2.2.3一元二次不等式及其解法　导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

高一数学导学案：一元二次不等式的解法 【学习目标】 1. 理解一元二次不等式、二次函数与一元二次方程三者之间的联系。 1. 熟练掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法（“三步曲”）。 1. 能够解决含参一元二次不等式的简单问题。 1. 体会数形结合与分类讨论的数学思想。 一、核心知识点梳理 1. 一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 一般形式： ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 （a ≠ 0） 其中 > 和 < 也包含 ≥ 和 ≤。 2. 一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系（核心思想） 三者紧密相关，解决问题的钥匙在于 “看图像，找交点”。 · 二次函数 y = ax² + bx + c （a > 0）的图像是一条开口向上的抛物线。 · 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根，就是抛物线与 x轴交点 的横坐标。 · 一元二次不等式 ax² + bx + c > 0 的解集，就是使得函数图像在 x轴上方 的x的取值范围。反之，ax² + bx + c < 0 的解集就是图像在 x轴下方 的x的取值范围。 3. 解一元二次不等式的标准步骤——“三步曲” 以 a > 0（开口向上）为例： 第一步：化正，求根。 · 将不等式化为标准形式，并确保二次项系数为正。若为负，则两边同乘-1，并改变不等号方向。 · 求对应一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根（x₁, x₂，设 x₁ < x₂）。 · 根的判别式 Δ = b² - 4ac 决定了根的情况： · Δ > 0：有两个不相等的实根 · Δ = 0：有两个相等的实根（一个根） · Δ < 0：无实根 第二步：看图，写解。 · 根据 a 的正负和根的情况，画出对应的二次函数 y = ax² + bx + c 的示意图。 · 根据不等式符号，在图像上找出对应的x轴区域。 第三步：结论。 · 根据图像，直接写出不等式的解集。 解的四种情况总结表（a > 0） 判别式 Δ Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 图像 与x轴有两个交点 x₁, x₂ (x₁ < x₂) 与x轴有一个切点 x₀ 与x轴无交点 方程 ax²+bx+c=0 的根 两不等实根：x₁, x₂ 两相等实根：x₁ = x₂ = x₀ 无实根 不等式 ax²+bx+c>0 的解集 {x | x < x₁ 或 x > x₂} {x | x ≠ x₀} R（全体实数） 不等式 ax²+bx+c<0 的解集 {x | x₁ < x < x₂} ∅（空集） ∅（空集） 口诀记忆： 大于取两边，小于取中间。（前提是 a > 0） 二、典型例题解析 例题1：基础解法 解不等式：-x² + 2x + 3 ≥ 0 例题2：无实根情况 解不等式：x² - 2x + 2 > 0 例题3：含参讨论（提升） 解关于 x 的不等式：x² - (a+1)x + a < 0 三、高考真题链接 (2021·全国乙卷 文/理，改编) 已知集合 M = {x | -4 < x < 2}，N = {x | x² - x - 6 < 0}，则 M ∩ N = ( ) A. {x | -4 < x < 3} B. {x | -4 < x < -2} C. {x | -2 < x < 2} D. {x | 2 < x < 3} 四、巩固练习 【A组 基础达标】 1. 解下列不等式： 0. x² - 5x - 6 > 0 0. -2x² + 3x + 2 ≤ 0 0. x² + 4x + 4 ≥ 0 0. 4x² - 4x + 1 < 0 1. 不等式 x(x-2) < 8 的解集是 ______。 【B组 能力提升】 1. 若不等式 x² + mx + 1 > 0 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 1. 解关于 x 的不等式 ax² - (a+1)x + 1 < 0 （a > 0） 五、常见解题思路与易错点 1. 首项系数为负： 必须先化为正数，否则“大于取两边，小于取中间”的口诀会完全出错！这是最常见的错误！ 1. 因式分解是利器： 对于能因式分解的二次三项式，优先考虑因式分解，可以快速找到方程的根 1. 数形结合是根本： 当不确定时，画一个简单的抛物线示意图，可以直观地帮助确定解集，避免记忆混乱 1. 含参问题分类讨论： · 讨论 二次项系数 是否为0（当不等式未标明“一元二次”时） · 讨论 判别式 Δ 的符号 · 讨论 两根的大小 · 通常按参数的“零点”进行划分讨论区间 1. 验证端点： 当不等式是“≥”或“≤”时，解集包含方程的根（端点）；当是“>”或“<”时，不包含 1. 恒成立问题： · ax² + bx + c > 0 恒成立 ⇔ a > 0 且 Δ < 0 · ax² + bx + c < 0 恒成立 ⇔ a < 0 且 Δ < 0 五、课后提升 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知则不等式的解集为 ． 三、解答题 4．已知函数，. (1)当时，求的解集. (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， (3)设，解关于的不等式. 5．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于的不等式． 6．