精品解析：江苏扬州高邮市2025-2026学年高三上学期10月调研考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高三10月学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. 和 D. 6. 高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的两条相邻对称轴间的距离为．现将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，满足等式，则下列式子可以成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 在区间上单调递减 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当关于的方程有两个不等实根时， D. 当时，过原点与曲线相切的直线有且只有1条 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，则______． 13. 已知集合，，且，则______． 14. 已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若函数在处取得极小值，求实数，的值； （2）讨论函数的单调性． 16. 如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，． （1）若点在上，且满足，求证：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长．某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 11 13 16 18 17 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望． 参考公式：在线性回归方程中，，． 参考数据：，． 18. 定义在上的函数． （1）当时，求函数的值域； （2）当时，若在处取最大值． ①求； ②关于的方程在区间上有两解，，求的值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）记的导函数为，若为上的单调函数，求的取值范围； （3）若函数，求证：存在无数个的值，使得有两个极值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三10月学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，，利用交集的定义即可求解. 【详解】对于集合，由于，解得，则， 对于集合，由于，即，则，所以； 故选：A 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数定义列方程求解即可. 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 故选：D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，由可得， 因为在定义域上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】已知，则有，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16. 故选：B 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导得，再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 6. 高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量，再结合对勾函数的单调性可得答案. 【详解】由，可得，则可化为：， 令得：，再令， 由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以， ，只需. 故选：D 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合两角和的余弦公式和同角三角函数的商数关系，可得，，然后结合两角差的余弦公式和倍角公式求解即可． 【详解】已知，， 则，， 即， 则， 所以. 故选：B． 8. 已知函数的两条相邻对称轴间的距离为．现将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合三角函数图象的对称性求出的值，可得函数解析式，再根据三角函数图象的平移与伸缩变换，求出的解析式，先将问题转化为和的图象在区间上有且只有2个交点，然后作出图象，通过数形结合求得k的取值范围． 【详解】由题意得， 根据的两条相邻对称轴间的距离为，可得的周期， 所以，可得. 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得的图象， 方程在区间上恰有两个不同的实数解， 可转化为和的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得 根据函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 作出函数的大致图象如下： 结合图象，可得，即实数k的取值范围是． 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，满足等式，则下列式子可以成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出和两个函数的图象，结合图象求解即可． 【详解】实数，满足等式， 即在处的函数值和在处的函数值相等， 做出和两个函数的图象， 当时，，此时C选项成立； 做出直线，此时，可得，， 满足， 由图象知，时，都有，由此知B选项成立； 作出直线，此时，可得，，满足， 由图象知，时，都有，由此知D选项成立. 故选：BCD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 在区间上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】AB选项，利用正弦型函数的性质结合图像判断最小正周期和对称性；C选项求出函数值的范围判断；D选项，结合正弦单调性，分析在区间上的单调性. 【详解】函数的最小正周期是， 函数图象轴上及上方部分不变，轴下方的部分翻折到上方，得函数的图象， 则的最小正周期是，A选项正确； 函数的图象都在轴上及轴上方，不可能关于轴上的点中心对称，B选项错误； ，正弦函数在上单调递增， ，有，C选项错误； 时，， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 结合图像的翻折可知，在区间上单调递减，D选项正确. 故选：AD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当关于的方程有两个不等实根时， D. 当时，过原点与曲线相切的直线有且只有1条 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,利用导数研究在上的单调性即可判断；对于B，利用导数研究的单调性，求出最小值即可判断；对于C，变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出实数a的范围判断；对于D，求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断. 【详解】对于A，，，求导得， 当时， ，函数在上单调递增， 所以当时，，A正确； 对于B，，，求导得， 当时，令，解得：， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，由于，则，所以成立，故B正确； 对于C，由关于的方程有两个不等实根，得有两个不等实根， 整理得，则，即， 令函数，则即为， 函数在R上单调递增，则，即， 由A选项知，，函数在上单调递减， 在上单调递增，， 而时，，时，， 而有两个根，必有，解得， 所以a的取值范围为，C不正确． 对于D，当时,，函数定义域为，求导得， 设切点坐标为，则在处，的切线方程为： ，则， 化简得，当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解；当时，，满足要求， 因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与曲线相切，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】化简，将两边平方可得，代入原等式即可求解. 【详解】由题可得：， 因为，所以，则，即， 所以， 故答案为： 13. 已知集合，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合，再根据确定集合对应的一元二次不等式，利用韦达定理求出、的值，最后计算. 【详解】解不等式，等价于，即， 解得，所以， 因为，所以不等式解为， 则一元二次方程的两根为，， ，解得， ，解得， . 故答案为：. 14. 已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，则______. 【答案】8100 【解析】 【分析】由是偶函数得，再由和，得到和，通过这两个等式求得，从而得到的周期，求出，，，最后利用周期求出的值. 【详解】是偶函数，， ，，， ，将换为，， 将和这两个等式相加，得， 将换为，得，则有， 得，将换为，得，的周期为4， ，，， ，，， 的周期为4，，，， ，，， 将和两个式子相加，得， . 故答案为：8100. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若函数在处取得极小值，求实数，的值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1），； （2） 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）通过求导，令导数为，结合极值点和极值的条件来确定参数的值； （2）根据导数与的大小关系进行讨论. 【小问1详解】 函数，， 由题意知，， 即，解得，． 此时，，令，得或， 函数在和上单调递增，上单调递减， 所以时，取极小值． 所以，． 【小问2详解】 ，令，得，， 当时，时，时， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，时，时， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 16. 如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，． （1）若点在上，且满足，求证：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在线段上取点，使得，连接，， 因为，所以，， 又，，，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故，而平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）在线段上取点，使得，通过证明，得证平面； （2）以E为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，，故，， 所以，四边形为平行四边形，故． 因为平面， 而，平面，故，． 所以，，又， 所以，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则由可得，取， 所以，， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长．某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 11 13 16 18 17 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望． 参考公式：在线性回归方程中，，． 参考数据：，． 【答案】（1），千元 （2） 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先求，，结合题中公式求和回归直线方程，代入即可得预测结果； （2）由题意可知的所有可能取值为：2，3，4，结合超几何分别求分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可得：，， 则，， 可知线性回归方程为， 当时，， 所以预测春节假期第8天的营业额为千元． 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为：2，3，4， 则，，， 所以的分布列为 2 3 4 的数学期望为． 18. 定义在上的函数． （1）当时，求函数的值域； （2）当时，若在处取最大值． ①求； ②关于的方程在区间上有两解，，求的值． 【答案】（1） （2）①2；②. 【解析】 【分析】（1）需要将函数化简为标准形式，再根据给定区间求值域； （2）①通过辅助角公式找到最大值条件，进而求出； ②先根据三角函数性质求出与的关系，再代入式子计算. 【小问1详解】 当时，， 因为，，所以， 所以函数的值域为； 【小问2详解】 ①当时，，其中，， 当时，函数取得最大值，此时， 所以； ②由题知，，由①知 故方程的两解满足：，即， 且；又由①知，. 所以； 由知， 所以； 所以． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）记的导函数为，若为上的单调函数，求的取值范围； （3）若函数，求证：存在无数个的值，使得有两个极值点． 【答案】（1）； （2）或； （3）证明： 函数的定义域为，由知为奇函数， 故可以只考查，求导可得， 当时，恒成立，在上单调递增， 又由为奇函数可知在上单调递增，没有极值； 令， 当时，，由（2）知，当时， 在上单调递减，即在上单调递减， 所以，当时，，可得在上单调递减， 因为，，所以存在，使得， 且当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 再由为奇函数可知：在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数有两个极值点，， 由实数的稠密性可得：存在无数个的值，使得有两个极值点． 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由为上的单调函数，转化为或恒成立，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，分与讨论，结合函数的奇偶性与单调性代入计算，即可证明. 【小问1详解】 由题知，所以切点为， 又由，得，则切线的斜率为0， 所以切线方程为：； 【小问2详解】 由（1）知， 因为为单调函数，或在上恒成立， 所以的取值范围为：或； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $