点1、元素与集合 2 知识点2、集合间的基本关系 2 知识点3、集合的基本运算 2 知识点4、集合的运算性质 3 题型一 集合的表示 3 题型二 集合元素的特征 5 题型三 集合的关系 6 题型四 集合的运算 9 题型五 集合的应用 13 三年真题演练 14 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. （5）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 知识点3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 知识点4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 题型一 集合的表示 【解题技巧】 1.列举法，注意元素互异性和无序性 2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素 1. （2026·安徽·芜湖一中三模）已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B. 【解析】 ，， , 故选：C 2. (多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} 【答案】　ABD 【解析】　选项A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P； 选项D中，M是二次函数y=x2-1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P. 3. 设集合，，则集合中元素个数为（       ） A． B． C． D．无数个 【答案】B 【分析】先解出集合，再按照对数的运算求出集合，即可求解. 【解析】由，解得，故，， 故，集合中元素个数为3. 故选：B. 4. （2026·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 所以，故集合中的元素个数为3， 故选：C. 题型二 集合元素的特征 【解题技巧】 1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 5. 已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8 答案　D 解析　由题意，若a2-2a+1=4，解得a=3或a=-1，若a-4=4，解得a=8， 当a=-1时，A={-1，4，-5}满足题意； 当a=3时，A={-1，4，-1}违背了集合中元素间的互异性； 当a=8时，A={-1，4，49}满足题意， 综上所述，a的值可能为-1，8. 6. （2026·重庆南开中学模拟预测）已知集合，，则集合（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据求解即可 【解析】 由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合 故选：D 7. 已知集合，，则中元素的个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】解不等式求出，从而得到不等式组，求出的值，进而得到中的元素，求出答案. 【解析】 由得：，所以，又，令，解得：，，当时，，当时，，当时，，故中元素的个数为3. 故选：B 8. 若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值. 【解析】 因为，故或或， 当时，，与元素的互异性矛盾，舍； 当时，，符合； 当时，或，根据元素的互异性，符合， 故a的取值集合为. 故答案为： 题型三 集合的关系 【解题技巧】 1.注意子集和真子集的区别和练习 2.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. 3.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 9. （2026·江苏南京·高三开学考试）已知集合，则的子集个数为（       ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【解析】由题得.因为. 所以.所以的子集个数为个. 故选：C 10. 已知，，若集合，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 11. （多选题）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】BCD 【解析】 因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 故选：BCD. 12. （2026·四川攀枝花·三模）设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】或. 因为集合，，所以. 故选：D 13. 设，，若，则实数的值可以是（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】 根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案. 【解析】 由题意，，因为，所以， 若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或. 综上：或或. 故选：ABC. 14. 设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式). 【答案】 【分析】 由知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围. 【解析】 由知，集合B为A的非空子集或空集， 即或， 解得或 故答案为： 题型四 集合的运算 【解题技巧】 1.注意并集与交集的大小关系 2.补集和全集是不可分割的两个概念 15. （多选题）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】∵∴， 若是的真子集，则，故A错误； 由可得，故B正确； 由可得，故C错误，D正确. 故选：BD. 16. 已知集合，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先解出集合，考虑集合是否为空集，集合为空集时合题意，集合不为空集时利用或解出的取值范围. 【解析】 由题意，， 当时，，即，符合题意； 当，即时，，则有或，即 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 17. （2026·天津和平·二模）已知全集为，集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意知，所以， 所以. 故选：A 18. （2026·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知集合，全集，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：由，即，等价于，解得或， 所以或，由，解得， 所以， 所以，所以； 故选：C 19. 如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（       ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【分析】 由题知，进而得，再求阴影部分表示的集合即可. 【解析】 解：解不等式得，所以， 因为，，，，所以 所以，图中的阴影部分表示的集合为. 故选：B 20. （多选题）（2026·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 先化简集合，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可. 【解析】 因为，解不等式得，又因为. 对于A，由题意得，故A错误； 对于B，由上已证可知B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误； 故选:BC 21. 已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________． 【答案】 【分析】 由给定条件求出集合M，再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得． 【解析】 由题意，集合， 则Venn图中阴影部分表示的集合是． 故答案为：. 题型五 集合的应用 【解题技巧】 (链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去. 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么， card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性. 22. 某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　设集合A={x|x是参加足球队的学生}， 集合B={x|x是参加排球队的学生}， 集合C={x|x是参加游泳队的学生}， 则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24， card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9. 