青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2026-2027学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

大通二中2026~2027学年第一学期高二年级第一次教学质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 L.B由题意知AB+B武-AC.故选B. 2.C点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是P(一1，-3，一5).故选C 3.D因为ab,所以a·b=0,所以2X(-4)+(-1)X2+3x=0,解得x=9故选D. 4BM=ON-O=号(0成+0之)-号Oi=-号a+b+gc故选B 5.D因为AB-(2,1,2),所以AB.n=(2,1,2)·(0,-2,1)=0,所以AB∥a或ABCa.故选D. 6.A因为p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+c,所以a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+c,因为 x+y=1, {a,b,c}是空间的一个单位正交基底，所以x一y=2,即 之=3， =子，所以x十y叶=4故选A 之=3， 7.D因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),所以AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos∠BAC AB.AC -2+3+6 AA可9.V9因为0飞ZBAC18o',所以∠BAC=60,所以以AB AC为邻边的平行四边形的面积为A1 Acl sin∠BAC=√4+1+9./+9+4sin60°=14×5=75. 故选D, 8.A取基底AB,AD,AA),B=B武+B=AD+AA,C=CA+A=CB+C市+AA=-AD-AB+ AA,所以BC.CA=(AD+AA)·(-AD-AB+AA)=-A市-AD·AB+AD·A-AD·A AB·A+A=一4-2-3+9=0，所以BC之⊥C,即BC与CA'所成角的大小为交.故选A. 9.AC因为正方体OABC-D'A'B'C的棱长为a,E,F,G,H,I,J分别是棱CD',DA',A'A,AB,BC,CC的 中点，所以E(0,受a),G(a,0,受)，1（受，a,0)J(0,a,号）.故选AC 10.ABD对于A,因为b=2[(b十c)+(b-c)],所以b十c,b,b-c共面：对于B,因为a= 号[(a十b)十(a一b)],所以a,a+b,a一b共面：对于C,若a+b,a一b,c共面，则存在实数入，使得c一 入(a十b)十(a一b)=(A十4)a十（入-）b,所以a,b,c共面，这与{a,b,c}构成空间的一个基底矛盾，所以 a+b,a-b,c不共面：对于D,因为c=a十b+c-(a十b),所以a+b,a十b+c,c共面.故选ABD 11.BCD建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1),B(1,1,1),E(0,0, D ),F(1,1,2),G(0,1,1),A(1,0,0).对于A,因为B龙= A B (-11)3-（专号。专)=01.0所 E BE 以A武u=一号，所以点A到直线BE的距离为√A2-A成·w √-哥=气，放A错误：对于B,因为正=（(-1,0，)F心 (-1,O,7),所以A立∥FC,即AE∥FC,所以点F到直线AE的距离即为直线FC到直线AE的距离， 【高二年级第一次教学质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 27-T-050B A龙 IAEI 2,0.)=(01,)亦=子市u得所以直线PC到直线AE的距离为 √骨一（停）-厘放B正确：对于C,设平面ABE的-个法向量为n=(,,话-01,1.花 n·AB=y+z=0, =(-1,0,2)AA=(0,0,10, 1 令之=2，则y=一2，x=1,即n=(1,一2,2)，设 n·AE=-x+2x=0 点A到平面AB,E的距离为d,则dn广”-号，即点A到平面AB,E的距离为号，放C正确：对 n 于D,因为AE∥FC,所以FC∥平面AB1E,所以直线FC到平面ABE的距离等于C1到平面AB,E的 距离，CB,=(1,0,0),由选项C得平面ABE的一个法向量为n=(1,一2,2)，所以C到平面ABE的距 离为Cm=子，所以直线下G到平面AB,E的距离为子·故选KCD 12.(0,0,一3)设M(0,0,m),因为M到点A与点B的距离相等，所以√1+0+(m-2)产= √+32+(m-1)2,解得m=-3,即点M的坐标为(0,0，一3). 13.一4因为a∥3，所以m∥n,即n=,所以-6=入x,3=一A,y=2A,解得入=一3，x=2,y=-6,所以x十y =一4. 14.24x如图，延长AA,BB,CC,交于点T,过点T作TO⊥平面ABC,垂足为O, 连接OA,过O作Oy∥BC,以O为坐标原点，OA,O,OT所在直线分别为x轴， y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxy,在正三棱台ABC-ABC 中，AB=AA=23,AB=43,则A(4,0,0),B(-2,-25,0), B C(一2,2√5,0)，设上底面ABC的中心为O,在直角梯形AOOA中，AO= 4A0=A0=2,AA=2E,所以00=12-(4-27=2E,即 0,(0,0,22),又0A=号0i=(20,0),0C=号元=(-1，w5,0),即 A(2,0,2√2)，C(-1,√5,22)，因为P,Q分别是AB,AC的中点，所以P(1,-5,0),Q(1,5,0),设 球E的球心坐标为E(x,y,之)，半径为R,则EP=EQ=EA=EC=R,即√(x-1)2十(y十3)+= R,√(x-1)+(y3)+2=R,√(x-2)+y+(之-22)7=R,√x+1)2+(y-3)+(x-2W2) =R,解得x=0,y=0,之=√2，R=√6，所以球E的表面积为4R=24π. 15.解：(1)因为b=(2,0,3),C=(0,0,2),所以b十c=(2,0,5),……3分 因为a=(2,-3,1),所以a·(b十c)=2X2+(-3)X0十1X5=9.…7分 (2)因为a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2), 所以a+6b-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3). 13分 16.解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则E(00,2), D F(20),C01,0),G(1,1,7) B 1证明：因为萨=（侵，3，-），C市=(3，-，0）， E 所以萨.市-×号+2×(-)+(-号)X0=0, 所以EF⊥CF. 7分 (2)解：设EF与CG所成角为0， 因为亦=(2,2，-2)，=(10,2) 【高二年级第一次教学质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 27-T-050B 所以cos0=osE萨，d1=.@ -15 |EF·|CG 即EF与CG所成角的余弦值为压 15 15分 17.解：(1)已知三棱柱ABC-A1B1C为正三棱柱，取BC的中点为O,取B1C的中点为O,连接OO,则OO ⊥平面ABC.连接OA,则OA⊥BC.… …1分 以O为原点，OA,O死，OO为x、y、之轴的正方向建立空间直角坐标系，… 3分 由底面边长为a,侧棱长为√2a, C 则00.0,0，A(停，0,0，B(o号)，c(o,-号0，A(停，0a), B(0,号w2a),C(0,-号w2a), 所以点A,B,A,G的坐标为A(a,00,B(0,号，0)，A(5a,0,2a), C(0-g2a）.… …7分 A (备注：每个点的坐标1分) 2)h10知：Ad=(-a,-号wEa)Ai-(-号a,号，0）a=(0,0w万a), n…AA=0,n·AA=0+0+2a·=0, 设m=(e)为平面ABBA的-个法向量.则”：-0.即n应(-号。)·十号·y十0=0， 不妨设x=1,则n=（1,5,0).… …10分 设AC与侧面ABBA所成的角为0(O<≤交)， (-)×1+(-号)xB+0 √(-a)+(-受)+(a)x2 2…13分 所以0=石，即AC与侧面ABBA所成的角为无. 15分 18.解：(1)连接A1E,则AE-AA+A1它，… 1分 因为E为B,C的中点，所以A它=？(A官+AC), …3分 因为AB=2A,B,所以AE=A店-名b,同理A,C=AC-=c, …5分 所以A它=子b+子c,所以花=a+十b+c …7分 (2)由三棱台ABC-ABC为正三棱台，AB=2AB,=2AA,得∠AAB=∠CAB=∠AAC=, 即a,b=(b,c)=(a,c)=于， …9分 BB=Bi+AA+AB=a-b,… 11分 记|a=t,则|b=|c=2, 所以A花.BE=(a+b+c)·(a-2b)=a2-a…b叶ac-8-8bc= …13分 又1-√(a++c)=√++c+2a叶ae+gbe=T,丽= 15分 【高二年级第一次教学质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 27-T-050B 所以cos(A立，BB)= A正.BB AE·BB1 22 2 即异面直线AE与BB,所成角的余弦值为 22· 17分 19.(1)证明：因为PA=PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD, 又PE⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD, 2分 又PEC平面PAD,所以平面PADL平面ABCD.……4分 (2)解：如图，在平面ABCD内，作EH⊥AD,交CB于点H,则EH,ED,EP两两垂直， 以E为原点，EH,ED,EP所在直线分别为x轴，y轴，心轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 由题意，得P(0,0,6),A(0,-6,0),B(35,-6,0),C(33,3,0), 所以AB=(35,0,0),Pi=(3/5,-6,-6),C克=(0，-9,0)， G 设m=(x,y,之)是平面PAB的法向量，则 Ai.m=33.x=0, Pi·m=33x-6y-6x=0, 令y=1,则x=0,x=一1，所以m=(0,1,一1)是平面PAB的一个法向 量，…6分 设n=(a,b,c)是平面PBC的法向量，则 Ci.n=-96=0, 1pPi.n=33a-6b-6c=0, 令a=2,则b=0,c=5,所以n=(2,0,5)是平面PBC的一个法向量，…8分 设平面PAB与平面PBC的夹角为O, 则1s小=smm1=n:h万及万 -42 14,sin0=V-cos0=154 14 即平面PAB与平面PBC夹角的正弦值为网 14 …10分 (3)解：由(2)，得D(0,6,0),市=号d,得C京=3-}(-353,0)，所以r(2,4,0), 由A衣=号A,得花=号=号(06,6)，所以G(0,-4,2). EF-(25,4,0),E=(0,-4,2), 设u=(m,,之)是平面EFG的法向量，则 EF.u=23.xn十4%=0， EG·u=-4h+20=0, 令m=2,则%=一5,0=一23，所以u=(2,-5,-25)是平面E℉G的一个法向量，…12分 由平面EFG与PB交于点M,设PM=xPB=A(35,-6,-6),则M(33x,-6x,6-6),EM =(3√51，-6,6-6λ)， 因为u是平面EFG的法向量，所以u·EM=(2,-√5，-25)·(3x,一6x,6-6x)=0, 即243x-12=0,解得X=合所以M(3,-3,3） 14分 由平面EFG与PC交于点N,设P成=P元=(35,3，-6)，则N(35,34,6-6),E =(334,34,6-64), 因为u是平面EFG的法向量，所以·E=(2,-3,-23)·(334,34,6-6)=0, 即15x一125=0，解得以专所以N(1,号号） …16分 所以MN-√(312)+(-3-号)+(3-号-9 10 …17分 【高二年级第一次教学质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 27-T-050B大通二中2026~2027学年第一学期高二年级第一次教学质量检测 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 ® 答无效。 4.本卷命题范围：人救A版选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.化简：AB+BC= A.AB B.AC C.BC D.CA 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标为 A.(1,-3,5) B.(-1,3,-5) C.(-1,-3,-5) D.(1,3,5) 3.已知a=(2,一1.3)，b=（-4,2,x),且a⊥b,则x= A.-6 B.6 c-9 D.9 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a.OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM 图 =2MA,点N为BC的中点，则MN 警 2a-3 B.-2 1 1 a+2b+2c 1 1 1 5.已知点A(1,0,一2)，B(3,1,0),若平面a的一个法向量n=(0,一2,1)，则直线AB与平面a 的位置关系是 A.AB∥a B.AB⊥a C.ABCa D.AB∥a或ABCa 【高二年级第-一次教学质址检测·数学第1页（共4页）】27一T-050B 6.{a,b.c)是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3c,(a十b,a一b,c}是空间的另个基 底，用基底{a+b,a一b,c}表示向tp,得p=x(a十b)+y(a一b)十x,则x十y十z= A.4 B.2 C.-2 D.-4 7.已知空间三点A(0,2,3),B(一2,1,6)，C(1,一1,5)，则以AB,AC为邻边的平行四边形的 面积为 A号 B C.7 D.73 8.如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=2,AD=2,AA'= D' 3,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°，则BC'与CA'所成角的大 A B 小为 A受 B号 c晋 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，正方体OABC-D'A'BC的棱长为a,E.F,G,H,I,J分别 D 是棱C'D',DA',A'A,AB,BC,CC的中点，则下列点的坐标正确 的是 AE(0,号a） B.G(号0,8) c.(号a,o) D0受号) 。 10.若{a,b,c}构成空间的个基底，则下列向量共面的是 A.b+c.b.b-c B.a.a+b,a-b C.atb,a-b,c D.a+b,a+b+c,c 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD,中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的 中点，则 A.点A:到直线B,E的距离为号 D B B.直线FC,到直线AE的距离为 Ej.. 5 C点A1到平面AB,E的距离为号 D D.直线FC,到平面AB,E的距离为} 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点M是z轴上-点，且M到点A(1,0,2)与点B(1,一3,1)的距离相等，则点M的坐 标为 13.已知平面a的一个法向其m=(x,一1,2)，平面β的一个法向量n=(一6,3，y),若a∥3，则 x十y= 【高二年级第一次教学质址检测·数学第2页（共4页）】27一T一050B 14.如图，在正三棱台ABC-A1B,C1中，A1B,=A1A=2√3，AB=4√3，P,Q分别是AB,AC的 中点，若A,C,P,Q四点在球E的球面上，则球E的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求： (1)a·(b+c): (2)a+6b-8c. 16.(本小题满分15分) 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F,G分别是DD1,BD,BB,的中点. (1)求证：EF⊥CF; D (2)求EF与CG所成角的余弦值， E D 17.(本小题满分15分) 如图，正三棱柱ABC-A,B,C,的底面边长为a,侧棱长为√2a. (1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A,B,A1,C,的坐标； (2)求AC,与侧面ABB1A1所成的角. C 【高二年级第一次教学质址检测·数学第3页（共4页）】27-T-一050B 18.(本小题满分17分) 如图.在正三棱台ABC-AB,C中，AB=2A1B,=2AA1·记AA=a,AB=b,AC=c.D,E 分别为棱B(.B,C的中点. (1)用a,b.c表示AE: (2)求异面直线AE与BB,所成角的余弦值. :4D 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC,AB⊥ADAD=2CD =12,∠ADC=S,E为AD的中点，PE⊥CD,PA⊥PD,PA=PD. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值； (3)若C=号C市，A花=3A2,平面EFG与PB,PC分别交于点 M,N,求线段MN的长度. 【高二年级第一次教学质其检测·数学第4页（共4页）】 27-T-050B