1.4.2 充要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2　充要条件 第一章 1.4　充分条件与必要条件 索引 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. 学习目标 上节课,我们学习了充分条件与必要条件,我们知道使结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构,其实在数学中,也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧! 引入 课时精练 一、充要条件 二、充要条件的证明 三、充要条件的应用 课堂达标 内容索引 充要条件 一 探究1 给出以下两个“若p,则q”形式的命题: ①若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等. ②若m≤,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实数根. (1)你能判断这两个命题的真假吗? 提示　命题①是真命题,②是真命题. (2)你能写出它们的逆命题,并判断其真假吗? 提示　①逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等,是真命题.②逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0有实数根,则m≤,是真命题. 6 探究2 在上述探究1的两个命题中,p是q的什么条件?q是p的什么条件?你能用数学语言概括出来吗? 提示　①中,p是q的充分条件,也是必要条件;②中,q是p的充分条件,也是必要条件.“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q),p是q的充要条件. 7 1.充要条件 知识梳理 真 真 ⇔ 充分 必要 充分必要 命题真假 “若p,则q”为___命题;“若q,则p”为___命题 推出关系 p___q 条件关系 p既是q的______条件,也是q的______条件,我们说p是q的 ____________条件,简称为充要条件 8 对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件. 温馨提示 9 2.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q,且q⇏p p是q的充分不必要条件 q⇒p,且p⇏q p是q的必要不充分条件 p⇒q,且q⇒p,即p⇔q p是q的充要条件 p⇏q,且q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 (链接教材P21例3)判断下列各题中,p是否为q的充要条件? (1)p:|x|=|y|,q:x3=y3. 例1 当|x|=|y|时,x=±y⇏x3=y3, 但x3=y3⇒x=y⇒|x|=|y|, 故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件). 角度1　条件关系的判断 11 (2)p:在△ABC中,AB>AC,q:在△ABC中,∠C>∠B. (3)p:A⊆B,q:A∪B=B. (2)在△ABC中,大边对大角, 故AB>AC⇔∠C>∠B, 则p是q的充要条件. (3)若A⊆B,则A∪B=B, 反之若A∪B=B,则A⊆B, 所以p是q的充要条件. 12 判定条件关系:(1)分清楚条件是什么,结论是什么;(2)尝试用条件推结论,或用结论推条件(或举反例);(3)下结论. 思维升华 13 (链接教材P22练习T2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A⊆(A∩B)的充要条件为______;一个充分不必要条件可为______________________.  例2 角度2　条件关系的探求 a≤9 6≤a≤9(答案不唯一) A⊆(A∩B)⇔A⊆B,B={x|3≤x≤22}.若A=⌀,则2a+1>3a-5,解得a<6; 若A≠⌀,则A⊆B⇔⇔6≤a≤9. 综上可知,A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9; 一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 14 探求充要条件的两种方法 (1)等价法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中探求的过程也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的. (2)非等价法:先寻找必要条件,再找充分条件,从必要性和充分性两方面说明. 思维升华 15 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 训练1 √ a2+b2>0,则a,b不同时为零; a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0. 16 √ (2)如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分又不必要条件 又∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件, ∴丙⇒乙,但乙⇏丙. 综上,有丙⇒乙⇒甲,甲⇏丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 如图所示,∵甲是乙的必要条件,∴乙⇒甲. 17 充要条件的证明 二 18 (链接教材P23T5)求证:△ABC为等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.(这里a,b,c是△ABC的三边边长) 例3 (1)必要性　由△ABC为等边三角形,得a=b=c,所以a2+b2+c2=ab+ac+bc. (2)充分性　由a2+b2+c2=ab+ac+bc, 得2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, 则a=b=c,所以△ABC为等边三角形. 根据(1)(2)知,△ABC为等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc. 19 思维升华 充要条件证明的两个思路 (1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件. 20 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实数根和一负实数根的充要条件是ac<0. 训练2 必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实数根和一负实数根, ∴Δ=b2-4ac>0,且x1x2=<0,∴ac<0. 充分性:由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0, ∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实数根. 综上知:ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实数根的充要条件是ac<0. 21 充要条件的应用 三 22 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 例4 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p的充分不必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10}, 故有 解得m≤3.又因为m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 迁移 若p是q的充要条件, 则方程组无解. 故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 思维升华 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 已知p:1≤x≤a(a≥1),q:1≤x≤2. (1)当a为何值时,p是q的充分不必要条件? (2)当a为何值时,p是q的充要条件? 训练3 (1)因为p是q的充分不必要条件, 所以{x|1≤x≤a}⫋{x|1≤x≤2},所以1≤a<2. 所以当1≤a<2时,p是q的充分不必要条件. (2)因为p是q的充要条件, 所以{x|1≤x≤2}={x|1≤x≤a},所以a=2. 所以当a=2时,p是q的充要条件. 26 【课堂达标】 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若x=1,则x2-2x+1=0; 若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1. 故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. 2 3 4 1 2.下列说法正确的是 A.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 B.“x≥1”是“x2≥1”的充要条件 C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 D.“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要条件 √ 对于A,当c=0时,满足ac=bc,此时存在a≠b,故A错误. 对于B,x2≥1等价于x≥1或x≤-1,故“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要条件,故B错误. 2 3 4 1 对于C,“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件,故C错误. 对于D,“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要条件,故D正确. 2 3 4 1 3.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是____________.  函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则-=1,即m=-2; 反之, 当m=-2时,则函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称. m=-2 2 3 4 1 4.已知“p:x>m+3或x<m”是“q:-4<x<1”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围是______________________.  因为p是q成立的必要不充分条件, 所以m+3≤-4或m≥1,故m≤-7或m≥1. {m|m≤-7,或m≥1} 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,则“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 a2+b2=c2⇔△ABC为直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由2-x≥0,得x≤2, 由|x-1|≤1,得0≤x≤2. 当x≤2时不一定有0≤x≤2, 又当0≤x≤2时,一定有x≤2, 故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是 A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} D.x≤-或x≥3 选项中只有x∈{-1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是 A.ab=0 B.ab<0 C.ab≥0 D.ab≤0 |a+b|=|a|+|b|⇔(a+b)2=(|a|+|b|)2⇔a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2⇔ab=|ab|⇔ab≥0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方,则Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1. 由于{a|0<a<1}⫋{a|0≤a≤1}, 故“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的充分不必要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为p是q的充分不必要条件, 所以p⇒q且q⇏p, 因为r是q的必要不充分条件, 所以q⇒r且r⇏q, 因为s是r的充要条件, 所以s⇒r且r⇒s,如图, 所以p⇒s且s⇏p,故s是p的必要不充分条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)下列结论正确的是 A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件 B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件 C.“0<a<4”是“不等式ax2+ax+1>0恒成立”的充要条件 D.“三角形存在两角相等”是“三角形为等腰三角形”的充要条件 √ 对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确; 对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确; √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误; 对于D,“三角形存在两角相等”是“三角形为等腰三角形”的充要条件,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.p:两个三角形的两组对应角相等,q:两个三角形相似,则p是q的____________条件.  充要 p⇒q,q⇒p,故p是q的充要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.“x=3或x=4”是“x-3=”的____________条件.  充要 由x-3=,得x=3或x=4. 显然x=3或x=4时,x-3=, 故“x=3或x=4”是“x-3=”的充要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.若“x≤-1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件,则实数a的最大值为____________.  -1 “x≤-1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件, 则由“x<a”可以推出“x≤-1或x≥1”, 但由“x≤-1或x≥1”推不出“x<a”, 所以a≤-1,所以实数a的最大值为-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. ①充分性:如果b=0,那么y=kx, 当x=0时,y=0,函数图象过原点. ②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点, 所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b, 所以b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是 A.“a2=b2”是“a2c2=b2c2”的充要条件 B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C.“a<5”是“a<3”的必要条件 D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 √ √ 对于A,因为当a2=b2时,a2c2=b2c2成立, 而当c2=0,a2c2=b2c2时,a2=b2不一定成立,所以“a2=b2”是“a2c2=b2c2”的充分不必要条件,故A错误. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 对于B,当a=-1,b=-2时,a>b,但a2<b2; 当a=-2,b=1时,a2>b2,但a<b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故B错误. 对于C,由a<3⇒a<5,∴“a<5”是“a<3”的必要条件,故C正确. 显然“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.关于x的方程x2-|x|+a-1=0有四个不等实数根的充要条件是____________.  1<a< 令|x|=t,t>0, 要使关于x的方程x2-|x|+a-1=0有四个不等实数根, 则使关于t的方程t2-t+a-1=0有两个不同的正根即可, 其根设为t1,t2, 则即解得1<a<, 即原方程有四个不等实数根的充要条件是1<a<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由. 问题:已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的____________?  由题意知A={x|0≤x≤4}, 若选①,则A是B的真子集, 所以1-a≤0且1+a≥4(两等号不能同时取得), 又a>0,解得a≥3, 所以存在a,a的取值集合M={a|a≥3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 若选②,则B是A的真子集, 所以1-a≥0且1+a≤4(两等号不能同时取得), 又a>0,解得0<a≤1, 所以存在a,a的取值集合M={a|0<a≤1}. 若选③,则A=B, 所以1-a=0且1+a=4, 又a>0,方程组无解, 所以不存在满足条件的a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(多选)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是 √ √ 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由题知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件; 电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件; 电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件; 电路图D中,开关S闭合,灯泡L亮,灯泡L亮,则一定有开关S闭合,故D中p是q的充要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知a,b,c∈R,a≠0,试判断“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由. “a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 理由如下: 当a,b,c∈R,a≠0时,若“a-b+c=0”,则-1满足二次方程ax2+bx+c=0, 即“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”, 故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件, 若“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”,则“a-b+c=0”, 故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件, 综上所述,“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有-根为-1”的充要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $