第1章 1.4.2 充要条件-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦“充要条件”核心知识点，从命题真假判断切入，通过逆命题概念过渡，系统梳理充要条件的定义、判定方法（定义法、集合法、等价法）及证明与应用，构建完整学习支架。 资料以问题导思引导学生抽象数学关系，结合三角形全等、方程根等典例培养逻辑推理，通过典例分析与变式探究深化理解。课中助力教师高效授课，课后分层评价帮助学生查漏补缺，提升数学思维能力。

1.4.2　充要条件 学习目标 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 任务一　充要条件 (阅读教材P20—23，完成探究问题) 问题．给出以下两个“若p，则q”形式的命题： ①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等． ②若m≤，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根． (1)你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：①、②都是真命题． (2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？ 提示：①逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题． ②逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根，则m≤，是真命题． (3)你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 提示：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件． 1.逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2.充要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 ［微提醒］　对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件． ［微思考］　若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则集合A与集合B有什么关系？ 提示：A＝B． 3.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且pq p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件 (链教材P21例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：在△ABC中，AB＞AC，q：在△ABC中，∠C＞∠B； (3)p：A⊆B，q：A⋃B＝B； (4)p：x＝1，q：x2－2x＋1＝0. 解：(1)当|x|＝|y|时，x＝±y⇒/ x3＝y3， 但x3＝y3⇒x＝y⇒|x|＝|y|， 故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件)． (2)在△ABC中，大边对大角， 则AB＞AC⇔∠C＞∠B， 则p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则A⋃B＝B， 反之若A⋃B＝B，则A⊆B， 所以p是q的充要条件． (4)若x＝1，则x2－2x＋1＝0； 若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1. 所以p是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． 2.集合法：即利用集合的包含关系判断． 3.等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 对点练1.(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 (2)以下选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D． (2)对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件；对于C，pq，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D． 任务二　充要条件的证明 (链教材P22例4)(1)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. (2)设a，b，c是常数且a≠0，求证：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正实根和一负实根的充要条件是ac＜0. 证明：(1)充分性：即证明关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足a－b＋c＝0⇒方程有一个根为－1， 由a－b＋c＝0，得b＝a＋c， 代入方程得ax2＋(a＋c)x＋c＝0， 则(ax＋c)(x＋1)＝0， 所以x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． 必要性：即证明x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的根⇒a－b＋c＝0， 将x＝－1代入方程ax2＋bx＋c＝0， 即有a－b＋c＝0. 综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. (2)充分性：由ac＜0可推出Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根． 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， 所以Δ＝b2－4ac＞0，且x1x2＝＜0， 所以ac＜0. 综上知：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根的充要条件是ac＜0. 充要条件的证明策略 1.直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． 2.集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． ［注意］　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向． 对点练2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B． 证明：充分性：若A＝B，则a＝b， 所以a2－b2－ac＋bc＝0成立． 必要性：因为a2－b2－ac＋bc ＝(a＋b)(a－b)－c(a－b) ＝(a－b)(a＋b－c)＝0， 且在△ABC中，a＋b－c＞0，所以a－b＝0， 所以a＝b，所以A＝B． 综上，a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B． 任务三　充分、必要及充要条件的应用 (1)已知“不等式x－m＜1成立”的充要条件是“x＜2”，求实数m的值． (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：(1)因为x－m＜1，解得x＜m＋1. 因为“不等式x－m＜1成立”的充要条件是“x＜2”， 所以m＋1＝2，解得m＝1. (2)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}⫋{x|－2≤x≤10}， 故有解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围是{m|0＜m≤3}． ［变式探究］　1.(变条件)若将本例(2)中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以A⫋B． 所以解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 2.(变设问)本例(2)中p，q不变，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． 若p是q的充要条件，则m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 充分条件与必要条件的应用与求解 1.应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． 2.求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 对点练3.(1)若“－1＜x＜1”是“1＜－2x＋m＜5”的充要条件，则实数m＝　　　　． (2)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件为(　　) A．m∈ B．m∈ C．m∈ D．m∈ 答案：(1)3　(2)B 解析：(1)由1＜－2x＋m＜5得1－m＜－2x＜5－m，故(m－5)＜x＜(m－1).因为“－1＜x＜1”是“1＜－2x＋m＜5”的充要条件，所以解得m＝3. (2)A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．若m＝0，则B＝∅，B⫋A；若m＝1，则B＝{2}⫋A；若m＝－．故选B． 任务再现 (1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)充分、必要及充要条件的应用 方法提炼 定义法、集合法、等价转化法 易错警示 条件和结论辨别不清 1.“|x|＝1”是“x2＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由|x|＝1可得x＝±1，即x2＝1；由x2＝1可得x＝±1，即|x|＝1，所以“|x|＝1”是“x2＝1”的充要条件．故选C． 2.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x＜0，y＜0 B．x＜0，y＞0 C．x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0 答案：B 解析：因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x＜0，y＞0.故选B． 3.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是　　　　． 答案：m＝－2 解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称． 4.已知“p：x＞m＋3或x＜m”是“q：－4＜x＜1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：{m|m≤－7，或m≥1} 解析：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1. 课时分层评价7　充要条件 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．故选C． 2.已知甲：m2(b－a)＞0，乙：b＞a，则甲是乙的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由甲：m2(b－a)＞0，可得m2＞0，所以b＞a．可得乙成立．反之不成立，m＝0时，由乙推不出甲．则甲是乙的充分不必要条件．故选B． 3.设A，B，C是三个集合，则“A⋂B＝A⋂C”是“B＝C”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由A⋂B＝A⋂C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A⋂B＝A⋂C．所以“A⋂B＝A⋂C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B． 4.设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　) A．a，b都为1 B．a，b都不为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 答案：C 解析：由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C． 5.(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是(　　) A．n＝4 B．n＝－5 C．n＝－1 D．n＝－12 答案：BCD 解析：函数y＝x2＋4x＋n的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解，则满足02＋4×0＋n＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是B、C、D．故选BCD． 6.(多选)下列结论中正确的是(　　) A．“|x|＞2”是“x＜－2”的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 答案：ACD 解析：x＜－2⇒|x|＞2，但|x|＞2⇔x＞2或x＜－2.故A正确；AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B或C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误；a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确；当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确．故选ACD． 7.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A⋃B的　　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 答案：充要 解析：由x∈B，显然可得x∈A⋃B；反之，由A⊆B，则A⋃B＝B，所以由x∈A⋃B可得x∈B，故x∈B是x∈A⋃B的充要条件． 8.若a，b是实数，则“a＋b＞0，且ab＞0”的充要条件为　　　　． 答案：a＞0，且b＞0 解析：当ab＞0时可得a，b符号相同．又因为a＋b＞0，所以a＞0，b＞0.当a＞0，且b＞0时，a＋b＞0，且ab＞0显然成立．故“a＋b＞0，且ab＞0”的充要条件为a＞0，且b＞0. 9.(双空题)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的　　　　　　； (2)“x＜2 026”是“x＜2 025”的　　　　　　． 答案：(1)充要条件　(2)必要不充分条件 解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x＜2 026}，B＝{x|x＜2 025}，因为B⫋A，所以“x＜2 026”是“x＜2 025”的必要不充分条件． 10.(10分)求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. (11—13每小题5分，共15分) 11.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp．因为r是q的必要不充分条件，所以q⇒r且rq．因为s是r的充要条件，所以s⇒r且r⇒s，如图，所以p⇒s且sp，故s是p的必要不充分条件．故选B． 12.(多选)设全集为U，则下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A⋃B＝A B．(∁UA)⋂B＝∅ C．(∁UB)⊆(∁UA) D．A⋃(∁UB)＝U 答案：ABD 解析：对于A，当A⋃B＝A时，B⊆A，当B⊆A时，A⋃B＝A，所以A⋃B＝A是B⊆A的充要条件，故A正确；对于B，当(∁UA)⋂B＝∅时，B⊆A，当B⊆A时，(∁UA)⋂B＝∅，所以(∁UA)⋂B＝∅是B⊆A的充要条件，故B正确；对于C，当(∁UB)⊆(∁UA)时，A⊆B，故C错误；对于D，当A⋃(∁UB)＝U时，B⊆A，当B⊆A时，A⋃(∁UB)＝U，所以A⋃(∁UB)＝U是B⊆A的充要条件，故D正确．故选ABD． 13.(多空题)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是　　　　　　； (2)“a，b都不为0”的充分条件是　　　　； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是　　　　　　． 答案：(1)①②③　(2)④　(3)① 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或则a，b都不为0. (1)“a，b都为0”的必要条件是①②③． (2)“a，b都不为0”的充分条件是④． (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是①． 14.(10分)已知P＝，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)要使x∈P是x∈S的充要条件，需使P＝S， 即此方程组无解， 故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S⊆P． 当S＝∅时，1－m＞1＋m，解得m＜0，满足题意； 当S≠∅时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S⊆P，则有解得m≤0，所以m＝0. 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件． 15.(5分)(新定义)设m，n∈R，当mn≥0时，mⓧn＝m＋n；当mn＜0时，mⓧn＝|m＋n|．例如：－6ⓧ4＝2，则“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“aⓧb＝－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0时，ab＝0.由mn≥0时，mⓧn＝m＋n知，aⓧb＝－1＋0＝－1.当aⓧb＝－1时，根据定义可知ab≥0，所以a＋b＝－1，故只要满足ab≥0且a＋b＝－1即可，所以“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“aⓧb＝－1”的充分不必要条件．故选A． 16.(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°． 证明：充分性： 因为A＝90°， 所以方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0， 所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0， 所以［x＋(a＋c)］［x＋(a－c)］＝0， 所以该方程有两个根：x1＝－(a＋c)， x2＝－(a－c)， 同理，另一个方程x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0， 所以x2＋2cx＋(c＋a)(c－a)＝0， 所以［x＋(c＋a)］［x＋(c－a)］＝0， 所以该方程有两个根：x3＝－(a＋c)， x4＝－(c－a)， 可以发现x1＝x3， 所以这两个方程有公共根． 必要性： 设α是两方程的公共根， 则 由①＋②得2α2＋2α(a＋c)＝0. 若α＝0，由①式得到b2＝0，即b＝0，矛盾， 所以α≠0， 所以α＝－(a＋c)， 代入①式得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，整理得c2＋b2＝a2，所以A＝90°． 综上，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°． 学科网（北京）股份有限公司 $