设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，card(A∪B∪C)=46， 所以由 card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)， 即46=25+22+24-12-8-9+m， 解得m=4， 故三项都参加的有4人. 23. 某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　　.  答案　281 解析　由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合， 则card(A)=203，card(B)=179，card(C)=165， card(A∩B)=143，card(B∩C)=97，card(A∩C)=116，card(A∩B∩C)=90， 因此card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C) -card(A∩C)+card(A∩B∩C)=203+179+165-143-97-116+90=281. 所以参加竞赛的学生总人数是281 三年真题演练 (1) （2026·全国II卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题可得，所以 (2) （2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为，则. (3) （2026·全国一卷T3）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，即集合，且集合，所以. (4) （2026·天津卷T1）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得,又因，则. (5) （2025·全国一卷T2）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以， 中的元素个数为，故选：C． (6) （2025·全国二卷T3）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故，故选：D. (7) （2025·北京卷T1）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，故选：D. (8) （2025·天津卷T1）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，集合，故故选：D. (9) （2024·新课标Ⅰ卷T1）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且注意到，从而.故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　集　合 目录 知识点1、元素与集合 2 知识点2、集合间的基本关系 2 知识点3、集合的基本运算 2 知识点4、集合的运算性质 3 题型一 集合的表示 3 题型二 集合元素的特征 4 题型三 集合的关系 4 题型四 集合的运算 6 题型五 集合的应用 8 三年真题演练 9 知识点1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 知识点2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. （5）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 知识点3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 知识点4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 题型一 集合的表示 【解题技巧】 1.列举法，注意元素互异性和无序性 2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素 1. （2026·安徽·芜湖一中三模）已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 2. (多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} 3. 设集合，，则集合中元素个数为（       ） A． B． C． D．无数个 4. （2026·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ） A． B． C． D． 题型二 集合元素的特征 【解题技巧】 1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 5. 已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8 6. （2026·重庆南开中学模拟预测）已知集合，，则集合（       ） A． B． C． D． 7. 已知集合，，则中元素的个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 8. 若，则实数a的取值集合为______． 题型三 集合的关系 【解题技巧】 1.注意子集和真子集的区别和练习 2.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. 3.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 9. （2026·江苏南京·高三开学考试）已知集合，则的子集个数为（       ） A． B．8 C． D． 10. 已知，，若集合，则的值为（       ） A． B． C． D． 11. （多选题）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 12. （2026·四川攀枝花·三模）设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 13. 设，，若，则实数的值可以是（　　） A．0 B． C． D．2 14. 设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式). 题型四 集合的运算 【解题技巧】 1.注意并集与交集的大小关系 2.补集和全集是不可分割的两个概念 15. （多选题）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 16. 已知集合，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 17. （2026·天津和平·二模）已知全集为，集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 18. （2026·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知集合，全集，则（       ） A． B． C． D． 19. 如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（       ） A． ， B．，， C．， D．，， 20. （多选题）（2026·全国·高三专题练习）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 21. 已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________． 题型五 集合的应用 【解题技巧】 (链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去. 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么， card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性. 22. 某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 23. 某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　　.  三年真题演练 (1) （2026·全国II卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． (2) （2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． (3) （2026·全国一卷T3）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． (4) （2026·天津卷T1）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． (5) （2025·全国一卷T2）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 (6) （2025·全国二卷T3）已知集合则（   ） A． B． C． D． (7) （2025·北京卷T1）已知集合，则（   ） A． B． C． D． (8) （2025·天津卷T1）已知集合，则（    ） A． B． C． D． (9) （2024·新课标Ⅰ卷T1）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $