1.4.2充要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2　充要条件 1 章节导读 1.1集合的概念 1.2 集合间的基本关系 1.3集合的 基本运算 1.4充分条件 与必要条件 集合的概念 集合的表示 空集 、 (真)子集个数 子集与真子集 并集及其性质 交集及其性质 补集与摩根定律 充分条件与必要条件 充要条件与集合的关系 集合 与元素 列举法描述法 1.5全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 两类命题的否定 1.4.2　充要条件 学 习 目 标 1 2 3 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义. 能判断命题中条件与结论的充分性及必要性. 能根据集合关系与充分性、必要性解决简单的含参数问题. 1.4.2　充要条件 [教学重点]　 1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。 2. 能判断两个命题之间的充分、必要、充要关系。 3. 认识充要条件与等价命题的联系，会用符号表示充要关系。 [教学难点]　 1. 必要条件的理解：学生容易混淆 “必要” 含义，分不清谁是条件、谁是结论，难以理解 “ ，则q是p的必要条件”。 2. 区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种关系。 3. 从集合视角理解条件关系： 1.4.2　充要条件 小范围 大范围 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ⇍ ⇒ 1. 充分条件与必要条件： 1.4.2　充要条件 2. 充分、必要条件与集合的关系： B A (1)若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B (2)若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 小范围 大范围 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} (3)若p不是q的充分条件：，则A⊈B； (4)若p不是q的必要条件：，则B⊈A； 1.4.2　充要条件 3.充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的联系： 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 逆命题： 将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若,则”，则称这个命题为原命题的逆命题。 1.4.2　充要条件 问题1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 (4)若 是空集，则A与B均是空集。 命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 1.4.2　充要条件 充要条件 既有pq ，又有qp 就记作 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q) 即：如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即 p  q 1.4.2　充要条件 条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系 x=1 x3=1 p是q的________________条件 x>2 x2>4 p是q的________________条件 ab=0 a=0 p是q的________________条件 |a|>|b| a>b p是q的_________________条件 阅读课本20-22页，思考并完成以下表格： 问题2 通过学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 问题3 从集合的角度如何理解充要条件？ 1.4.2　充要条件 命题的分类 条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系 x=1 x3=1 p是q的________________条件 x>2 x2>4 p是q的________________条件 ab=0 a=0 p是q的________________条件 |a|>|b| a>b p是q的_________________条件 阅读课本20-22页，思考并完成以下表格： 问题2 通过学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 问题3 从集合的角度如何理解充要条件？ 1.4.2　充要条件 命题的分类 条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系 x=1 x3=1 p是q的________________条件 x>2 x2>4 p是q的________________条件 ab=0 a=0 p是q的________________条件 |a|>|b| a>b p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 若p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充要条件(或q是p的充要条件),记作p⇔q. p与q之间的四种条件关系 【注意】p是q的充要条件也可以说成： ①p和q是等价的 ②p成立当且仅当q成立 ③q成立当且仅当p成立 1.4.2　充要条件 命题的分类 问题2 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 充要条件与定义之间的关系 “四边形是平行四边形” 四边形的两组对角分别相等 四边形的两组对边分别相等 四边形的一组对边平行且相等 四边形的对角线互相平分 四边形的两组对边分别平行 “四边形是平行四边形”这一定义的充要条件并不是唯一的。 数学定义是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的角度刻画了同一个数学对象。 充要条件与数学定义之间的关系： 1.4.2　充要条件 条件关系 集合关系 是 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件 是 的充要条件 是 的既不充分也不必要条件 同学们画出Venn图 B A A B A(B) B 问题3 从集合的角度如何理解充要条件？ A A B 且 1.4.2　充要条件 【教用·微提醒】　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [典例讲评]　【链接教材P21例3】 1．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空． (1)a≥5是a为正数的_______________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的_________； (4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的_____________________． 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 (1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件　(3)充要条件　(4)既不充分也不必要条件　[(1)a≥5⇒a>0，a>0⇏a≥5．因此应填“充分不必要条件”． (2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形．因此应填“必要不充分条件”． (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”． (4)x∈R时，x2＝2⇏x＝2，x＝2⇏x2＝2．因此应填“既不充分也不必要条件”．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 【教材原题·P21例3】 例3　下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [解]　(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q⇏p，所以p不是q的充要条件． (2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件． (3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件． (4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 【教师·备选题】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数，q：a是正数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [解]　(1)法一：当x＝1时，(x－1)(x－2)＝0成立； 当(x－1)(x－2)＝0时，x＝1或x＝2． ∴p是q的充分不必要条件． 法二：A＝{x|x＝1}＝{1}， B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}， 可知A⫋B， ∴p是q的充分不必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p．故p是q的既不充分也不必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 反思领悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [学以致用]　【链接教材P22习题1.4T2】 1．下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：(bc≠0)，q：b2＝ac； (2)对于反比例函数y＝，x>0，p：k>0，q：y值随x值的增大而减小； (3)p：函数的图象关于y轴对称，q：函数y＝x2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [解]　(1)若(bc≠0)，则b2＝ac，充分性成立； 若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但分式无意义，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件． (2)对于反比例函数y＝，x>0，若k>0，则y随x的增大而减小，反之，若y随x的增大而减小，则k>0，所以p是q的充要条件． (3)函数图象关于y轴对称，函数可以是y＝x2，也可以不是，充分性不成立，函数y＝x2的图象关于y轴对称，必要性成立，所以p是q的必要不充分条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 【教材原题·P22习题1.4T2】在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)： (1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0(a≠0)； (3)p：a∈P∩Q，q：a∈P； (4)p：a∈P∪Q，q：a∈P； (5)p：x＞y，q：x2＞y2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [解]　(1)因为等边三角形是特殊的等腰三角形，故p是q的必要不充分条件． (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，则判别式Δ＝b2－4ac≥0． 故p是q的充要条件． (3)因为a∈P∩Q，故a∈P且a∈Q；当a∈P时，a∈Q不一定成立． 故p是q的充分不必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 (4)因为a∈P∪Q，故a∈P或a∈Q， 所以a∈P不一定成立； 当a∈P时，a∈P∪Q一定成立． 故p是q的必要不充分条件． (5)当x＝1，y＝－2时，满足x＞y，但x2＞y2不成立； 当x＝－2，y＝1时，满足x2＞y2，但x＞y不成立． 故p是q的既不充分也不必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 探究2　充要条件的证明 [典例讲评]　【链接教材P22例4】 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． [证明]　先证明充分性： 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0． ∴x＝1是方程的一个根． 再证明必要性： ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 【教材原题·P22例4】 例4　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [证明]　设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切． (1)充分性(p⇒q)：如图1.4-2，作OP⊥l于点P，则OP＝d． 若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)， 连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r．所以，除点P外直 线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切． (2)必要性(q⇒p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r． 由(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 反思领悟　证明充要条件的两个方法 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合法：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [学以致用]　【链接教材P23习题1.4T5】 2．求证：“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件． [证明]　先证充分性： 因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2， 又因为2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab． 再证必要性： 因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b． 综上可知，“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 【教材原题·P23习题1.4T5】设a，b，c∈R．证明：a＝b＝c是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc的充要条件． [证明]　(1)充分性：如果a＝b＝c， 那么(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，∴a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 (2)必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc， 那么a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，∴a＝b＝c． 由(1)(2)知，a＝b＝c是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc的充要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 【教用·备选题】　已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件． [证明]　充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2． ∵ac<0，∴x1·x2＝<0， ∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程． 设两个根分别为x1，x2， 则x1x2＝<0，∴ac<0． 综上，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 探究3　充要条件的应用 [典例讲评]　3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}⫋{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3． 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [母题探究]　本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A⫋B． 所以或 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 反思领悟　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 [学以致用]　3．已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　设A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以B⫋A， 所以－≤－2，即m≥8． 所以m的取值范围为{m|m≥8}． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 p能否推q q能否推p p与q的关系 集合关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 且 课堂小结 小范围 大范围 ⇍ ⇒ 1.4.2　充要条件 命题的分类 应用迁移 随堂评估自测 1．已知a，b为实数，则“a＝0”是“ab＝0”的(　　) A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 √ A　[a＝0可以推出ab＝0；但ab＝0，则a不一定为0．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 √ 2．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝B 　 B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) 　 D．A∪(∁UB)＝U √ √ BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件． 故选BCD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 √ 3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≥3 　 B．a≤－1 C．－1≤a≤3 　 D．a≤3 B　[因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 4．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空： (1)“x∈N”是“x∈Q”的________； (2)“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的________； (3)“x>2”是“x>3”的________； (4)“>0”是“xy>0”的________． 充分条件 充分条件 必要条件 充要条件 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 (1)充分条件　(2)充分条件　(3)必要条件　(4)充要条件　[(1)当x∈N时，一定有x∈Q成立，但反之不一定成立，如x＝∈Q，但∉N，故填充分条件； (2)当x＝2时，22－3×2＋2＝0，反之当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，故填充分条件； (3)当x>2时，x>3不一定成立，如x＝>2，但<3，反之x>3时，x>2一定成立，故填必要条件； (4)当>0时，说明x，y同号，即xy>0成立，反之当xy>0时，>0一定成立，故填充要条件．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.2　充要条件 下节课见！ 1.4.2　充要条件 $