精品解析：山东省实验中学2026-2027学年第一学期高二第一次学情检测数学试题

山东省实验中学2026～2027学年第一学期高二第一次 学情检测 数学试题 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 2. 直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直. 时，利用两条直线垂直可得：，解得. 联立方程解出即可得出. 【详解】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直. 时，由两条直线垂直可得：，解得. 综上可得：. 联立，解得，. ∴这两条直线的交点坐标为. 故选： 【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 3. 如图，已知斜三棱柱，设分别为与BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为， ， . 故选：D. 4. 已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则直线平面或直线平面， 所以“”是“直线与平面平行”的必要不充分条件. 5. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程变形得到定点，将点代入直线确定的关系，最后运用基本不等式中的“乘1法”即可. 【详解】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 6. 已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 7. 在棱长为2的正方体中，为其体对角线上的动点，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径.则（ ） A. 当点在体对角线上运动时，的值也在随之变化 B. 当点在底面内运动时，的值也在随之变化 C. 的取值范围是 D. 的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项计算可得结论. 【详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 由，则，解得， 所以，所以， 又，所以，故A错误； 因为点在底面内运动，故设， 则，， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C错误； 因为为球的一条直径， 所以， 又因为点在该正方体表面上运动，所以，所以， 所以的最大值为2，故D正确. 故选：D. 8. 在三棱柱中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求平面的法向量，再求点到平面的距离，以及的面积，即可求解三棱锥的体积． 【详解】设平面的一个法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量， 点到平面的距离， 点到的距离，且， 所以的面积, 则三棱锥的体积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若，则 C. 若与相互平行，则或1 D. 若不经过第二象限，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，当时，直线：，所以直线的一个方向向量为，A正确； 对于B，若，则，解得，B正确； 对于C，若与相互平行，则，解得或， 当时，：，即：，：，两直线重合，不符合条件； 当时，：，：，两直线平行， 综上所述，，C错误； 对于D，将化成斜截式方程：，交轴于点 若不经过第二象限，则，解得，D正确. 10. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 C. 若平面，的法向量分别为，，则 D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项 A：线面垂直的向量判定规则是直线方向向量与平面法向量平行；验证发现两向量不存在倍数关系、不平行，因此线面不垂直，命题为假；选项 B：线线垂直的向量判定规则是两直线方向向量点积为 0；代入坐标计算点积结果为 0，因此两直线垂直，命题为真；选项 C：面面垂直的向量判定规则是两平面法向量点积为 0；代入坐标计算点积结果为 0，因此两平面垂直，命题为真；选项 D：平面法向量的核心性质是与平面内所有向量垂直（点积为 0）；取平面内向量与法向量列点积方程，即可推导得出，命题为真. 【详解】选项 A，若直线平面，则直线的方向向量与平面的法向量必须平行（即存在实数 ，使得 ）， ，，显然不存在实数 同时满足 且 ，两向量不平行，因此不垂直于，A假； 选项 B，直线的方向向量，直线的方向向量， ，因此 ，即直线与 垂直，B真； 选项 C，平面，的法向量分别为，， ，因此 ，即平面 ，C真； 选项 D，，，由法向量性质 ， 得，得，与选项结论一致，D真. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 在三棱锥中，点到平面的距离为定值 B. 过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，C，用空间向量求解；对于B，可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于D，设球心，由求解球心坐标即可． 【详解】以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴建系如图： 可得，，，，，， 得到，， 设， 则， ，则， 设面的一个法向量为， 则，， 令，得，，， 对于A：P到平面的距离为，故A正确； 对于B：连接，，四边形为平行四边形， ，又面，面， 面，同理可证面， 又，面面， 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故B错误； 对于C：设直线与面所成角为， 则， ，，， 直线与面所成角的正弦值的范围为，故C正确； 对于D：当点P为中点时， 设三棱锥的外接球球心， ， ，解得， 外接球半径R满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使得且.已知，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先将分解为，再通过向量平方公式展开，对与的夹角进行分类讨论，结合已知条件和向量数量积的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得，所以， 两边平方，得， 又，所以， 又直线上分别取点和点，使得且， 所以，，所以， 又两条异面直线所成的角为，所以与的夹角为或， 当与的夹角为时，，即， 当与的夹角为时，，即， 综上所述，的模为或. 故答案为：或 13. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意得到的几何意义为点到两定点与的距离，求出点关于轴的对称点为，转化为求的最小值即可. 【详解】设， 则， ∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和． 如图所示： 设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）． 则， 要求的最小值，即求的最小值， 又，即的最小值为． 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由确定的轨迹是内以为圆心、半径为 1 的一段圆弧；固定时，由余弦定理，随减小而变小，故求最小值等价于寻找上点与平面所成最小线面角；利用等体积法求出点到平面的距离，得到线面角的正弦值，再由直接算出最小值. 【详解】点的轨迹事实上就是内以点为圆心，1为半径的一段圆弧， 如图所示，由于距离为定值1，则当点固定时， 由余弦定理可知，的距离只取决于，越小，距离越小， 过作平面的垂线，垂足为，则， 由题意可得，，所以； 在中，，， 所以， 由，作，垂足为， 则，所以点与点重合，此时连接交圆弧于点， 此时为与平面的线面角，并取到最小， 此时，过点作线段的垂线，垂足为点， 取到最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：设，，， 根据题意得，且 ∴，. ∴， ∴， 即； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，，，将和表示成，然后计算得，进而即得； （2）用表示，然后利用向量夹角公式即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴. ∴异面直线与所成角的余弦值为． 17. 如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. （1）证明：平面平面； （2）线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，， 依题意，，则，由，得， 而，，是梯形的中位线，于是，， 而平面，，则平面， 而平面，于是，又平面，且和一定相交， 因此平面，而平面，所以平面平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，线段的中点，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由平面，，得平面，过作平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，， 令， 则， 由平面，得平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B． （1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程； （2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程； （3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，求出线段AB的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线AB的方程； （3）设直线AB的方程为：my＝x﹣1，与射线OA、OB联立求出点A、B的坐标，计算|PA|、|PB|，求出|PA|•|PB|的最小值，从而求出直线AB的方程． 【小问1详解】 设，则线段AB的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线AB的方程为：，化为：； 【小问2详解】 设，，运用水平底铅锤高得， 又P在直线AB上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时AB的方程为，即； 【小问3详解】 设直线AB的方程为：， 联立，解得，可得， 联立 ，解得，可得，所以， 令，则， 令，解得（舍），， ，， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在处取得极小值也是最小值，此时的方程为； 综上，（1），（2），（3）. 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）直线上一个点的坐标为，直线的一个方向向量为 （2） （3）的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）根据定义求得直线的方向向量及直线上一个点，再说明该点在直线上，根据两直线的方向向量求得平面法向量，再结合点坐标即可求解平面的方程； （3）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解相邻两个面所在平面夹角的余弦值，由四棱锥的体积公式即可求解体积． 【小问1详解】 因为直线的方程为，即， 可得直线上一个点的坐标为，直线的一个方向向量为． 【小问2详解】 直线的方程为，即， 可知直线过点，直线的一个方向向量， 因为， 所以直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点， 设平面的法向量为， 则，令，则，可得， 所以平面的方程为，即． 【小问3详解】 由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点， ，如图所示， 可知四边形为正方形，边长， 所以正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以多面体的体积为， 由集合所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程， 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以， 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为， 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为， 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2026～2027学年第一学期高二第一次 学情检测 数学试题 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知斜三棱柱，设分别为与BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，为其体对角线上的动点，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径.则（ ） A. 当点在体对角线上运动时，的值也在随之变化 B. 当点在底面内运动时，的值也在随之变化 C. 的取值范围是 D. 的最大值为2 8. 在三棱柱中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若，则 C. 若与相互平行，则或1 D. 若不经过第二象限，则 10. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 C. 若平面，的法向量分别为，，则 D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 在三棱锥中，点到平面的距离为定值 B. 过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使得且.已知，则__________. 13. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______． 14. 如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. （1）证明：平面平面； （2）线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B． （1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程； （2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程； （3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程． 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $