2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第二章 一元二次方程是代数的核心对象：解集的求法、根的判别式、根与系数的关系 图 1　本节知识地图：概念与一般形式、四种解法、判别式与解集、根与系数的关系 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解一元二次方程的概念与一般形式，会判别二次项系数不为零； ② 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法； ③ 理解根的判别式，会由判别式判断根的情况并写出解集； ④ 掌握根与系数的关系（韦达定理）及其常见变形。 重点 一元二次方程的四种解法；根的判别式；根与系数的关系 难点 配方法的配方步骤；求根公式中根号下非负（Δ≥0）；韦达定理的前提条件与常见变形的灵活应用 一元二次方程只含一个未知数且最高次数为 2。它的解集可能是两个元素、一个元素或空集；根与系数之间还存在简洁的定量关系，这是后续学习的重要基础。 二、情境引入 一个长方形的长比宽多 2 dm，面积为 15 平方分米。若设宽为 x dm，则长为 x+2 dm，由面积公式得 ，化简得 。像这样含有未知数 x 的二次关系，如何求出它的解？这就是本节要研究的一元二次方程。 生活原型面积、运动、增长等许多实际问题，经过设未知数后都会归结到“未知数最高次数为 2”的等式，这就是一元二次方程的现实来源。 三、一元二次方程的概念与一般形式 一般地，等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 它的一般形式是 （）。其中 叫二次项，a 是二次项系数； 叫一次项，b 是一次项系数；c 叫常数项。 项 代数式 名称与系数 二次项 a 叫二次项系数（不能为 0） 一次项 b 叫一次项系数 常数项 c 叫常数项 判定要点：① 是等式；② 两边都是整式；③ 只含一个未知数；④ 未知数最高次数为 2；⑤ 二次项系数 （否则退化为一次方程）。 化为一般形式解一元二次方程前，常先去括号、移项、合并同类项，化为 （）的标准形式，以便确定 a、b、c 的值。 四、一元二次方程的解法 一元二次方程有四种常用解法，可根据题目特点灵活选用。 ① 直接开平方法适用于 （）：两边开平方，得 。 ② 配方法把一般式化为 的形式再开平方，是公式法的基础。 ③ 公式法利用下面的求根公式，适用所有一元二次方程。 ④ 因式分解法将左边分解为两个一次因式的乘积，令各因式为 0（如 2.1.1 的十字相乘）。 图 2　一元二次方程的四种解法：先化为一般形式，再按特点选择方法 配方法（以 （）为例） ① 移项：；② 二次项系数化 1： ③ 配方：两边加 ，得 ；④ 开平方求解（需 ）。 公式法（求根公式） 对一般形式 （），令 ，当 时，方程的两个根为： 求根公式。其中 叫做根的判别式。 当 时，根号下为负数，方程没有实数根（解集为空集）。 五、根的判别式与解集 一元二次方程 （）的根的情况，完全由判别式 的符号决定。 判别式 根的情况 解集 Δ>0 两个不相等的实数根 Δ=0 两个相等的实数根（重根） Δ<0 没有实数根 图 3　判别式 Δ 与解集的对应：Δ>0 两解、Δ=0 一解、Δ<0 空集 解集是一个集合，应写成 、 或 ∅ 的形式；重根只写一个元素，无实根时解集为空集。 六、根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 （）有实数根 、，则两根与系数之间满足： 关系 公式 两根之和 两根之积 图 4　根与系数的关系：两根之和、两根之积都由系数 a、b、c 唯一确定 前提韦达定理只在方程有实数根时成立，即 。应用韦达求参数时，最后要代回验证 。 常见变形（对称式求值） 平方和 + = 。 倒数和（ + ，） = 。 差的绝对值 = 。 加 1 后的积 = 。 图 5　根与系数关系的常见变形：平方和、倒数和、差的绝对值、加 1 后的积 七、求方程解集的方法 求一元二次方程的解集，本质是求出所有根并用集合表示。四种方法的选用： (1) 直接开平方法：方程形如 （）时直接开平方； (2) 配方法：化为 再开平方，是公式法的推导基础； (3) 公式法：先算 ，再代入求根公式，适用所有方程； (4) 因式分解法：化为 ，令各因式为 0，能分解时最简便。 八、例题 例 1（直接开平方法） 解方程 。 解：两边开平方，得 ，即 或 ，解集为 {−1, 7}。 例 2（配方法） 用配方法解方程 。 解：移项 ；两边加 ，得 ，即 ；开平方 ，得 或 ，解集为 {−1, 5}。 例 3（公式法） 用公式法解方程 。 解：，，；判别式 ；代入求根公式得 = = 或 ，解集为 {−1, 3}。 例 4（根与系数的关系） 已知 、 是方程 的两个根，求 + 。 解：由韦达定理 ，；于是 + = = 。 九、易错辨析 忽略 a≠0判定一元二次方程时，必须确认二次项系数 ；否则方程退化为一次方程。 忘判别式前提公式法中若 ，根号下为负，方程没有实数根，解集为 ，不能写出实数值根。 韦达定理前提韦达关系只在 时成立；用韦达求参数后，要代回检验 。 解集表示不规范重根只写一个元素 {x₀}；无实根写 ；无论哪种情形，都要用集合 { } 表示。 十、本节边界 本节已学一元二次方程的概念与一般形式；四种常用解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）；根的判别式与解集的三种情形；根与系数的关系（韦达定理）及其常见变形。 本节不涉及本章后续将要研究的内容，本节不展开；变量之间的依赖关系属于更后面的章节，本节不引入；前章学习过的条件与结论之间的逻辑关系，本节不引入；更复杂的高次方程等的解法在后续内容中展开。 十一、解题方法归纳与典型模型 题型特征 首选解法 关键提醒 完全平方式，可直接开方 直接开平方法 先确认右边 m 非负 容易配成完全平方式 配方法 先把二次项系数化为 1 一般形式，不易分解 公式法 先算 Δ 再代入求根公式 能用十字相乘分解 因式分解法 化为两个一次因式为 0 四种解法没有绝对的优劣：能分解时因式分解法最快捷；直接开平方、配方法适用于完全平方式；形式一般、不易分解时，公式法是通用保障。 反过来，若已知两根之和与两根之积，也能写出以这两根为根的一元二次方程。例如两数之和为 5、之积为 6，则它们是方程 的两个根，即 、。 已知一根求另一根，可用两根之积倒推：若方程 的一个根是 1，则由两根之积 得另一根为 3。 十二、课后巩固 1. 概念判别下列方程中，是一元二次方程的是（　　）：A. ；B. ；C. ；D. + x = 2（含分式，非整式）。 2. 一般形式与系数把 化为一般形式，并指出 、、 的值。 3. 直接开平方解方程 。 4. 配方法用配方法解方程 。 5. 公式法用公式法解方程 （）。 6. 判别式不解方程，判断 的根的情况。 7. 韦达定理已知 、 是 的两根，求 、 及 + 。 8. 辨析判断正误并说明理由：① 方程 的解集是 { }（应为 ）；② 若 ，则必有 ；③ 一元二次方程的二次项系数可以为 0（）；④ 用公式法时不必考虑 的范围。 参考答案 1. B 是一元二次方程（A 是一次方程，C 是三次，D 含分式非整式）。 2. 展开 ，移项合并得 ，故 、、。 3. ，得 或 ，解集 {−5, 1}。 4. 移项 ，配方 ，即 ，开平方得 ，解集 {−7, 1}。 5. ， = ，得 或 ，解集 {−1, 4}。 6. ，方程没有实数根，解集为 。 7. 由韦达定理 ，；于是 + = 。 8. ① 错，无实根应写 （{ } 是含空内容的写法，不标准）；② 对，韦达关系以 为前提；③ 错，必须 ；④ 错， 时无实根，不可写出实数值根。 学科网（北京）股份有限公司 $