云南省楚雄州民族中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

楚雄州民族中学高二年级9月月考 10.已知正方体ABCD一A1BC1D,的棱长为1，则 A.AB1∥平面BDC B.B,C⊥平面BDC 数学试题 C.平面AA,C⊥平面BDC 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 D.点A到平面BDC,的距离为 注意事项： 11,设△ABC的内心为P,外心为O,重心为G,|AB|=|AC|=5,1BC|=6,则 1.答题前，先将自己的姓名，考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 A.△ABC的内切圆半径为r=号 B.6PA+5 PB+5 PC=0 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 C.60A+5OB+5O-0 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. n.1oGl-贵 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 12.直线1过点（一2,2）且与直线x十2y=0垂直，则直线1的斜截式方程为 数 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 13.已知函数f(x)=2sin(o-三)(w>0),若存在x1x∈[0，]，使得f()f()=-4,则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 梦 合题目要求的。 ,的最小值为 O 1.已知集合A=(-2,-1,0,5,B={女小=log(+2),则AnB= 14,在非等装△AC中设角A.BC的时边分别为o且号-牛名则A十B=一 知 A.{-1,0,5 B.(0,5} C.5} D.-2,-1】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 异 2已知=名则= 已知点P(2,一1)和直线1：x+2y-5=0. A.VTo c号 (1)若直线11经过点P,且11∥1，求直线l的方程： B.2 D.3 O 5 (2)若直线2经过点P,且在两坐标轴上的截距相等，求直线2的方程. 3.若a=(1,-2,1).b=(-1,-3,2),则(a十b)·(a-b)= A.10 B.8 C.-10 D.-8 螺 4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则4x-y= A.2 B.6 C.1 D.-4 0 5.“0≤a<号”是“函数y=ar2+x十u收尽大于0的所有实数“的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 杯 拓 6.将函数x)=2025sin(3+g)(告<9<号)向左平移7个单位后得到奇函数g(x),则9 O A意 B受 c号 陪 烯 7.已知an,an(号-0)）是方程x+2mx-3=0的两个实根.则m 点 A.-2/3 B.-6√3 C.43 D.-4V3 8.已知在体积为12的三棱锥A-BCD中，AC⊥AD,BC⊥BD,平面ACDL平面BCD,∠ACD =号∠BCD=于，若点A,B,C,D都在球0的表面上，则球O的表面积为 A.12 B.16r C.32x D.48r 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.直线1过A(2,1),B(3,m)(m∈R)两点，那么直线1的倾斜角有可能为 A等 B. c等 n晋 高二数学第1页（共4页） 高二数学第2页（共4页） 16,(本小题满分15分) 18.(本小题满分17分) 如图，在正四棱柱ABCD一ABC:D,中，AA,=3AB=3,点E,F分别在棱BB1,CC上， 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和 BE=CF=TBB. 195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165》，，第八 组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频常分布直方图的一部分，已知第一一组与第八组 (1)证明：BD∥平面AEF: 人数相同，第六组的人数为4人. (2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值. ↑類率 0.060-*4 0.040==- 0016----- 0.008T十…十………T 努 0V155160165170175180185190195身高(cm) (1)求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数：（取每组数据中 间值为代表数据) O (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，事件E表示抽取的俩 人来自于同一组，求P(E). 华 些 焙 ® 17.(本小题满分15分) 擗 已知△AC的内角A,B,C所对的边分别是a,bc,nA二mB 'a+b sin C (1)求B: 19.(本小题满分17分) O (2)若△ABC外接圆半径为2√，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的最大值. 如图，在三棱锥P一ABC中，侧面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,△PAC是边长为2的正三 角形，BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为L. 烟 (1)证明：直线1⊥平面PAC: 当 (2)设点Q在直线（上，直线PQ与平面AEF所成的角为g,异面直线PQ与EF所成的角 帝 为9，探究当AQ为何值时a十9=受 O 雄 高二数学第3页（共4页） 高二数学第4页（共4页）楚雄州民族中学高二年级9月月考 数学 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 集合 易 0.95 2 选择题 5 复数 易 0.92 3 选择题 空间向量坐标运算 多 0.87 空间向量的平行与 4 选择题 5 易 0.80 垂直 选择题 5 充分必要条件 务 0.75 6 选择题 5 三角函数图象变换 / / 中 0.65 7 选择题 5 三角恒等变换 中 0.55 空间几何体体积、表 8 选择题 5 L / L 谁 0.35 面积 9 选择题 6 直线的倾斜角与斜率 √ 易 0.85 10 选择题 6 立体几何线面关系 √ 分 0.55 11 选择题 6 向量综合问题 L 难 0.35 12 填空题 直线的方程 √ L 易 0.90 13 填空题 5 三角函数求值、求角 易 0.80 14 填空题 5 解三角形 中 0.75 15 解答题 13 直线方程 易 0.95 16 解答题 15 空间向量与立体几何 易 0.90 解答题 15 解三角形、周长最值 分 0.75 ·1 (数学) 18 解答题 概率统计 中 0.75 空间向量与立体几何、 19 解答题 17 证明线面垂直问题、求 L √ 难 0.35 线面角、面面角 ·2 参考答案及解析 ·高二数学· 高二数学 一、选择题 到的图象解析式为：g(x)=f(x十牙） 1.A【解析】由题意可得B=(>-} ,故A∩B 2025sm[3(+平)+9]=2025sn(3x+经+e)(君 ={-1,0,5}.故选A. 2.A【解析】由题意可得=3气一(3-)(3+五 2 2(3+i) <<否)，由题g()图象关于原点中心对称，故 要十p=km,k∈7→p=kx-8F,k∈7.又吾<g<5 +号i,故=√()+（日了=四.故 选A. 故g=平，故选C 3.D【解析】因为a=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),所 7.A【解析】因为an0,tan(号-0)是方程r+2mx-3 以a十b=(0,一5,3)，a-b=(2,1,-1),则(a+b)· (a-b)=-5-3=-8.故选D. =0的两个实根，所以an0十an(号一9）=一2， 4.B【解析】向量a=(1,2,-y),b=(x,1,2),则a十 tang叶an(于-0) tan6an(于-0）=-3，所以 2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2), 1--tan tan(号-g) 因(a+26)∥(2a-b),于是得2=告 m号5=之2所以m=-26,放选A 产2解得=合y=一4，故红一y=6:放选B 8.D【解析】如图，取CD的中点O,连接AO,BO,因为 AC⊥AD,BC⊥BD,所以OA=OB=OC=OD,点O 5.A【解析】使y=ax2+x十a取尽大于0的所有实 数，当a=0时，y=x满足题意；当a≠0时，需满足 就是球心，因为∠BCD=千，△BCD是等腰直角三角 a>0 解得0<a≤方：综上，0<a<分故 形，所以OB⊥CD.因为平面ACD⊥平面BCD,平面 △=1-4a2≥0 ACD∩平面BCD=CD,所以OB⊥平面ACD.设球O “0<a<合是“函数)-ax十x十a取尽大于0的所 半径为R,则OB=R,AC=R,AD=√3R,所以三棱锥 有实数”的充分不必要条件.故选A A-CD的体积V-子·OB·号·AC,AD-号R 6.C【解析】将f(x)图象向左平移于个单位长度得 =12,所以R=23,所以球O的表面积为4πR= ·1 ·高二数学· 参考答案及解析 48元.故选D. 11.ABD【解析】取BC边的中点E,连接AE,因为 |AB|=|AC引=5，所以内心P、外心O,重心G都在 中线AE上，且AE⊥BC,|AE|=√VTAB-BET D< =4,对于A,由S△e=号|AE引×|BC= 二、选择题 (AB+AC+BC)得号X4×6= 9.AD【解析】设l的倾斜角为α，.直线l的斜率k= m-1=m2-1,tana=m2-1≥-1，又a∈ 之r(5十5十6)，解得，=多，故A正确：对于B,因 1 [0,π)，“直线1的倾斜角的取值范围是[0，受)U 为PE1=冬AP=4-是=号，所以P吨- [平x):故选AD 3pA,6pA+5Pi+5P心=6pA+5· 10.AC【解析】如图知AB∥DC,且DCC平面 (pi+P心)=6Pi+10pi=6pPi-10×号×pi BDC,AB:不在平面BDC内，所以AB:∥平面 =0,故B正确；对于C,由余弦定理得cosA= BDC,故A正确；若BC⊥平面BDC,则BC⊥ LAB2+ACL2-BCL2_25+25-36= 2AB·ACT 2×25 25,0< DC1,则BC⊥AB,显然∠ABC≠90°，故B错误； 因为ABCD是正方形，故BD⊥AC,且BD⊥AA, A<,所以smA=V-c0sA=结，所以△ABC AA∩AC=A,AA1,ACC平面AAC,所以BD⊥平 的外接周半径A01=C=,三 2× 25 8 面AAC,而BDC平面BDC,所以平面AAC⊥平 面BDC1,故C正确：正方体的棱长为1，设点A到 10E=4-A01=4-容-冬，所以0成- 平面BDC1的距离为h,由VA-C,=VG-ABD,则 吉Sah=子Sm·AA,即X子X万X 0i,所以60i+50i+50心=60i+ 5(0i+0心)=60i+100i=60i-10×无0i 厄×停=号×号×1X1X1,解得6-点A到 O≠0，故C结误：对于D.△ABC的外接圆半径 平面BDC,的距离为号，故D带误，故选AC D IAO1-5,1AGl=号|AE=号，所以0G= 1A0-AG=要-号=是，放D正确，故 选ABD. D ·2· 参考答案及解析 ·高二数学· 代入P(2,-1)可得x十2y=0, (8分) 若直线4不经过原点，设直线方程为后十立=1， a G 0 (10分) 代入P(2,-1)可得a=1,故直线2方程为x十y-1 三、填空题 =0. (12分) 12.y=2x十6【解析】直线1过点(-2,2)且与直线 综上，直线l2的方程为x十2y=0和x十y-1=0. x十2y=0垂直，直线x十2y=0的斜率为-之，得 (13分) 16.解：(1)以DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,之 直线（的斜率为2，故直线1的方程为y一2= 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 2(x十2)，即y=2x十6.故答案为y=2x十6. 13.号【解析】因为存在1，西∈[0，]，一号， a:-晋∈[-受om-受]，使得f(x)f() 一4，所以m一舌≥受，解得。≥吕故答案为号 14.受 【解析】由余弦定理化简可得9 2accos B 26 ccos A,由 则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1,1),F(0,1,2), 正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin2A= 所以EA=(0,-1,-1),E求=(-1,0,1)，由EA+ sin2B,故2A十2B=,所以A十B=受.故答案 EF=(0,-1,-1)十(-1,0,1)=(-1，-1,0)， 为受 (4分) BD=(-1,-1,0), 四、解答题 所以BD=EA+E, 15,解：(1)由直线1的方程可知它的斜率为-立， 1 所以BD,EA,EF是共面向量. (6分) 因为41∥L,所以直线1的斜率为-2 1 (3分) 因为EA,EFC平面AEF,BD过平面AEF,故BD∥ 平面AEF (7分) 又直线经过点P(2,一1)， (2)设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),则 所以直线4的方程为：y十1=-号(x-2),即x十 (n.EA=-y-3=0 2y=0. (6分) ,不妨令x=1,得y=一1,2= nE=-x十=0 (2)若直线2经过原点，设直线方程为y=kx, 1, (9分) (7分) ·3· ·高二数学· 参考答案及解析 则平面AEF的一个法向量为n=(1,-1,1).又平 C=-A受 面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), (11分) 则 0<A<受 1= 所以1oa,m1=册后文号.14分) n·m Ae(若，) (11分) 所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为 ∴A-号∈(-吾，若)→s(A-受)e(51] (15分) (13分) 17.解：(1)因为a-S=sinA-sinB a+b sin C 6+12co(A-号)∈(6+6,18]， 所以由正弦定理得=a一b, a+b C (2分) 即△ABC的周长的最大值为18. (15分) 化简可得a2十c2-b=ac,由余弦定理得cosB= 18.解：1)第六组的频率为0=0.08。 (2分) a2+c2-b1 2ac 2 (4分) ∴.第七组的频率为1-0.08-5×(0.008×2十 因为B为三角形内角，B∈(0，π)， 0.016+0.04×2+0.06)=0.06 (4分) 由直方图得，身高在第一组[155,160)的频率为 所以B=受 (6分) 0.008×5=0.04, (2)因为B=号， 身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5= b 0.08, 所以由正弦定理可得2R=sinA=snmB一sinC= 身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2， 45. 身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2， 故a=43sinA,b=43sinB=6,c=4√3sinC= 由于0.04十0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+ 45sin(经-A小， (8分) 0.2+0.2=0.52>0.5, 设这所学校的800名男生的身高中位数为m, 所以a+b计c=6+4[sinA+sin(ξ-A)] 则170女m175, (6分) inA0 A) 由0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5得 m=174.5, (7分) =6+12cos(A-号)， (10分) 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为 因为△ABC为锐角三角形， 174.5cm,平均数为 参考答案及解析 ·高二数学· 157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5 则AE⊥PC, (9分) ×0.2+177.5×0.06×5+182.5×0.08+187.5× AE∩EF=E,AE、EFC平面AEF,从而PC⊥平面 0.06+192.5×0.008×5=174.1cm. (10分) AEF, (11分) (2)第六组「180,185)的抽取人数为4，设所抽取的 连接EQ,则∠PQE=a,因为l∥EF,I⊥PA,则 人为a,b,c,d, ∠PQA=0, (13分) 第八组[190,195]的抽取人数为0.008×5×50=2， 在Rt△PEQ中，sina PE=1 PQP在R△PAQ中， 设所抽取的人为A,B, AQ cos 0- PO (15分) 则从中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd, aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB共15种情况， 因为a十0=受，则sina=cos0,得AQ=1,所以当 (12分) AQ=1时十9=受 (17分) 所以事件E包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd, AB共7种情况. 解法二：以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y (14分) 轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为之轴，建立 7 所以P(E)= (17分) 空间直角坐标系， 19.解：(1)因为E,F分别是PC,PB的中点，则BC∥ EF, (1分) 因为BC丈平面AEF,EFC平面AEF,从而BC∥平 面AEF, (2分) 因为BCC平面ABC,平面AEF∩平面ABC=l,则 BC∥L, (4分) 则点A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0W5), 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC E(20,9)F(329) (9分) =AC,BC⊥AC,BCC平面ABC, (6分) 则BC⊥平面PAC, 从而A弦=(-号，0，号)，萨=(0,20)，设平面 所以直线I⊥平面PAC (7分) AEF的一个法向量m=(x,y,z), (2)解法一：因为BC⊥平面PAC,PCC平面PAC, m=号+：= 则BC⊥PC, (8分) 则 ,取x=√3，得m= EF.m=2y=0 又BC∥EF,则EF⊥PC,因为△PAC为正三角形， (1,0W3), (11分) E为PC的中点， ·高二数学· 参考答案及解析 设点Q(2,a,0),则P=(1,a,-√3)， (12分) =2a_=a (16分) 2/4+a W/4+a 所以sina=|cos<Pd,m>|= IPQ.ml PQ1·m 因为a十9=受，则sina=cos0,得|a-1, 2 (14分) 所以当AQ=1时a十0=受 (17分) w成： ·6