山东省日照市五莲县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学12月月考试题参考解答 1． A 【解】 设，则，，，解得：，.故选：A. 2．B【解】由，得或，解得（舍）或， .故选：B. 3．D【解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确， 故选：D. 4．D【解】由题意得，，的取值为，∵. ∴. 故选：D. 5．C【解】因为，则，解得或， 当时，：，：，两直线重合，故舍去， 当时，：，：，两直线平行，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 6．C 【解】由已知圆和，可知，，，，且，又动圆与圆内切，同时与圆外切，则，，所以，所以动点到两个定点，的距离之和为定值，即满足椭圆的定义，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长轴长度，焦距，即，，所以，椭圆方程为，故选：C 7．D【解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为，故选：D. 8．A【解】若，则中有个为，个为或，此时共有种；若，则中有个为，个为或，此时共有种；若， 则中有个为，个为或，此时共有种； 即共有种不同排列，即集合中满足的元素的个数为. 故选：A. 9．BCD【解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得，当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或，此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得，令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 10．ACD【解】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，， 所以，又E，F分别是棱的中点， 所以，所以，平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF，因为N，E分别是棱的中点，所以，且，所以四边形CDNE为平行四边形，所以，又平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，所以平面平面CEF， 点P是正方形内的动点，且平面CEF，所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确； 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，由题意得，设， ，所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，所以点P的轨迹长度为，故B错误： 如图，将平面CEF翻折到与平面共面， 连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值， ∵，且， 所以点Q为EF的中点，所以， 所以，即的最小值为，故C正确： 如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，若P是棱的中点，则， 所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，连接OP，设，则，连接OC，，所以，所以，解得，所以，点到平面的距离为，则球心到平面的距离为，则截面圆的半径为， 所以截面的面积为，故D正确；故选：ACD． 11．AB【解】如图：对于A：根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，由，故A正确； 对于B：因为抛物线方程为，所以.根据抛物线的定义，，所以，故B正确； 对于C：记直线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以.根据抛物线的定义：，，所以，故C错误； 对于D：当时，直线斜率存在且不为0，设直线：. 代入得：，整理得：.设，，则，由，点在第一象限，得（）.解得，故D错误. 故选：AB 12． 【解】方法一，若质点在第10s末位于位置4，则10次移动中有3次向负方向、7次向正方向，故其概率为．方法二，设质点向正方向移动的次数为，则，质点在第10s末位于位置4，则，所以概率为． 13．16【解】因为，所以正整数2024有个不同的正约数，故答案为：16. 14．【解】圆的圆心为，半径为.因为 ．又因为椭圆的，为椭圆的右焦点，设，，，所以，，∴．故答案为： 15．【解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种；...................................3分 （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列，则有种排列方案；......................................................................7分 （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法.......................13分 16．【解】（1）5门大炮同时对某一目标各射击一次，设击中目标的次数为， 则，故恰好击中目标2次的概率为.........................................7分 （2）由题意，门大炮同时对某一目标各射击一次，击中0次的概率为， 则至少击中一次的概率为，则，即， 解得，因为，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要3门大炮....................................................................................................................15分 17．【解】（1）建立如图空间直角坐标系， 则， 由，得， 解得，即， 所以，易知平面的一个法向量为，所以，即，又平面，所以平面；..........................................................................................5分 （2）由（1）得，则，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 又平面的一个法向量为，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为...........................................................................11分 （3）由题意知，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以点到平面的距离为.................................................15分 18．【解】（1）若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以．................................................................................................4分 （2）易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 ...................................................................................................11分 （3）采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三制”．.........................................................................................17分 19．【解】（1）由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得. 由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长为，焦距为，， 所以点T的轨迹W的方程为................................................................................................5分 （2）由（1）知，，设直线，，， 联立消去x，整理得，则 ， 根据题意可设，，则由， 可得，同理可得， 所以直线FM与直线FN的斜率之积， . 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值................................................................................17分 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 一、单选题：（40分） 1. 若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 3．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 4．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 5．已知直线：，：，若，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．3或 6．已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 二、多选题：（18分） 9．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 10．如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为 D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为 11．设为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．若，则直线的斜率为或 三、填空题：（15分） 12．数轴上的一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向正方向或负方向移动一个单位，则质点在第10s末位于位置4的概率为 . 13．正整数2024有 个不同的正约数 14．10．已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 . 四、解答题：（77分） 15．（13分）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1) 6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2) 6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3) 6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 16.（15分）已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有门大炮同时对某一目标各射击一次. (1) 当时，求给好击中目标2次的概率（精确到0.01）； (2) 如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（） 17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且. (1) 求证：平面； (2) 求平面与平面夹角的余弦值； (3) 求点到平面的距离. 18．（17分）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1) 求甲以获胜的概率； (2) 设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3) 如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 19．（17分）在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. (1) 求点T的轨迹W的方程； (2) 已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$