已知函数． (1)若函数在为单调函数，求a的取值范围； (2)当，解不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学导学案：一元二次不等式的解法 【学习目标】 1. 理解一元二次不等式、二次函数与一元二次方程三者之间的联系。 1. 熟练掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法（“三步曲”）。 1. 能够解决含参一元二次不等式的简单问题。 1. 体会数形结合与分类讨论的数学思想。 一、核心知识点梳理 1. 一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 一般形式： ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 （a ≠ 0） 其中 > 和 < 也包含 ≥ 和 ≤。 2. 一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系（核心思想） 三者紧密相关，解决问题的钥匙在于 “看图像，找交点”。 · 二次函数 y = ax² + bx + c （a > 0）的图像是一条开口向上的抛物线。 · 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根，就是抛物线与 x轴交点 的横坐标。 · 一元二次不等式 ax² + bx + c > 0 的解集，就是使得函数图像在 x轴上方 的x的取值范围。反之，ax² + bx + c < 0 的解集就是图像在 x轴下方 的x的取值范围。 3. 解一元二次不等式的标准步骤——“三步曲” 以 a > 0（开口向上）为例： 第一步：化正，求根。 · 将不等式化为标准形式，并确保二次项系数为正。若为负，则两边同乘-1，并改变不等号方向。 · 求对应一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根（x₁, x₂，设 x₁ < x₂）。 · 根的判别式 Δ = b² - 4ac 决定了根的情况： · Δ > 0：有两个不相等的实根 · Δ = 0：有两个相等的实根（一个根） · Δ < 0：无实根 第二步：看图，写解。 · 根据 a 的正负和根的情况，画出对应的二次函数 y = ax² + bx + c 的示意图。 · 根据不等式符号，在图像上找出对应的x轴区域。 第三步：结论。 · 根据图像，直接写出不等式的解集。 解的四种情况总结表（a > 0） 判别式 Δ Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 图像 与x轴有两个交点 x₁, x₂ (x₁ < x₂) 与x轴有一个切点 x₀ 与x轴无交点 方程 ax²+bx+c=0 的根 两不等实根：x₁, x₂ 两相等实根：x₁ = x₂ = x₀ 无实根 不等式 ax²+bx+c>0 的解集 {x | x < x₁ 或 x > x₂} {x | x ≠ x₀} R（全体实数） 不等式 ax²+bx+c<0 的解集 {x | x₁ < x < x₂} ∅（空集） ∅（空集） 口诀记忆： 大于取两边，小于取中间。（前提是 a > 0） 二、典型例题解析 例题1：基础解法 解不等式：-x² + 2x + 3 ≥ 0 【解】 1. 化正： 两边同乘-1，改变不等号方向：x² - 2x - 3 ≤ 0 2. 求根： 解方程 x² - 2x - 3 = 0，得 (x-3)(x+1) = 0，所以 x₁ = -1, x₂ = 3 3. 看图写解： ∵ a = 1 > 0，∴ 抛物线开口向上。不等式是“≤0”，即求图像在x轴下方及交点的部分。解集为 {x | -1 ≤ x ≤ 3} 例题2：无实根情况 解不等式：x² - 2x + 2 > 0 【解】 1. 化正求根： 已经是标准形式，a = 1 > 0。求根：判别式 Δ = (-2)² - 4×1×2 = -4 < 0，方程无实根 2. 看图写解： ∵ a > 0 且 Δ < 0，∴ 抛物线开口向上且与x轴无交点，图像始终在x轴上方 3. 结论： 不等式 > 0 恒成立，解集为 R（全体实数） 例题3：含参讨论（提升） 解关于 x 的不等式：x² - (a+1)x + a < 0 【解】 1. 因式分解： 不等式左边可分解为 (x-1)(x-a) < 0 2. 求根： 方程 (x-1)(x-a) = 0 的根为 x₁ = 1, x₂ = a 3. 分类讨论（比较两根大小）： · 当 a > 1 时： 1 < a。根据“小于取中间”，解集为 {x | 1 < x < a} · 当 a = 1 时： 不等式变为 (x-1)² < 0。一个数的平方恒大于等于0，故解集为 ∅ · 当 a < 1 时： a < 1。根据“小于取中间”，解集为 {x | a < x < 1} 综上： 当 a > 1 时，解集为 (1, a)； 当 a = 1 时，解集为 ∅； 当 a < 1 时，解集为 (a, 1) 三、高考真题链接 (2021·全国乙卷 文/理，改编) 已知集合 M = {x | -4 < x < 2}，N = {x | x² - x - 6 < 0}，则 M ∩ N = ( ) A. {x | -4 < x < 3} B. {x | -4 < x < -2} C. {x | -2 < x < 2} D. {x | 2 < x < 3} 【解】 1. 先解集合 N 代表的不等式 x² - x - 6 < 0 2. 因式分解：(x-3)(x+2) < 0 3. ∵ a = 1 > 0，∴ “小于取中间”，解集为 {x | -2 < x < 3}。即 N = (-2, 3) 4. 求 M ∩ N：M = (-4, 2)，N = (-2, 3)，它们的交集为 (-2, 2) 5. 所以正确答案是 C 【点评】 本题将一元二次不等式的解法与集合运算结合，是高考中的基础考查方式。 四、巩固练习 【A组 基础达标】 1. 解下列不等式： 0. x² - 5x - 6 > 0 0. -2x² + 3x + 2 ≤ 0 0. x² + 4x + 4 ≥ 0 0. 4x² - 4x + 1 < 0 1. 不等式 x(x-2) < 8 的解集是 ______。 【B组 能力提升】 1. 若不等式 x² + mx + 1 > 0 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 1. 解关于 x 的不等式 ax² - (a+1)x + 1 < 0 （a > 0） 五、常见解题思路与易错点 1. 首项系数为负： 必须先化为正数，否则“大于取两边，小于取中间”的口诀会完全出错！这是最常见的错误！ 1. 因式分解是利器： 对于能因式分解的二次三项式，优先考虑因式分解，可以快速找到方程的根 1. 数形结合是根本： 当不确定时，画一个简单的抛物线示意图，可以直观地帮助确定解集，避免记忆混乱 1. 含参问题分类讨论： · 讨论 二次项系数 是否为0（当不等式未标明“一元二次”时） · 讨论 判别式 Δ 的符号 · 讨论 两根的大小 · 通常按参数的“零点”进行划分讨论区间 1. 验证端点： 当不等式是“≥”或“≤”时，解集包含方程的根（端点）；当是“>”或“<”时，不包含 1. 恒成立问题： · ax² + bx + c > 0 恒成立 ⇔ a > 0 且 Δ < 0 · ax² + bx + c < 0 恒成立 ⇔ a < 0 且 Δ < 0 【参考答案】 【A组】 0. {x | x < -1 或 x > 6} 0. {x | x ≤ -1/2 或 x ≥ 2}（提示：化正为 2x²-3x-2 ≥ 0） 0. R（提示：(x+2)² ≥ 0，恒成立） 0. ∅（提示：(2x-1)² < 0，不成立） 2.{x | -2 < x < 4}（提示：先展开移项为 x²-2x-8 < 0） 【B组】 1. 解：∵ a = 1 > 0，要使 x² + mx + 1 > 0 解集为 R，需满足判别式 Δ < 0 Δ = m² - 4 < 0，解得 -2 < m < 2 ∴ m 的取值范围是 (-2, 2) 1. 解：不等式 ax² - (a+1)x + 1 < 0 可因式分解为 (ax - 1)(x - 1) < 0 方程 (ax - 1)(x - 1) = 0 的根为 x₁ = 1/a, x₂ = 1 ∵ a > 0，比较 1/a 与 1 的大小： · 当 0 < a < 1 时，1/a > 1，解集为 (1, 1/a) · 当 a = 1 时，不等式为 (x-1)² < 0，解集为 ∅ · 当 a > 1 时，1/a < 1，解集为 (1/a, 1) 五、课后提升 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【思路】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 2．关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【思路】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得． 【详解】不等式化为， 当时，不等式无解， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是． 【反思】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解． 二、填空题 3．已知则不等式的解集为 ． 【思路】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 三、解答题 4．已知函数，. (1)当时，求的解集. (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， (3)设，解关于的不等式. 【思路】（1）将代入，得到，由得到，求解这个一元二次不等式即可； （2）分和两种情况讨论求解，当时，结合二次函数的图象求解； （3）分和两种情况讨论求解，当时，将转化为，求出的两个根为，按照根的大小讨论求解. 【详解】（1），，，， 的解集为或； （2）当时，变为， 满足不等式对一切实数恒成立，满足题意； 当时，要使对一切实数恒成立， 则有，即，解得. 综上，不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是； （3）当时，转化为； 当时，转化为， 则有， 的两个根为， 当时，即，的解集为； 当时，即，的解集为； 当时，即，的解集为； 综上可知， 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 5．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于的不等式． 【思路】（1）根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系即可解出； （2）把分式不等式转化为整式不等式，再含参讨论求解一元二次不等式即可． 【详解】（1），，，即， 而不等式的解集是，故，即； （2）原不等式等价于， ①时，，解得：，此时原不等式解集为； ②时，不等式化为， ⅰ．当即时，原不等式的解集为：． ⅱ．当即时，原不等式解集为． ⅲ．当即时，原不等式的解集为：. ③当时，不等式化为， 此时原不等式解集为或． 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为：或. 6．已知函数． (1)若函数在为单调函数，求a的取值范围； (2)当，解不等式． 【思路】（1） 讨论a及轴与0和2的关系（2）分解因式利用分类讨论求解a在不同范围内的不等式的解 【详解】（1）①当a＝0时，在上单调递减，符合题意； ②当时，对称轴，由题意得或，∴或， 综上，所求a的取值范围是． （2）①当a＝0时，；∴． ②当a＞0时，由得x＝1或， （i）当即时，， （ii）当即时，， （iii）当即时，， 综上，当a＝0时，所求不等式的解集为． 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $