1.1 集合讲义-2027届高三数学一轮复习

1.1　集合 1.了解集合的含义,了解全集与空集的含义.　2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.　3.会求两个集合的并集、交集与补集.　4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 1.集合的概念 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系有属于、不属于两种,用符号∈,∉表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R |微点拨| 在解答集合问题时,要注意集合中元素的特征,特别是互异性对集合元素的限制. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作AB(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A,或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A,且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U,且x∉A} ∁UA 4.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A. 1.已知集合A中有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n-1个真子集,它有2n-1个非空子集,它有2n-2个非空真子集. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(×) (2)集合{x|x=x3}用列举法表示为{-1,1}.(×) (3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×) (4){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×) 2.(人教A版必修第一册例题改编)已知集合A={x|x2-4x<0,x∈N*},则集合A真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 解析　C　A={x|x2-4x<0,x∈N*}={1,2,3},所以集合A真子集的个数为23-1=7. 3.(人教A版必修第一册习题改编)若集合M={(x,y)|y=1},集合N={(x,y)|x=0},则M∩N=(　　) A.{0,1} B.{(0,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1),(1,0)} 解析　B　集合M表示纵坐标为1的点集,集合N表示横坐标为0的点集,所以M∩N={(0,1)}. 4.(人教A版必修第一册习题改编)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T=　　　　.  答案　{x|x≤1} 解析　因为S={x|x>-2},所以∁RS={x|x≤-2}.而T={x|-4≤x≤1},所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. 考点一　集合的基本概念 例1 (1)已知集合A={0,1,2},B={1,2,3},若集合C={xy|x∈A,y∈B},则C的元素之和为(　　) A.9 B.12 C.16 D.18 (2)若含有3个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 026+b2 026=　　　　.  答案　(1)C　(2)1 解析　(1)因为0×1=0×2=0×3=0,1×1=1,1×2=2×1=2,1×3=3,2×2=4,2×3=6, 所以集合C={0,1,2,3,4,6},集合C的元素之和为0+1+2+3+4+6=16. (2)因为={a2,a+b,0},显然a≠0,所以=0,即b=0, 此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1. 当a=1时,不满足互异性,故舍去; 当a=-1时,满足题意. 所以a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1. 解决集合含义问题的关键点 1.确定构成集合的元素. 2.确定元素的限制条件. 3.根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性. 1.已知集合M={1,a+3,a2+2},且6∈M,则a的值为　　　　.  答案　2或3 解析　由M={1,a+3,a2+2},且6∈M,得a+3=6或a2+2=6, 解得a=3或a=±2, 当a=3时,M={1,6,11},符合题意; 当a=2时,M={1,5,6},符合题意; 当a=-2时,M={1,1,6},不符合元素的互异性,舍去. 所以a的值为2或3. 2.若集合{x|x2+2kx+1=0}中有且仅有一个元素,则满足条件的实数k的取值集合是　　　　.  答案　{1,-1} 解析　若集合{x|x2+2kx+1=0}中有且仅有一个元素,则方程x2+2kx+1=0有两个相等的实数根,即Δ=(2k)2-4=0,解得k=±1,所以k的取值集合是{1,-1}. 考点二　集合间的基本关系 例2 (1)已知集合M=,N=,则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ (2)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　.  答案　(1)A　(2)[-2,2) 解析　(1)M==,N==,因为2k+1,k∈Z表示所有的奇数,而k+2,k∈Z表示所有的整数,则M⊆N. (2)①若B=⌀,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2; ②若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意; ③若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-,此时B=,不符合题意. 综上所述,实数m的取值范围为[-2,2). 1.判断集合间关系的常用方法 2.求参数的方法 将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解. 提醒:　当B为A的子集时,易漏掉B=⌀的情况. 3.已知集合A={x∈N*|x2-2x-3<0},则满足B⊆A的非空集合B的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 解析　A　A={x∈N*|x2-2x-3<0}={x∈N*|-1<x<3}={1,2},所以满足B⊆A的非空集合B有{1},{2},{1,2},共3个. 4.已知集合A={x|a<x<a+2},B={x|(x+2)(x-3)<0},且A⊆B,则(　　) A.-1≤a≤2 B.-1<a<2 C.-2≤a≤1 D.-2<a<1 解析　C　由(x+2)(x-3)<0,解得-2<x<3,所以B={x|-2<x<3},集合A={x|a<x<a+2}≠⌀.因为A⊆B,所以解得-2≤a≤1. 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的运算 例3 (1)(2026·八省八校T8联考)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B=,则A∪B=(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,-1]∪[,+∞) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.[-1,] (2)(2026·浙江绍兴模拟)已知全集U={x∈N|x≤3} ,A={1,2,3} ,B={x∈N|x2-x≤2} ,则∁U(A∩B)=(　　) A.{0,1,3} B.{0,1} C.{0,3} D.{0,2,3} (3)(2025·全国Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,3,5},则∁UA 中元素个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 答案　(1)B　(2)C　(3)C 解析　(1)∵A={x|x≤-1,或x≥3},B={x|x≥},∴A∪B={x|x≤-1,或x≥}. (2)已知全集U={x∈N|x≤3} ,N 表示自然数集,所以U={0,1,2,3}. 对于集合B={x∈N|x2-x≤2} ,解不等式x2-x≤2 ,则其解为-1≤x≤2. 又因为x∈N ,所以B={0,1,2}. 已知A={1,2,3},B={0,1,2},可得A∩B={1,2}. 因为U={0,1,2,3},A∩B={1,2},所以∁U(A∩B)={0,3}. (3)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以∁UA={2,4,6,7,8},故∁UA 中的元素个数为5. (人教A版必修第一册P13例5)设U={x|x 是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求∁UA,∁UB. 解　根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁UA={4,5,6,7,8},∁UB={1,2,7,8}. 高考真题本质是教材例题(人教A版必修第一册P13例5)的轻度改编题:仅将原集合A={1,2,3}替换为A={1,3,5},其余条件与解题方法完全一致.这体现了高考是对教材基础知识的直接迁移,提示教学应回归教材本源,夯实概念理解与基本运算能力. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4 (1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|x>m},若A∪B={x|x>1},则m的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[1,3) C.(1,3) D.[1,3] (2)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为　　　　.  答案　(1)B　(2)5 解析　(1)由x2-4x+3=(x-1)(x-3)<0,得1<x<3,所以A=(1,3). 又B={x|x>m}且A∪B={x|x>1},借助数轴求解,由图知1≤m<3. (2)由A∩B=A,得A⊆B,所以B≠⌀,所以m≥0. 由|x-3|≤m,得-m+3≤x≤m+3,故即 即m≥5,则m的最小值为5. 集合运算的常用方法 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况. 提醒:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 5.(2026·四川绵阳诊断)已知集合A={x|x>1},B={x|x2≤4},则A∩B=(　　) A.[2,+∞) B.(1,2] C.[1,2) D.⌀ 解析　B　因为A={x|x>1},B={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|1<x≤2}. 6.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},B={y|y=2x,x∈R},则图中阴影部分所对应的集合为(　　) A.{x|x<-1} B.{x|x≤-1} C.{x|x≤0,或x>3} D.{x|0<x≤3} 解析　A　因为B={y|y=2x,x∈R},所以B=(0,+∞).而题图中白色部分表示A∪B=[-1,+∞),故阴影部分所对应的集合为∁R(A∪B)=(-∞,-1). 7.已知集合A={x|x>a},B={x|1<x≤2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 解析　A　因为B={x|1<x≤2},所以∁RB={x|x≤1,或x>2},又A∪(∁RB)=R,所以a≤1. 考点四　集合的新定义问题 例5 (多选)对任意A,B⊆R,记A⊕B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},并称A⊕B为集合A,B的对称差.例如,A={1,2,3},B={2,3,4},则A⊕B={1,4}.下列命题中,为真命题的是(　　) A.若A,B⊆R且A⊕B=B,则A=⌀ B.若A,B⊆R且A⊕B=⌀,则A=B C.若A,B⊆R且A⊕B⊆A,则A⊆B D.存在A,B⊆R,使得A⊕B=(∁RA)⊕(∁RB) 解析　ABD　对于A,因为A⊕B=B,所以B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},所以A⊆B,且B中的元素不能出现在A∩B中,因此A=⌀,故A为真命题;对于B,因为A⊕B=⌀,所以⌀={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},所以A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,故B为真命题;对于C,因为A⊕B⊆A,所以{x|x∈A∪B,且x∉A∩B}⊆A,所以B⊆A,故C为假命题;对于D,若A={x|x<2},B={x|x>1},则A∪B=R,A∩B={x|1<x<2},所以A⊕B={x|x≤1,或x≥2},∁RA={x|x≥2},∁RB={x|x≤1},所以(∁RA)∪(∁RB)={x|x≤1,或x≥2},(∁RA)∩(∁RB)=⌀,所以(∁RA)⊕(∁RB)={x|x≤1,或x≥2},因此A⊕B=(∁RA)⊕(∁RB),故D为真命题. 解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目,准确理解题目中的新定义,依照新定义中某些限定条件,联系所学过的知识找出解题的突破口. 8.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A,且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={x|x≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=　　　　.  答案　{x|-3≤x<0,或x>3} 解析　∵A={x|x≥0},B={x|-3≤x≤3},∴A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0}.∴A*B={x|-3≤x<0,或x>3}. 容斥原理 [教材母题] (人教A版必修第一册P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? [引申结论] 上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A版必修第一册P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下: (1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). [典例应用] 某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　.  答案　20 解析　设A={x|x是会打乒乓球的教师人数}, B={x|x是会打羽毛球的教师人数}, C={x|x是会打篮球的教师人数}. 根据题意得card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5, 根据三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C), 有card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35, 而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次, 故要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数. 因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20. 1.已知集合A={x∈Z|x2-2x≤0},则A的子集个数为(　　) A.4 B.7 C.8 D.16 解析　C　由题意可得A={x∈Z|x2-2x≤0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2},可知A有3个元素,所以A的子集个数为23=8. 2.(2026·湖北武汉模拟)已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x2-4x-5<0},则A∩B=(　　) A.{2,3,4,5} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{2,3,4} 解析　C　B={x|x2-4x-5<0}={x|-1<x<5},所以A∩B= {1,2,3,4}. 3.(2026·广东湛江模拟)已知集合A={x|x+2>0},B={x|x2<16},则A∪B=(　　) A.(-4,+∞) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-∞,-2) 解析　A　由题意可得A=(-2,+∞),B=(-4,4),所以A∪B=(-4,+∞). 4.已知A={x|x2-ax+1≤0},若2∈A,且3∉A,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　A　由题意得4-2a+1≤0且9-3a+1>0,解得≤a<. 5.已知集合A={x∈N|x2-4x-5≤0},B={1,3,5,7},则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{0,2,4} B.{2,4} C.{0,4} D.{2,4,5} 解析　A　由x2-4x-5≤0,即(x+1)(x-5)≤0,解得-1≤x≤5,所以A={x∈N|x2-4x-5≤0}={x∈N|-1≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},因为B={1,3,5,7},所以A∩B={1,3,5},所以题图中阴影部分所表示的集合为∁A(A∩B)={0,2,4}. 6.已知集合U={-2,-1,0,1,2},M={-2,2},N={x|-1≤x≤1,x∈N},则(∁UM)∩N=(　　) A.{-1,0,1} B.[-1,1] C.{0,1} D.[0,1] 解析　C　因为集合U={-2,-1,0,1,2},M={-2,2},所以∁UM={-1,0,1},又N={x|-1≤x≤1,x∈N}={0,1},所以(∁UM)∩N={0,1}. 7.设集合P={y|y=ex+1},M={x|y=log2(x-2)},则集合M与集合P的关系是(　　) A.M=P B.P∈M C.M⊆P D.P⊆M 解析　C　函数y=ex+1的值域为(1,+∞),函数y=log2(x-2)的定义域为(2,+∞),即P=(1,+∞),M=(2,+∞),所以有M⊆P. 8.已知集合A={x|x=2n,n∈N},B={x|x2-ax<0},且A∩B中只有一个元素,则实数a的取值范围是(　　) A.(2,4] B.(2,4) C.(2,3] D.[2,4] 解析　A　由题意得A={x|x=2n,n∈N}={0,2,4,6,8,…},B={x|x2-ax<0}={x|x(x-a)<0},由于A∩B中只有一个元素,所以a>0,B=(0,a),因此A∩B={2},得2<a≤4. 9.(多选)已知集合M={x|x<3},N={x|x2-3x≥0},则(　　) A.M∩N=⌀ B.M∪N=R C.∁RM⊆N D.∁R(M∩N)=(0,+∞) 解析　BCD　由x2-3x≥0可得x≤0或x≥3,即N={x|x≤0,或x≥3}.对于A,M∩N={x|x<3}∩{x|x≤0,或x≥3}={x|x≤0}≠⌀,故A错误;对于B,M∪N={x|x<3}∪{x|x≤0,或x≥3}=R,故B正确;对于C,因为∁RM={x|x≥3}⊆{x|x≤0,或x≥3},故∁RM⊆N,故C正确;对于D,∁R(M∩N)=(∁RM)∪(∁RN)={x|x≥3}∪{x|0<x<3}={x|x>0},故D正确. 10.(多选)已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},且A∪B=A,则实数a的取值可以是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　ABC　A={x|x2=1}={-1,1},集合B表示关于x的方程ax=1的解集, 因为A∪B=A,所以B⊆A. 当a=0时,方程ax=1无解,此时B=⌀,符合题意; 当B={1}时,a=1;当B={-1}时,-a=1,解得a=-1. 综上可得a=0或±1. 11.若集合A={x|log3(x-1)<1},B={x|1≤x<2},则A∩(∁RB)=　　　　.  答案　{x|2≤x<4} 解析　因为log3(x-1)<1,所以0<x-1<3,1<x<4,所以A={x|1<x<4}.又∁RB={x|x<1,或x≥2}, 故A∩(∁RB)={x|2≤x<4}. 12.某中学为了了解本校学生“扫码支付”与“共享单车”的使用情况,随机调查了100位学生,其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位,使用过“扫码支付”的学生共有80位,使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位,则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有_______位.  答案　70 解析　根据题意得如图所示Venn图,使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位,使用过“扫码支付”的学生共有80位,则只使用过“共享单车”的学生有90-80=10(位),又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位,则使用过“共享单车”的学生人数为10+60=70. 13.(多选)(2026·河南开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方的子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|(ax-1)·(x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是(　　) A.-2 B.- C.0 D.1 解析　BCD　若A与B构成“全食”或“偏食”,则A∩B≠⌀. 当a=0时,B={0}; 当a≠0时,B=. 对于A,若a=-2,则B=, 此时A∩B=⌀,不满足题意; 对于B,若a=-,则B=, 此时B⊆A,满足题意; 对于C,若a=0,则B={0}, 此时B⊆A,满足题意; 对于D,若a=1,则B={-1,1},此时A∩B={1}≠⌀,满足题意. 14.已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　因为A为非空集合,则a-1<2a+3, 解得a>-4,∁RB={x|x<-2,或x>4}, 若A∩(∁RB)=A,则A⊆(∁RB),则2a+3≤-2或a-1≥4, 解得a≤-或a≥5,又a>-4, 综上所述,实数a的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　集合 1.了解集合的含义,了解全集与空集的含义.　2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.　3.会求两个集合的并集、交集与补集.　4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 1.集合的概念 (1)集合中元素的三个特征:_________、_________、_________. (2)元素与集合的关系有_________、_________两种,用符号___,___表示. (3)集合的表示法:_________、_________、_________. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 _____ _____ _____ _____ _____ |微点拨| 在解答集合问题时,要注意集合中元素的特征,特别是互异性对集合元素的限制. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的_____,记作_____(或_____). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的_____,记作AB(或_____). (3)相等:若A⊆B,且_____,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法 并集 _____________ ______ 交集 _____________ ______ 补集 _____________ ______ 4.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A. 1.已知集合A中有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n-1个真子集,它有2n-1个非空子集,它有2n-2个非空真子集. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B. 3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( ) (2)集合{x|x=x3}用列举法表示为{-1,1}.( ) (3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ) (4){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ) 2.(人教A版必修第一册例题改编)已知集合A={x|x2-4x<0,x∈N*},则集合A真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 3.(人教A版必修第一册习题改编)若集合M={(x,y)|y=1},集合N={(x,y)|x=0},则M∩N=(　　) A.{0,1} B.{(0,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1),(1,0)} 4.(人教A版必修第一册习题改编)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T=　　　　.  考点一　集合的基本概念 例1 (1)已知集合A={0,1,2},B={1,2,3},若集合C={xy|x∈A,y∈B},则C的元素之和为(　　) A.9 B.12 C.16 D.18 课堂笔记： (2)若含有3个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 026+b2 026=　　　　.  课堂笔记： 解决集合含义问题的关键点 1.确定构成集合的元素. 2.确定元素的限制条件. 3.根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性. 1.已知集合M={1,a+3,a2+2},且6∈M,则a的值为　　　　.  2.若集合{x|x2+2kx+1=0}中有且仅有一个元素,则满足条件的实数k的取值集合是　　　　.  考点二　集合间的基本关系 例2 (1)已知集合M=,N=,则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ 课堂笔记： (2)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　.  课堂笔记： 1.判断集合间关系的常用方法 2.求参数的方法 将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解. 提醒:　当B为A的子集时,易漏掉B=⌀的情况. 3.已知集合A={x∈N*|x2-2x-3<0},则满足B⊆A的非空集合B的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 4.已知集合A={x|a<x<a+2},B={x|(x+2)(x-3)<0},且A⊆B,则(　　) A.-1≤a≤2 B.-1<a<2 C.-2≤a≤1 D.-2<a<1 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的运算 例3 (1)(2026·八省八校T8联考)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B=,则A∪B=(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,-1]∪[,+∞) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.[-1,] 课堂笔记： (2)(2026·浙江绍兴模拟)已知全集U={x∈N|x≤3} ,A={1,2,3} ,B={x∈N|x2-x≤2} ,则∁U(A∩B)=(　　) A.{0,1,3} B.{0,1} C.{0,3} D.{0,2,3} 课堂笔记： (3)(2025·全国Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,3,5},则∁UA 中元素个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 课堂笔记： (人教A版必修第一册P13例5)设U={x|x 是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求∁UA,∁UB. 课堂笔记： 高考真题本质是教材例题(人教A版必修第一册P13例5)的轻度改编题:仅将原集合A={1,2,3}替换为A={1,3,5},其余条件与解题方法完全一致.这体现了高考是对教材基础知识的直接迁移,提示教学应回归教材本源,夯实概念理解与基本运算能力. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4 (1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|x>m},若A∪B={x|x>1},则m的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[1,3) C.(1,3) D.[1,3] 课堂笔记： (2)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为　　　　.  课堂笔记： 集合运算的常用方法 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况. 提醒:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). 5.(2026·四川绵阳诊断)已知集合A={x|x>1},B={x|x2≤4},则A∩B=(　　) A.[2,+∞) B.(1,2] C.[1,2) D.⌀ 6.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},B={y|y=2x,x∈R},则图中阴影部分所对应的集合为(　　) A.{x|x<-1} B.{x|x≤-1} C.{x|x≤0,或x>3} D.{x|0<x≤3} 7.已知集合A={x|x>a},B={x|1<x≤2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 考点四　集合的新定义问题 例5 (多选)对任意A,B⊆R,记A⊕B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},并称A⊕B为集合A,B的对称差.例如,A={1,2,3},B={2,3,4},则A⊕B={1,4}.下列命题中,为真命题的是(　　) A.若A,B⊆R且A⊕B=B,则A=⌀ B.若A,B⊆R且A⊕B=⌀,则A=B C.若A,B⊆R且A⊕B⊆A,则A⊆B D.存在A,B⊆R,使得A⊕B=(∁RA)⊕(∁RB) 课堂笔记： 解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目,准确理解题目中的新定义,依照新定义中某些限定条件,联系所学过的知识找出解题的突破口. 8.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A,且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={x|x≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=　　　　.  容斥原理 [教材母题] (人教A版必修第一册P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? [引申结论] 上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A版必修第一册P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下: (1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)三元容斥原理: card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). [典例应用] 某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　.  课堂笔记： 1.已知集合A={x∈Z|x2-2x≤0},则A的子集个数为(　　) A.4 B.7 C.8 D.16 2.(2026·湖北武汉模拟)已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x2-4x-5<0},则A∩B=(　　) A.{2,3,4,5} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{2,3,4} 3.(2026·广东湛江模拟)已知集合A={x|x+2>0},B={x|x2<16},则A∪B=(　　) A.(-4,+∞) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-∞,-2) 4.已知A={x|x2-ax+1≤0},若2∈A,且3∉A,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.已知集合A={x∈N|x2-4x-5≤0},B={1,3,5,7},则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{0,2,4} B.{2,4} C.{0,4} D.{2,4,5} 6.已知集合U={-2,-1,0,1,2},M={-2,2},N={x|-1≤x≤1,x∈N},则(∁UM)∩N=(　　) A.{-1,0,1} B.[-1,1] C.{0,1} D.[0,1] 7.设集合P={y|y=ex+1},M={x|y=log2(x-2)},则集合M与集合P的关系是(　　) A.M=P B.P∈M C.M⊆P D.P⊆M 8.已知集合A={x|x=2n,n∈N},B={x|x2-ax<0},且A∩B中只有一个元素,则实数a的取值范围是(　　) A.(2,4] B.(2,4) C.(2,3] D.[2,4] 9.(多选)已知集合M={x|x<3},N={x|x2-3x≥0},则(　　) A.M∩N=⌀ B.M∪N=R C.∁RM⊆N D.∁R(M∩N)=(0,+∞) 10.(多选)已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},且A∪B=A,则实数a的取值可以是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 11.若集合A={x|log3(x-1)<1},B={x|1≤x<2},则A∩(∁RB)=　　　　.  12.某中学为了了解本校学生“扫码支付”与“共享单车”的使用情况,随机调查了100位学生,其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位,使用过“扫码支付”的学生共有80位,使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位,则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有_______位.  13.(多选)(2026·河南开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方的子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|(ax-1)·(x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是(　　) A.-2 B.- C.0 D.1 14.已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A,则实数a的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $